最新实对称矩阵的特征值和特征向量PPT课件.ppt

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1、实对称矩阵的特征值和特征实对称矩阵的特征值和特征向量向量由于由于 ，对最后一式取复数转置，对最后一式取复数转置，得到得到两边再右乘两边再右乘 ，得到得到所以有所以有特征值都是实数。特征值都是实数。这样，这样，是实数。是实数。由由 的任意性，的任意性，实对称矩阵实对称矩阵 的的特征向量都是实数向量。特征向量都是实数向量。附注：附注：进一步地有，进一步地有，实对称矩阵实对称矩阵的属于特征值的的属于特征值的一、实对称矩阵特征值的性质定理定理4.12 实对称矩阵实对称矩阵的特征值都是实数。的特征值都是实数。再把再把 单位化，单位化，得到一个得到一个标准正交组标准正交组 ，；注意：注意：它们都是属于它们

2、都是属于的线性无关特征向量！的线性无关特征向量！且且第四步第四步令令 ，则则是正交阵是正交阵,为对角阵，为对角阵，与与 中正交列向量组（中正交列向量组（特征向量特征向量！）排列顺序！）排列顺序相对应相对应。附注附注：矩阵矩阵主对角线元素（主对角线元素（特征值特征值！）排列顺序！）排列顺序（实对称矩阵（实对称矩阵A 的标准形！）的标准形！）在不计排列顺序情况下，在不计排列顺序情况下，这种对角化形式这种对角化形式是唯一的。是唯一的。例例2 对矩阵对矩阵求一正交阵求一正交阵 ,使使成对角矩阵。成对角矩阵。的特征多项式为的特征多项式为解：解：矩阵矩阵解解特征方程特征方程得特征值得特征值 （二重），（二

3、重），。即求解即求解对于对于 ，解齐次线性方程组解齐次线性方程组得到一个基础解系得到一个基础解系 ，。对于对于 ，即求解即求解解齐次线性方程组解齐次线性方程组 ，得到一个基础解系得到一个基础解系 。把把正交化：正交化：得到得到将将单位化，单位化，构造矩阵构造矩阵 的属于的属于0的特征向量为的特征向量为。则则为正交矩阵，为正交矩阵，并且使得矩阵并且使得矩阵对角化为对角化为 ：，求矩阵，求矩阵 。例例3设三阶实对称矩阵设三阶实对称矩阵的特征值为的特征值为 ，（二重），（二重），而而解：解：因因三阶实对称矩阵必可对角化三阶实对称矩阵必可对角化，本题中本题中对应于二重对应于二重特征值特征值1的线性无关向量的线性无关向量 应有两个特征向量组成，应有两个特征向量组成，设为设为。根据定理根据定理4.13,它们都与它们都与 正交，正交，故故 是是齐次线性方程组齐次线性方程组的基础解系，的基础解系，所以，可取所以，可取（彼此正交彼此正交）将它们单位化：将它们单位化：则则 ，是正交组，是正交组，构造矩阵构造矩阵 则则 为正交矩阵，为正交矩阵，对角化为对角化为 ：并且使得并且使得矩阵矩阵于是于是