区间估计.ppt

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1、区间估计区间估计 区间估计的概念 定义 设 是总体的一个参数，其参数空间为，x1,x2,xn是来自该总体的样本，对给定的一个(0 1)，若有两个统计量 和 ，若对任意的 ，有 则称 为 的置信度为 1-1-的置信区间，分别称为置信下限和置信上限例 设x1 1,x2 2 ,x1010是来自N(,2 2)的样本，则 的置信水平为1-的置信区间为 其中，,s 分别为样本均值和样本标准差。这里用它来说明置信区间的含义。若取=0.10，则t0.950.95(9)=1.8331，上式化为 现假定=15,2 2=4，则我们可以用随机模拟方法由N(15,4)产生一个容量为10的样本，如下即是这样一个样本：14

2、.85 13.01 13.50 14.93 16.97 13.80 17.9533 13.37 16.29 12.38 由该样本可以算得 从而得到 的一个区间估计为 该区间包含 的真值-15。现重复这样的方法 100次，可以得到100个样本，也就得到100个区 间，我们将这100个区间画在图6.5.1上。由图由图6.5.16.5.1可可以看出，以看出，这这100100个个区间中区间中有有9191个个包含参包含参数真值数真值1515，另，另外外9 9个不个不包含参包含参数真值。数真值。图6.5.1 的置信水平为0.90的置信区间 取取=0.50=0.50，我们也我们也可以给出可以给出100100

3、个这样个这样的区间，的区间，见图见图6.5.26.5.2。可以看出，可以看出，这这100100个区个区间中有间中有5050个包含参个包含参数真值数真值1515，另外，另外5050个不包含个不包含参数真值。参数真值。图6.5.2 的置信水平为0.50的置信区间 定义 沿用定义1的记号，如对给定的(0 1)，对任意的，有 称 为 的1-同等置信区间。同等置信区间是把给定的置信水平1-用足了。常在总体为连续分布场合下可以实现。定义定义 若对给定的(0 1)和任意的，有 ，则称 为 的置信水平为1-的（单侧）置信下限。假如等号对一切成立，则称 为 的1-同等置信下限。若对给定的(0 1)和任意的，有

4、,则称 为 的置信水平为1-的（单侧）置信上限。若等号对一切成立，则称 为1-同等置信上限。单侧置信限是置信区间的特殊情形。因此，寻求置信区间的方法可以用来寻找单侧置信限。枢轴量法 构造未知参数构造未知参数 的置信区间的最常用的方法是的置信区间的最常用的方法是枢轴枢轴量法，量法，其步骤可以概括为如下三步：其步骤可以概括为如下三步：1.1.设法构造一个样本和设法构造一个样本和 的函数的函数 G G=G G(x x1 1,x,x2 2 ,x xn n,)使得使得G G的分布不依赖于未知参数。一般称具的分布不依赖于未知参数。一般称具有这种性质的有这种性质的G G为枢轴量。为枢轴量。2.2.适当地选择

5、两个常数适当地选择两个常数c,dc,d，使对给定的使对给定的 (0(0 1)1)有有P P(c c G G d d)=1)=1-3.3.假如能将假如能将c cG G d d 进行不等式等价变形化为进行不等式等价变形化为 则则 ，是是 的的1-1-同等置信区间。同等置信区间。关于置信区间的构造有两点说明：满足置信度要求的c与d通常不唯一。若有可能，应选平均长度 达到最短的c与d，这在G的分布为对称分布场合通常容易实现。实际中，选平均长度 尽可能短的c与d，这往往很难实现，因此，常这样选择 c与d，使得两个尾部概率各为/2，即P(Gd)=/2，这样的置信区间称为等尾置信区间。这是在G的分布为偏态分

6、布场合常采用的方法。例 设x1 1,x2 2 ,xn n是来自均匀总体U(0,)的一个样本，试对给定的(0 1)给出 的1-同等置信区间。解:（1）取x(n)作为枢轴量，其密度函数为p(y;)=nyn，0y 1；（2）x(n)/的分布函数为F(y)=yn,0y 1，故P(cx(n)/d)=d n-cn，因此我们可以适当地选择c和d满足d n-cn=1-（3）利用不等式变形可容易地给出 的1-同等置信区间为x(n n)/d，x(n n)/c，该区间的平均长度为 。不难看出，在0cd1及dn-cn=1-的条件下，当d=1,c=时，取得最小值，这说明 是 的置信水平1-为最短置信区间。单个正态总体参

7、数的置信区间 一、一、一、一、已知时已知时已知时已知时 的置信区间的置信区间的置信区间的置信区间 在这种情况下，枢轴量可选为在这种情况下，枢轴量可选为 ，c c和和d d应满足应满足P P(c c G G d d)=)=(d d)-(c c)=)=1 1-，经过不等经过不等式变形可得式变形可得 该区间长度为该区间长度为 。当。当d d=-c c=u u1 1-/2/2时，时，d d-c c达到最小，由此给出了的同等置信区间为达到最小，由此给出了的同等置信区间为 ，。（6.5.86.5.8）这是一个以这是一个以 为中心，半径为为中心，半径为 的对称的对称区间，常将之表示为区间，常将之表示为 。例

8、 用天平秤某物体的重量9次，得平均值为 （克），已知天平秤量结果为正态分布，其标准差为0.1克。试求该物体重量的0.95置信区间。解：此处1-=0.95，=0.05，查表知u0.9750.975=1.96，于是该物体重量 的0.95置信区间为 ，从而该物体重量的0.95置信区间为 15.3347，15.4653。例 设总体为正态分布N(,1)，为得到 的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2，样本容量应为多大？解：由题设条件知 的0.95置信区间为 其区间长度为 ，它仅依赖于样本容量n而与样本具体取值无关。现要求 ，立即有n(2/1.2)2 2u2 21 1-/2/2.现1-=0.95，

9、故u1 1-/2/2=1.96，从而n(5/3)2 2 1.962 2=10.6711。即样本容量至少为11时才能使得 的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2。二、2未知时 的置信区间 这时可用t 统计量，因为 ，因此 t 可以用来作为枢轴量。完全类似于上一小节，可得到 的1-置信区间为 此处 是 2的无偏估计。例 假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万公里）如下：4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.025.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 此处正态总体标准差未知，可使用t分布求均

10、值的置信区间。经计算有 =4.7092，s2 2=0.0615。取=0.05，查表知t0.9750.975(11)=2.2010，于是平均寿命的0.95置信区间为（单位：万公里）在实际问题中，由于轮胎的寿命越长越好，因此可以只求平均寿命的置信下限，也即构造单边的置信下限。由于 由不等式变形可知 的1-置信下限为 将t0.950.95(11)=1.7959代入计算可得平均寿命 的0.95置信下限为4.5806（万公里）。三、2的置信区间 取枢轴量 ，由于 2 2分布是偏态分布，寻找平均长度最短区间很难实现，一般都用等尾置信区间：采用 2 2的两个分位数 2 2 /2/2(n-1)和2 21-1-

11、/2/2(n-1)，在 2 2分布两侧各截面积为/2的部分，使得 由此给出 2 2的1-置信区间为 例例 某厂生产的零件重量服从正态分布某厂生产的零件重量服从正态分布N N(,2 2)，现从该厂生产的零件中抽现从该厂生产的零件中抽取取9 9个，测得其重量个，测得其重量为（单位：克）为（单位：克）45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.645.6 试求总体标准差试求总体标准差 的的0.950.95置信区间。置信区间。解：解：由数据可算得由数据可算得 s s2 2=0.03

12、25=0.0325，(n n-1)1)s s2 2=8=8 0325=0.26.0325=0.26.查表知查表知 2 2 0.0250.025(8)(8)=2.1797=2.1797，2 20.9750.975(8)(8)=17.5345=17.5345，代入可得代入可得 2 2的的0.950.95置信区间为置信区间为 从而从而 的的0.950.95置信区间为置信区间为:0.12180.1218，0.34540.3454。在样本容量充分大时，可以用渐近分布来构造近似的置信区间。一个典型的例子是关于比例p 的置信区间。6 大样本置信区间 设x1,xn是来自b(1,p)的样本,有 对给定，通过变形

13、，可得到置信区间为 其中记=u21-/2，实用中通常略去/n项，于是可将置信区间近似为例6.对某事件A作120次观察，A发生36次。试给出事件A发生概率p 的0.95置信区间。解：此处n=120，=36/120=0.3 而u0.9750.975=1.96，于是p的0.95（双侧）置信下限和上限分别为 故所求的置信区间为 0.218，0.382例6.某传媒公司欲调查电视台某综艺节目收视率p，为使得 p 的1-置信区间长度不超过d0 0，问应调查多少用户？解：这是关于二点分布比例p的置信区间问题，由（6.5.11）知，1-的置信区间长度为 这是一个随机变量，但由于 ，所以对任意的观测值有 。这也就

14、是说p的1-的置信区间长度不会超过 。现要求p的的置信区间长度不超过d0，只需要 即可，从而 （6.5.12）这是一类常见的寻求样本量的问题。比如，若取d0 0=0.04，=0.05，则 。这表明，要使综艺节目收视率p的0.95置信区间的长度不超过0.04，则需要对2401个用户作调查。两个正态总体下的置信区间 设x1 1 ,xmm是来自N(1 1,1 12 2)的样本，y1 1 ,yn n是来自N(2 2,2 22 2)的样本，且两个样本相互独立。与 分别是它们的样本均值，和 分别是它们的样本方差。下面讨论两个均值差和两个方差比的置信区间。一、1-2的置信区间1、12和 22已知时的两样本u

15、区间 2、12=22=2未知时的两样本t区间 3、22/12=已知时的两样本t区间 4、当m和n都很大时的近似置信区间 5、一般情况下的近似置信区间 其中 例 为比较两个小麦品种的产量，选择18块条件相似的试验田，采用相同的耕作方法作试验，结果播种甲品种的8块试验田的亩产量和播种乙品种的10块试验田的亩产量（单位：千克/亩）分别为：甲品种 628 583 510 554 612 523 530 615 乙品种 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426 假定亩产量均服从正态分布，试求这两个品种平均亩产量差的置信区间.(=0.05）。解：以x1 1 ,x8 8

16、记甲品种的亩产量，y1 1,y1010记乙品种的亩产量，由样本数据可计算得到 =569.3750，sx x2 2=2140.5536，m=8 =487.0000，sy y2 2=3256.2222，n=10 下面分两种情况讨论。(1)若已知两个品种亩产量的标准差相同，则可采用两样本t区间。此处 故1 1 -2 2的0.95置信区间为(2)若两个品种亩产量的方差不等，则可采用近 似 t 区间。此处 s0 02 2=2110.5536/8+3256.2222/10=589.4414，s0 0=24.2784 于是1 1-2 2的0.95近似置信区间为 31.3685，133.3815二、12/22

17、的置信区间 由于(m-1)sx x2 2/1 12 2 2 2(m-1),(n-1)sy y2 2/2 22 2 2 2(n-1)，且sx x2 2与sy y2 2相互独立，故可仿照F变量构造如下枢 轴量 ,对给定的1-，由 经不等式变形即给出 1 12 2/2 22 2的如下的置信区间例 某车间有两台自动机床加工一类套筒，假设套筒直径服从正态分布。现在从两个班次的产品中分别检查了5个和6个套筒，得其直径数据如下（单位：厘米）：甲班：5.06 5.08 5.03 5.00 5.07 乙班：4.98 5.03 4.97 4.99 5.02 4.95 试求两班加工套筒直径的方差比 甲甲2 2/乙乙

18、2 2的0.95置信区间。解：由数据算得sx x2 2=0.00037,sx x2 2=0.00092，故置信区间0.0544，3.7657 36 2.4 区区间估估计 点估点估计能能给未知参数未知参数一个明确的数量，但不能一个明确的数量，但不能给出精度，区出精度，区 间估估计可弥可弥补其不足。其不足。2.4.1 区区间估估计的概念的概念37 置信度置信度1-反映了区反映了区间估估计的可信度（能的可信度（能够包含未知参数包含未知参数的概的概率率为1-）。）。怎怎样理解置信区理解置信区间的置信水平（置信度）的置信水平（置信度）为1-？在所在所给定的一定的一组样本本观察察值之下，可得到一个确定的区

19、之下，可得到一个确定的区间，如，如果独立地再取一个果独立地再取一个样本，又会得到另外一个区本，又会得到另外一个区间，即反复抽，即反复抽样多次多次,由每由每组样本本观察察值可以确定一个区可以确定一个区间，这个区个区间或或许已包含了参数已包含了参数的真的真值，或，或许没有包含参数没有包含参数的真的真值。若置信度。若置信度为1-，在在这些置些置信区信区间 中，中，约有有1-的区的区间包含参数包含参数的真的真值，仅有有的区的区间没有包含参数没有包含参数的真的真值。如如1-=95%，约有有95%的区的区间包含参数包含参数的真的真值，5%不包含参不包含参数数的真的真值。38 3.4.2 枢枢轴量法量法 构

20、造未知参数构造未知参数的置信区的置信区间的一个常用方法是枢的一个常用方法是枢轴量法，具体量法，具体 步步骤如下：如下：其次，适当选取两个常数c、d，使对给定的有注：上式中的大于等于号是注：上式中的大于等于号是专门为离散分布而离散分布而设置的；置的；为 连续分布分布时，上式取等号。，上式取等号。39 如何确定C、d？当 的分布为单峰时的常用方法：方法方法1：当 的分布为对称时（如标准正态分布），取d使其满足 40 这样得到的置信区间为等尾置信区间。5.4.3 正正态均均值的置信区的置信区间（已知）已知）构造构造统计量量（枢（枢轴量）量）。当。当讨论总体均体均值的置信区的置信区间时，首，首 先先应

21、该从从总体均体均值的点估的点估计量量 出出发，由于，由于总体体X服从正服从正态分布，分布，则 41 42 例例1 某保险公司欲了解某险种投保人的平均年龄，随机抽取了 24人，计算出24人的平均年龄为39岁。试以95%的置信度估计该险 种投保人的平均年龄（设投保人的年龄 ,总体标准差=7.2岁）。解：由于总体X服从正态分布，则 ，有 43 还需需进一步一步讨论的的问题：44 例例2 某地区在夏粮收割期某地区在夏粮收割期间，随机抽割了，随机抽割了400亩小麦，小麦，测得得 平均平均亩产为350公斤，公斤，标准差准差为70公斤，公斤，试以以90%的置信度估的置信度估计 该地区小麦平均地区小麦平均亩产

22、的区的区间范范围和小麦和小麦总产量的区量的区间范范围（设该 地区的小麦播种面地区的小麦播种面积共有共有20000亩）。）。45 2、样本容量的确定本容量的确定 置信区置信区间 的区的区间长度度L=置信上限置信上限-置信下限，置信下限，L反映了区反映了区 间估估计的精确度，当的精确度，当L愈愈长，估，估计区区间包含真包含真值的可能性就愈大，的可能性就愈大，但是估但是估计也愈不精确。也愈不精确。对给定的置信度定的置信度1-，总体均体均值的置信区的置信区间的的长度度为46 47 注注2：为了提高区了提高区间估估计的精确度，需要减小置信区的精确度，需要减小置信区间的的长度。度。当当已知已知时，置信区，

23、置信区间的的长度度L是是样本容量本容量n的的单调（减）函数，可（减）函数，可 通通过增加增加样本容量本容量n来达到提高的精度的目的。来达到提高的精度的目的。如如给定区定区间长度度 ,48 例例3 某食品厂要某食品厂要检验本月生本月生产的的10,000袋某袋某产品的重量，根据品的重量，根据 上月上月资料，料，这种种产品每袋重量的品每袋重量的标准差准差为25克。要求在克。要求在95.45的的 概率保概率保证程度下，置信区程度下，置信区间长度度L0=10，应抽抽查多少袋多少袋产品？品？要求在要求在95.45的概率保的概率保证程度下，置信区程度下，置信区间长度度L0=10，应抽抽查100袋袋产品。品。

24、49 2.4.4 正正态均均值的置信区的置信区间（未知）未知）在第四章我在第四章我们曾曾对以上以上结论进行行过证明（复明（复习）50 51 52 53 例例4 为了解某地区了解某地区18周周岁以上成年人用于以上成年人用于购烟的月平均支出，烟的月平均支出，随机抽出随机抽出28人人调查，得，得 、S=31，试以以95%的置信度估的置信度估计该 地区地区18周周岁以上吸烟者用于以上吸烟者用于购烟的月平均支出（烟的月平均支出（设购烟的月平均支烟的月平均支 出服从正出服从正态分布）。分布）。以以95%的置信度估的置信度估计，该地区地区18岁以上吸烟者用于以上吸烟者用于购烟的月平烟的月平 均支出在均支出在

25、65.9890.02元之元之间。54 55 56 57 例例5 某食品厂加工了一批罐某食品厂加工了一批罐头，担心罐，担心罐头重量的差异太大。随重量的差异太大。随 机抽出机抽出15个罐个罐头称其重量（称其重量（单位：克），位：克），样本方差本方差 ,假假设 总体呈正体呈正态分布，分布，试估估计罐罐头重量方差重量方差 、标准差准差的的95%的置信的置信 区区间。58 59 5.4.6 两个正两个正态均均值差的置信区差的置信区间60 61 62 63 64 65 近似服从N(0,1)分布。66 67 例例6 一个企一个企业的某种的某种实验中，一部分由中，一部分由40个工人用第一种方法完个工人用第一种

26、方法完成，另一部分由成，另一部分由30个工人用第二种方法完成。个工人用第二种方法完成。结果得下列数据：果得下列数据：时间时间 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6050 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 方法一的人数方法一的人数 0 1 2 5 8 9 6 3 3 1 2 0 1 2 5 8 9 6 3 3 1 2 方法二的人数方法二的人数 1 3 5 4 7 5 3 1 1 0 01 3 5 4 7 5 3 1 1 0 0 （假定两种方法所需时间都服从正态分布，方差未知）的置信度的置信度为95%的置信区的置信区间。68 69 70 例例7

27、将例将例6中的中的资料料换成：一个企成：一个企业的某种的某种实验中，一部分由中，一部分由12个工人用第一种方法完成，另一部分由个工人用第一种方法完成，另一部分由9个工人用第二种方法完个工人用第二种方法完成。成。分分别别就以下情况求就以下情况求 的置信度的置信度为95%的置信区的置信区间。（1 1）假定两种方法所需）假定两种方法所需时间时间都服从正都服从正态态分布，方差未知，但相等分布，方差未知，但相等.（2 2）两种方法所需）两种方法所需时间时间都服从正都服从正态态分布，方差未知，但不相等分布，方差未知，但不相等.解：（解：（1）X、Y的方差未知，但相等的方差未知，但相等71 72（2）若）若

28、X、Y的方差未知，但不相等的方差未知，但不相等73 74 5.4.7、两个正、两个正态方差比的置信区方差比的置信区间上一章已上一章已经对F分布分布进行行过讨论，复，复习F分布的定分布的定义。1、F分布分布75 76 2、两个正、两个正态方差比的置信区方差比的置信区间定理定理5.4.3 设X、Y是两个正是两个正态总体，均体，均值分分别为 方差方差 77 且两者独立，由且两者独立，由F发布的定布的定义知知得正得正态总体方差之比体方差之比 的置信度的置信度为1-的置信区的置信区间为 78 正正态总体体标准差之比准差之比 的置信度的置信度为1-的置信区的置信区间为：79 例例8 职工家工家计调查结果果

29、为：甲地抽取甲地抽取121户，户均年消均年消费支出支出 ，标准差准差SX=400元元 乙地抽取乙地抽取61户，户均年消均年消费支出支出 ，标准差准差SY=400元元 试求：甲、乙两城市年消求：甲、乙两城市年消费支出支出标准差之比的置信度准差之比的置信度为0.90的的 置信区置信区间。80 5.5 单侧置信限置信限 5.5.1 单侧置信限的概念置信限的概念 在某些在某些实际问题中，我中，我们往往关心某些未知参数的下限、上往往关心某些未知参数的下限、上限限.81 5.5.1 倒推法倒推法（根据区（根据区间估估计的枢的枢轴量量进行倒推）行倒推）82 83 例例1 为研究某种汽研究某种汽车轮胎的磨胎的

30、磨损情况，随机地情况，随机地选择16只只轮胎胎 进行磨行磨损检测，其平均行，其平均行驶的里程的里程为41117公里，公里，样本本标准差准差为 1347公里，假公里，假设总体呈正体呈正态分布，分布，试求求的置信度的置信度为95%的置信的置信 下限。下限。解：解：对给定的定的，查t分布表确定分布表确定临界界值 将将资料代入公式，得料代入公式，得即即总体均体均值的置信度的置信度为95%的置信下限是的置信下限是40526公里。公里。5.5.2 构造构造单侧置信限的一般方法（置信限的一般方法（选学）学）84 5.6 比率比率p的置信区的置信区间 若若总体各体各单位的某种位的某种标志只有两种表志只有两种表

31、现形式，形式，则总体成数是体成数是指指总体中具有某种特征或属性的体中具有某种特征或属性的单位占全部位占全部总体体单位数的比重，位数的比重，实际问题中常需中常需对总体成数（体成数（总体比率）体比率）进行推断。例如，估行推断。例如，估计产品品的不合格品率；估的不合格品率；估计全部全部顾客客对商店服商店服务的不的不满意率等。意率等。样本成数本成数p为二点分布二点分布 的参数。的参数。为了估了估p，从，从X中随机抽取一容量中随机抽取一容量为n的的样本本 ,在在n个个样本本单位中具有某种特征的位中具有某种特征的单位数位数为T，即即 ,其其 样本平均数本平均数 是是总体成数体成数P的无偏估的无偏估计，即，

32、即 85 5.6.1 小小样本本场合下合下P的置信区的置信区间为了估了估计P，从，从X中随机抽取一容量中随机抽取一容量为n的的样本本 ,在在n个个样本本单位中具有某种特征的位中具有某种特征的单位数位数记为T，即即 ,是是总体成数体成数P的无偏估的无偏估计，即，即 P的置信度的置信度为1-的置信区的置信区间为 ,其中：其中：其中：86（证明明过程程见教材）教材）87 例例1 从一批产品中随机抽查63件，发现有3件不合格品。求这批产品的不合格品率P的置信度为90%的置信区间。得得P的置信度的置信度为为90%的置信区的置信区间为间为0.013，0.119。88 5.6.2 大大样本本场合下合下 的置信区的置信区间 平均数 根据中心极限定理知，样渐近服从正态分布，即 ,则枢轴量U近似服从 分布，即 89 得得P的置信度的置信度为1-的置信区的置信区间为：90 例例2 将例将例1的的资料改料改为：从一批从一批产品中随机抽品中随机抽查630件，件，发现有有30件不合格品。求件不合格品。求这批批产品的不合格品率品的不合格品率p的置信度的置信度为90%的置信区的置信区间。91 5.7 贝叶斯估叶斯估计（略）（略）