D习题课学习教程.pptx

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1、一、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系选择合适的坐标系使积分域多为坐标面使积分域多为坐标面(线线)围成围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序选择易计算的积分序积分域分块要少积分域分块要少,累次积分易算为妙累次积分易算为妙.图示法图示法列不等式法列不等式法(从内到外从内到外:面、线、点面、线、点)3.掌握确定积分限的方法掌握确定积分限的方法 累次积分法累次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共28页1.计算二重积分计算二重积分其中其中D 为圆周为圆周所围成的闭区域所围成的闭区域.提示提示:利用

2、极坐标利用极坐标原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共28页2.把积分把积分化为三次积分化为三次积分,其中其中 由曲面由曲面提示提示:积分域为积分域为原式及平面及平面所围成的闭区域所围成的闭区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共28页3.计算积分计算积分其中其中 是是两个球两个球(R 0)的公共部分的公共部分.提示提示:由于被积函数缺由于被积函数缺 x,y,原式原式=利用利用“先二后一先二后一”计算方便计算方便.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共28页4.计算三重积分计算三重积分其中其中 是由是由 xoy平面上曲线平面上曲线所围成的闭区域所围成的闭区域

3、.提示提示:利用柱坐标利用柱坐标原式原式绕绕 x 轴旋转而成的曲面与平面轴旋转而成的曲面与平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共28页5.计算积分计算积分其中其中D 由由所围成所围成.提示提示:如图所示如图所示连续连续,所以所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共28页二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧分块积分法分块积分法利用对称性利用对称性1.交换积分顺序的方法交换积分顺序的方法2.利用对称性或重心公式简化计算利用对称性或重心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号消去被积函数绝对值符号4.利用重积分换元公式利用重积分换元公式机动 目录 上页 下页 返回 结

4、束 第7页/共28页证明证明:提示提示:左端积分区域如图左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得交换积分顺序即可证得.1.2.其中其中 是是所围成的闭区域所围成的闭区域，f 连续。连续。提示提示:被积函数在对称域被积函数在对称域 上关于上关于 x 为奇函数为奇函数,利用对称性可知原式为利用对称性可知原式为 0.机动 目录 上页 下页 返回 结束 由球面由球面第8页/共28页3.在均匀的半径为在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上的圆形薄片的直径上,要接要接上一上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个使整个的另一边长度应为多少的另一边长度应为多少?提

5、示提示:建立坐标系如图建立坐标系如图.由对称性知由对称性知由此解得由此解得问接上去的均匀矩形薄片问接上去的均匀矩形薄片即有即有薄片的重心恰好落在圆心上薄片的重心恰好落在圆心上,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共28页例例1.计算二重积分计算二重积分其中:(1)D为圆域为圆域(2)D由直线由直线解解:(1)利用对称性利用对称性.围成围成.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共28页(2)积分域如图积分域如图:将将D 分为分为添加辅助线添加辅助线利用对称性利用对称性,得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共28页例例2.计算二重积计算二重积分分其中其中D 是由曲是

6、由曲所围成的平面域所围成的平面域.解解:其形心坐标为其形心坐标为:面积为面积为:积分区域积分区域线线形心坐标形心坐标机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共28页例例3.计算二重积分计算二重积分在第一象限部分在第一象限部分.解解:(1)两部分两部分,则则其中其中D 为圆域为圆域把与把与D 分成分成作辅助线作辅助线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共28页(2)提示提示:两部分两部分 说明说明:若不用对称性若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线作辅助线将将D 分成分成机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共28页例例4.计算二重积

7、分计算二重积分（教程教程P321例例8（3）解：解：被积函数复杂，难以积分，应作坐标变换。被积函数复杂，难以积分，应作坐标变换。其相应的二重积分区域为半圆形，故令其相应的二重积分区域为半圆形，故令原式原式=第15页/共28页例例5.如图所示如图所示交换下列二次积分的顺序交换下列二次积分的顺序:解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共28页例例6.解解:在球坐标系下在球坐标系下 （教程教程P331例例16）利用洛必达法则与导数定义利用洛必达法则与导数定义,得得其中其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共28页三、重积分的应用三、重积分的应用1.几何方面几何方面面积面积

8、(平面域或曲面域平面域或曲面域),体积体积,形心形心质量质量,转动惯量转动惯量,质心质心,引力引力 证明某些结论等证明某些结论等 2.物理方面物理方面3.其它方面其它方面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共28页例例7.证明证明证证:左端左端=右端右端机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共28页例例8.若若 f(x)在在0,1上连续，证明上连续，证明（教程教程P322）证证：（用原函数法）（用原函数法）因因 f(x)连续，故设连续，故设第20页/共28页例例9.设函数设函数 f(x)连续且恒大于零连续且恒大于零,其中其中(1)讨论讨论 F(t)在区间在区间(0,+)内的单

9、调性内的单调性;(2)证明证明 t 0 时时,(03考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共28页解解:(1)因为因为 两边对两边对 t 求导求导,得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共28页(2)问题转化为证问题转化为证 即证即证 故有故有因此因此 t 0 时时,因因机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共28页利用利用“先二后一先二后一”计算计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10.试计算椭球试计算椭球体体的体积的体积 V.解法解法1第24页/共28页*解法解法2利用三重积分换元法利用三重积分换元法.令令(广义球坐标代换广义球坐标代换)则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共28页例例11：求均匀椭球体求均匀椭球体对过原点的直线对过原点的直线 x=y=z 的转动惯量。的转动惯量。（教程教程P333）解：解：转动惯量的微元为区域微元的质量与该微元与转动惯量的微元为区域微元的质量与该微元与直线距离平方的乘积。直线距离平方的乘积。第26页/共28页因此转动惯量因此转动惯量由由的对称性知的对称性知再作广义球坐标代换，求得再作广义球坐标代换，求得（教程教程例例12（4）第27页/共28页感谢您的观看！第28页/共28页