《高斯求和》教学文案.ppt

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1、高斯求和高斯求和大家好，你们大家好，你们猜猜这是谁？猜猜这是谁？这是德国著名的数这是德国著名的数学家高斯！他非常非学家高斯！他非常非常的厉害，接下来我常的厉害，接下来我们来听听他的故事。们来听听他的故事。1+2+3+4+5+96+97+98+99+100 哇唔！这要算好久好哇唔！这要算好久好久啊！小朋友们，你们有久啊！小朋友们，你们有没有什么好方法？没有什么好方法？1+2+3+4+5 +96+97+98+99+100100+99+98+97+96+5+4+3+2+1=101+101+101+101+101+101+101+101100100个个101101=101100=101001+2+3+

2、4+5 +96+97+98+99+100=101002=5050我们来看看高斯是怎么我们来看看高斯是怎么来做的。来做的。【例【例1】认识等差数列】认识等差数列（1）2、4、6、8、10、12、14、16（2）101、98、95、92、89、86、83（3）6、6、6、6、6、6、6、6、6这三个数列都是这三个数列都是等差数列等差数列，相邻两数的差都相等。，相邻两数的差都相等。其中第一个叫其中第一个叫首项首项；最后一项叫最后一项叫末项末项，因为相邻两个数的差相等，所以这个差叫因为相邻两个数的差相等，所以这个差叫公差公差。2101616836公差公差:2公差公差:3公差公差:0数列中数的个数是数列

3、中数的个数是项数项数。（4）1、2、4、7、11、15、21、28（5）1、2、1、2、1、2、1、2、1题组一题组一1.相邻两数的差都相等的数列叫（相邻两数的差都相等的数列叫（），），其中第一个叫（其中第一个叫（）；最后一个叫（）；最后一个叫（）；）；数列中的个数是（数列中的个数是（），因为相邻两数的差），因为相邻两数的差都相等，所以叫（都相等，所以叫（）。）。2.下列数列不是等差数列的是（下列数列不是等差数列的是（）。）。A.7、8、7、8、7、8、7、8、7 B.0、5、10、15、20、25、30、35 C.50、48、46、44、42、40、38、36、34、32等差数列等差数列首项

4、首项末项末项项数项数公差公差A1+2+3+4+5 +96+97+98+99+100100+99+98+97+96+5+4+3+2+1=101+101+101+101+101+101+101+101100100个个101101=101100=101001+2+3+4+5 +96+97+98+99+100=101002=50501+2+3+4+5 +96+97+98+99+100=（1+100）1002=1011002=10150=5050和和=（首项（首项+末项末项）项数项数 2和和=（首项（首项+末项）末项）项数项数2等差数列的和等差数列的和跟跟首项首项，末项末项和和项数项数有关。有关。【例【

5、例2】求和：】求和：1+2+3+4+19+20和和=（首项（首项+末项）末项）项数项数2=（1+20）20 2=21202=2110=210题组二题组二（1）1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=（1+19）102=20102=205=100（2）2+4+6+8+10+12+14+16+18=（2+18）92=2092=910=90题组二题组二（3）2+9+16+23+30+37+44+51+58=（2+58）92=6092=309=270（4）25+21+17+13+9+5+1=（25+1）72=2672=137=91题组二题组二（5）90+85+80+75+70+65+60+5

6、5+50+45+40=（90+40）112=130112=6511=715【例【例3】计算】计算 4+7+10+13+28+31+34+37第二项：第二项：4 和和 7之间有之间有 个间隔，个间隔，相差相差第三项：第三项：4 和和10之间有之间有 个间隔，个间隔，相差相差 13232第四项：第四项：4 和和 13之间有之间有 个间隔，个间隔，相差相差第五项：第五项：4 和和16之间有之间有 个间隔，个间隔，相差相差 333434末项：末项：4 和和37之间有之间有 个间隔，个间隔，相差相差（7-4）（10-4）（13-4）（16-4）（37-4）3 1111项数相隔数项数相隔数1项数（末项首项

7、）项数（末项首项）公差公差1 1【例【例3】计算】计算 4+7+10+13+28+31+34+37项数（项数（374）（74）1 3331 111 12和（和（374）122 41122 416 246和和=（首项（首项+末项）末项）项数项数2项数项数 =（末项首项）（末项首项）公差公差1 1题组三题组三（1）10+11+12+13+49+50项数项数=（5010）（1110）1=40 11=401=41和和=（10+50）412=60412=3041=1230项数项数 =（末项首项）（末项首项）公差公差1 1题组三题组三（2）1+3+5+7+9+97+99项数项数=（991）（31）1=98

8、 21=491=50和和=（1+99）502=100502=10025=2500题组三题组三（3）6+10+14+18+94+98项数项数=（986）（106）1=92 41=231=24和和=（6+98）24 2=104242=10412=1248题组三题组三（4）28+25+22+19+4+1项数项数=（281）（2825）1=27 31=91=10和和=（28+1）102=29102=295=145题组三题组三（5）97+92+87+82+12项数项数=（9712）（9792）1=85 51=171=18和和=（12+97）182=109182=1099=981题组三题组三（6）在）在1

9、4和和30之间插进三个数，使这五个数之间插进三个数，使这五个数构成等差数列。这三个数分别是多少？构成等差数列。这三个数分别是多少？（首项末项）（首项末项）（3014）（51）=16 4=4144181842222426公差公差=（项数（项数1）公差公差=【例【例4】计算】计算 3+7+11+15+（共（共20项）项）第二项：第二项：3 和和 7之间有之间有 个间隔，个间隔，相差相差第三项：第三项：3 和和11之间有之间有 个间隔，个间隔，相差相差 1=42=42第四项：第四项：3 和和 15之间有之间有 个间隔，个间隔，相差相差3=43末项：末项：3 和末项之间有和末项之间有 个间隔，个间隔，

10、相差相差 7-312-315-3 -3=41919末项首项公差末项首项公差（项数（项数1）末项公差末项公差（项数（项数1 1）首项）首项【例【例4】计算】计算 3+7+11+15+（共（共20项）项）末项（末项（7-37-3）（20201 1）3 3 419 4193 3 76 763 3 79 79和和 （3 37979）202202 82202 82202 8210 8210 820 820题组四题组四（1）5+10+15+20+（共有（共有11项）项）末项末项=（105）（111）5=5105=505=55和和=（5+55）112=60112=3011=330末项公差末项公差（项数（项数

11、1 1）首项）首项题组四题组四（2）3+6+9+15+（共有（共有15项）项）末项末项=（63）（151）3=5145=705=55和和=（5+55）112=60112=3011=330题组四题组四（3）4+7+10+13+（共有（共有13项）项）末项末项=（74）（131）4=3124=364=40和和=（4+40）132=44132=2213=286题组四题组四（4）11+16+21+26+（共有（共有16项）项）末项末项=（1611）（161）11=51511=7511=86和和=（11+86）162=97162=978=776【例【例5】计算】计算 1456135 3739145613

12、5 3739=1456（135 3739）=（139）202=40202=8002=400原式原式=1456400只要求只要求:135 3739=1056项数项数=（391）（31）1=38 21=191=20项数项数=（首项末项）（首项末项）公差公差1（1）200 1 2 3 4 19=200 （1234 19）=200 （119）192=200 20192=200 3802=200 190=10项数项数=（191）（21）1=18 11=191=19项数项数=（首项末项）（首项末项）公差公差1题组五题组五（2）420383634 4 2=420（383634 4 2）=420（382）19

13、2=42040192=4207602=420 380=40项数项数=（382）（3836）1=36 21=181=19项数项数=（首项末项）（首项末项）公差公差1题组五题组五【例【例6】某电影厅有】某电影厅有25排座位，第一排有排座位，第一排有20个座个座位，以后每排都比前一排多位，以后每排都比前一排多2个座位，这个电影个座位，这个电影厅一共有多少个座位？厅一共有多少个座位？末项公差末项公差（项数（项数1 1）首项）首项20+22+24+26+（共有（共有2525项）项）末项末项=2（251）20=22420=4820=68和和=（20+68）252=88252=4425=1100（1）某电影

14、厅有）某电影厅有20排座位，以后每排都比前一排座位，以后每排都比前一排多排多2个座位，最后一排有个座位，最后一排有68个座位，这个电影个座位，这个电影厅一共有多少个座位？厅一共有多少个座位？68+66+64+62+（共有（共有2020项）项）68=2（201）末项）末项68=219末项末项68=38末项末项末项末项=30和和=（30+68）202=98202=9810=980（个）（个）题组六题组六首项公差首项公差（项数（项数1 1）末项）末项（2）一堆粗细均匀的原木，最上面的一层有）一堆粗细均匀的原木，最上面的一层有3根，每向下一层增加根，每向下一层增加1根，共有根，共有10层，这堆圆木层，

15、这堆圆木共有多少根？共有多少根？3+4+5+6+（共有（共有1010项）项）末项末项=1（101）3=193=93=12和和=（3+12）102=15102=155=75（根）（根）题组六题组六末项公差末项公差（项数（项数1 1）首项）首项1.208207+206205+204203+3+2 1=208+206+204+2 20720520331=（208+206+2）（207+205+3+1）项数项数1=（2082）（208206）1=206 21=1031=104项数项数1=（2071）（207205）1=206 21=1031=104=（208+2）1042（207+1）1042=210

16、10422081042=2105220852=（210 208）52=252=1041.208207+206205+204203+3+2 1=（208207）+（206205）+（21）=1+1+1+1104 个个 1=1041=1042.（2+4+6+2008）（1+3+5+2007）项数项数1=（20082）（42）1=2006 21=10031=1004项数项数1=（20071）（31）1=2006 21=10031=1004=（2+2008）10042（1+2007）10042=201010042200810042=20105022008502=（2010 2008）502=2502=

17、10042.（2+4+6+2008）（1+3+5+2007）=2+4+6+20081352007=（21）+（43）+（65）+（20082007）=1+1+1+1=10041=10041004 个个 13.在前在前100个自然数中，除以个自然数中，除以3余余2的所有数相加的所有数相加的和是多少？的和是多少？解析：解析：这列等差数列的和为：这列等差数列的和为：5+8+11+14+98项数项数=（985）（85）+1=933+1=31+1=32=（5+98）322=103322=10316=16484.从从1到到60的连续自然数中，取两数相加，使这的连续自然数中，取两数相加，使这两数相加的和大于

18、两数相加的和大于60，有多少种不同的取法，有多少种不同的取法？解析解析60：1 5959种种59：2 5857种种58：3 5755种种32：29 313种种31：301种种57：4 5653种种59+57+55+53+3+14.从从1到到60的连续自然数中，取两数相加，使这的连续自然数中，取两数相加，使这两数相加的和大于两数相加的和大于60，有多少种不同的取法，有多少种不同的取法？59+57+55+53+3+1项数项数=（591）（5957）+1=582+1=29+1=30和和=（59+1）302=60302=6015=900（种）（种）5.在下图中，每个小等边三角形边长是在下图中，每个小等

19、边三角形边长是1根火柴棒，面根火柴棒，面积是积是15平方厘米？问平方厘米？问:（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？）最大三角形的面积是多少平方厘米？（1+3+5+7+9）15=（1+9）5 2 15=10 5 215=502 15=2515=375（平方厘米）（平方厘米）5.在下图中，每个小等边三角形边长是在下图中，每个小等边三角形边长是1根火柴棒，面根火柴棒，面积是积是15平方厘米？问平方厘米？问:（2 2）整个图形由多少根火柴摆成？）整个图形由多少根火柴摆成？3+6+9+12+15=（3+15）5 2=18 5 2=9 5=45（根）（根）5.在下图中，每个小等边三角形边长是在下图中，每

20、个小等边三角形边长是1根火柴棒，面积是根火柴棒，面积是15平方厘米？问平方厘米？问:（3 3）如果用火柴棒继续摆到）如果用火柴棒继续摆到5050层，共需多少根火柴棒？层，共需多少根火柴棒？3+6+9+12+（共（共50项）项）末项末项=3+（501）3=3+49 3=3+147=150和和=（3+150）502=153 50 2=7650 2=3825（根）（根）和和=（首项（首项+末项）末项）项数项数2项数项数=（末项首项）（末项首项）公差公差1 1末项末项=公差公差（项数（项数1 1）首项）首项进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起进入夏天，少不了一个热字当头，

21、电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三五成群，聚在大树，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得

22、满头大汗，不时听到围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑了，快来我给你扇扇强子，别跑了，快来我给你扇扇”。孩。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你看热的，跑什么？你看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的

23、表我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅长的时间隧道，袅结束