隐函数导数和由参数方程确定函数导数.pptx

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1、一、隐函数的导数定义：定义：若由方程 F(x,y)=0 可确定 y 是 x 的函数,则称此函数为隐函数.由 y=f(x)表示的函数称为显函数.隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.第1页/共33页隐函数求导方法:两边对 x 求导(含导数 y 的方程)第2页/共33页例例1 1解解解得第3页/共33页例例2 2解解解得注意：隐函数的导数的表达式中一般同时含有变量 x 和 y.第4页/共33页例例3 3解解所求切线方程为显然通过原点.第5页/共33页例例4 4解解第6页/共33页二、对数求导法观察函数对数求导法对

2、数求导法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围适用范围:有些函数用对数求导法求导很方便 .第7页/共33页例例1 1解解等式两边取对数得第8页/共33页例例2 2解解等式两边取对数得第9页/共33页对幂指函数 求导也可用对数求导法.解解例例3 3等式两边取对数得第10页/共33页例例4 4解解等式两边取对数得第11页/共33页三、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数 t问题问题:消参困难或无法消参如何求导?第12页/共33页由复合函数及反函数的求导法则得第13页/共33页例例1 1解解第14页/共33页例例2 2解解故所求切线方程为第15页/共33页解解：思考思考

3、：方程组两边同时对方程组两边同时对 t 求导求导,得得,求求设设第16页/共33页例例3 3解解第17页/共33页第18页/共33页四、相关变化率相关变化率问题相关变化率问题:研究两个变化率之间的关系，以便已知其中一个变化率时求出另一个变化率.相关变化率第19页/共33页相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率第20页/共33页解解仰角增加率例例1 1第21页/共33页思考题思考题:当气球升至当气球升至500 m 时停住时停住,有一观有一观测者以测者以100 ms 的速率向气球出发点走来的速率向气球出发点走来,当距离为当距离为500 m

4、时时,仰角的增加率是多少仰角的增加率是多少?提示提示:对对 t 求导求导已知已知求求第22页/共33页试求当容器内水试求当容器内水例例2.有一底半径为有一底半径为 R cm,高为高为 h cm 的圆的圆锥容器锥容器,今以今以 自顶部向容自顶部向容器内注水器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解:设时刻设时刻 t 容器内水面高度为容器内水面高度为 x,水的水的上式两边对上式两边对 t 求导，得求导，得而而故故体积为体积为 V,则则第23页/共33页练习：设溶液自深18cm，顶直径12cm的圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满了溶液

5、，已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其液面下降的速率为1cm/min，问此时圆柱形桶中液面上升的速率为多少?第24页/共33页例例3 3解解水面上升之速率4000m第25页/共33页五、小结隐函数求导法则:直接对方程两边求导；对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导；参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则；相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.第26页/共33页练练 习习 题题第27页/共33页第28页/共33页第29页/共33页第30页/共33页练习题答案练习题答案第31页/共33页第32页/共33页感谢您的观看！第33页/共33页