同济大学高等数学第六版下册第十一章傅立叶级数.ppt

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1、FourierFourier 级数级数 前面两节我们讨论了一般项是非负整数次幂的前面两节我们讨论了一般项是非负整数次幂的幂函数的函数项级数幂函数的函数项级数-幂级数，给出了幂级数幂级数，给出了幂级数的收敛半径和收敛域的求法，讨论了函数展开为幂的收敛半径和收敛域的求法，讨论了函数展开为幂级数的条件及函数展开为幂级数的直接展开法、间级数的条件及函数展开为幂级数的直接展开法、间接展开法。接展开法。从本节开始我们来讨论一般项是三角函数的函从本节开始我们来讨论一般项是三角函数的函数项级数数项级数-三角级数，重点讨论如何把函数三角级数，重点讨论如何把函数展开为三角级数的问题，它的重要应用之一是对展开为三角

2、级数的问题，它的重要应用之一是对周期信号进行频谱分析，是学习积分变换的基础，周期信号进行频谱分析，是学习积分变换的基础，也可利用三角级数展开式求出某些数项级数的和也可利用三角级数展开式求出某些数项级数的和一、问题的提出一、问题的提出 在自然科学与工程技术问题中，常会遇到周期现在自然科学与工程技术问题中，常会遇到周期现象具有周期现象的量，每经过时间象具有周期现象的量，每经过时间 T 后所取的值就后所取的值就重复出现，这样的量在数学上可表示成时间重复出现，这样的量在数学上可表示成时间 t 的周的周期函数期函数 f(t+T)=f(t)正弦函数是一类比较简单的周期函数，而且是应正弦函数是一类比较简单的

3、周期函数，而且是应用十分广泛的一类周期函数。如在简谐振动和正弦电用十分广泛的一类周期函数。如在简谐振动和正弦电路电流分析中常遇到正弦型函数路电流分析中常遇到正弦型函数 但是在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到但是在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦周期函数，它们反映了较复杂的周期运动非正弦周期函数，它们反映了较复杂的周期运动非正弦型周期函数：巨形波非正弦型周期函数：巨形波 如何深入地研究非正弦型周期函数呢？联系到前面如何深入地研究非正弦型周期函数呢？联系到前面介绍过的用函数的幂级数展开式表示和讨论函数，我介绍过的用函数的幂级数展开式表示和讨论函数，我们也想将周期函数展开成简单的周期函

4、数如正弦函数们也想将周期函数展开成简单的周期函数如正弦函数组成的级数组成的级数不同频率的正弦波逐个叠加不同频率的正弦波逐个叠加 以电路计算为例，往往将以以电路计算为例，往往将以 T 为周期的函数化为周期的函数化成一系列不同频率的正弦量之和。成一系列不同频率的正弦量之和。将周期函数按上述方式展开，其物理意义是很明确将周期函数按上述方式展开，其物理意义是很明确的，这就是把一个比较复杂的周期运动看成一系列不的，这就是把一个比较复杂的周期运动看成一系列不同频率的简谐振动的叠加同频率的简谐振动的叠加二、三角级数二、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性1.1.三角级数三角级数谐波分析谐波分析三角

5、级数三角级数2.2.三角函数系的正交性三角函数系的正交性三角函数系三角函数系三、函数展开成傅里叶级数三、函数展开成傅里叶级数问题问题:1.若能展开若能展开,是什么是什么?2.展开的条件是什么展开的条件是什么?1.1.傅里叶系数傅里叶系数傅里叶系数傅里叶系数傅里叶级数傅里叶级数问题问题:以上我们是在以上我们是在f(x)可以展开成三角级数并可以可以展开成三角级数并可以逐项积分的前提下讨论问题的，下面我们撇开这个前逐项积分的前提下讨论问题的，下面我们撇开这个前提提只要公式中的积分都存在，就可以定出系数只要公式中的积分都存在，就可以定出系数并并可唯一地写出可唯一地写出f(x)的的 F-级数级数 至于这

6、个级数是否收敛，如收敛是否收敛到至于这个级数是否收敛，如收敛是否收敛到f(x)的的问题问题，有以下定理，有以下定理2.2.狄利克雷狄利克雷(DirichletDirichlet)充分条件充分条件(收敛定理收敛定理)注意注意:函数展开成傅里叶级数的条件比展开成函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多幂级数的条件低的多.解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.和函数图象为和函数图象为所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为展开步骤展开步骤 验证验证 f(x)满足满足 Dirichlet 条件，并确定条件，并确定f(x)的的所有间断点，可作图，结合图形进行分析、

7、判断所有间断点，可作图，结合图形进行分析、判断根据公式计算根据公式计算Fourier系数系数写出写出Fourier 级数展开式，并注明展开式的级数展开式，并注明展开式的 成立范围成立范围注注求求Fourier系数一般要用分部积分法，有时甚至系数一般要用分部积分法，有时甚至要多次分部积分，较麻烦且容易出错，此外，某要多次分部积分，较麻烦且容易出错，此外，某些些an ,bn 需要单独计算，容易忽略而导致错误需要单独计算，容易忽略而导致错误 求函数的求函数的Fourier级数展开式，主要的工作是计算级数展开式，主要的工作是计算Fourier系数，利用函数的奇偶性可简化系数，利用函数的奇偶性可简化Fo

8、urier系系数计算，数计算，当当f(x)是奇函数时是奇函数时 此时其此时其Fourier级数展开式是只含有正弦项而没有级数展开式是只含有正弦项而没有常数项和余弦项的正弦级数常数项和余弦项的正弦级数当当f(x)是偶函数时是偶函数时 此时其此时其Fourier级数展开式是只含有常数项和余弦级数展开式是只含有常数项和余弦项而没有正弦项的余弦级数项而没有正弦项的余弦级数例例2 f(x)在一个周期内的表达式为在一个周期内的表达式为解解f(x)如右图所示如右图所示 满足收敛定理的条件满足收敛定理的条件 例例3 试求其试求其Fourier级数的和函数级数的和函数解解f(x)在在整个数轴上连续整个数轴上连续，其其Fourier级数处处收敛于级数处处收敛于f(x)本身本身四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近思考题思考题思考题解答思考题解答 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近