线代12工程数学.pptx

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1、会计学1线代线代12工程数学工程数学课前复习课前复习课前复习课前复习第1页/共32页 行列式的性质与计算行列式的性质与计算性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。行列式与它的转置行列式相等。称为称为D的的转置行列式转置行列式第4页/共32页证明：证明：则则由行列式定义由行列式定义说明说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质 对列也成立，反之亦然。对列也成立，反之亦然。第5页/共32页性质性质2：互换行列式的两行（列），行列式的值变号。互换行列式的两行（列），行列式的值变号。证明：证明：设设交换交换s、t 两行，得两行，得s行行t行行第6页/共32页由

2、行列式定义可知，由行列式定义可知，D中任一项中任一项可以写成可以写成因为因为（2）（1）显然这是显然这是中取自不同行、不同列的中取自不同行、不同列的n个元素的乘积，而且个元素的乘积，而且（2）式右端的）式右端的n个元素是按它们在个元素是按它们在中所处的行标为自然顺序中所处的行标为自然顺序排好的。因此排好的。因此是是中的一项。中的一项。（3）第7页/共32页因为，排列因为，排列与排列与排列的的奇偶性相反，所以项（奇偶性相反，所以项（1）与项（）与项（3）相差一符号，这就证明）相差一符号，这就证明了了D的任一项的反号是的任一项的反号是中的项，同样可以证明中的项，同样可以证明中的中的任一项的反号也是

3、任一项的反号也是D中的项。中的项。因此，因此，DD记法记法行列式的第行列式的第s行：行：行列式的第行列式的第s列：列：交换交换s、t两行：两行：交换交换s、t两列：两列：推论：推论：如果行列式有两行（列）相同，则行列式为如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0。证明：证明：把相同的两行互换，有把相同的两行互换，有DD，所以，所以 D0第8页/共32页性质性质3：用数用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数等于用数 k 乘此行列式。乘此行列式。推论：推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符

4、号外面记法记法第第s行乘以行乘以k：第第s列乘以列乘以k:推论：推论：若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0。第9页/共32页性质性质4：即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。对应的行一样。第10页/共32页第11页/共32页性质性质5：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加后再加到另一行（列）对应的元素

5、上去，行列式的值不变。到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。记法记法数数k乘第乘第 t 行加到第行加到第 s 行上：行上：证明：证明：作作第12页/共32页得得第13页/共32页利用行列式性质计算：利用行列式性质计算：目标目标化为三角形行列式化为三角形行列式例例1：计算计算例例2：计算计算第14页/共32页例例3：计算计算例例4：计算计算第15页/共32页注：注：上述各例都用到把几个运算写在一起的省略写法，上述各例都用到把几个运算写在一起的省略写法，要注意各个运算次序一般不能颠倒，因为后一次要注意各个运算次序一般不能颠倒，因为后一次运算是作用在前一次运算结果上。运算是作用在前一次运算结

6、果上。例如：例如：第16页/共32页第17页/共32页 在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式记作记作第18页/共32页注注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式代数余子式.即即 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式与它的代数余子式引理引理引

7、理引理的乘积，的乘积，一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除证证 当当 位于首位时位于首位时,即即即有即有又又从而从而命题得证命题得证第19页/共32页得得把把 的第的第 行依次与第行依次与第 行，第行，第 行，行，第第1 1行对调行对调下证一般情形下证一般情形,此时此时第20页/共32页得得把把 的第的第 列依次与第列依次与第 列，第列，第 列，列，第第1 1列对调列对调第21页/共32页中的余子式中的余子式注意到：注意到：元素元素 在行列式在行列式中的余子式仍然是中的余子式仍然是 在行列式在行列式第22页/共32页于是有于是有故故即即所以命题得证所以命

8、题得证第23页/共32页 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即应的代数余子式乘积之和，即证证二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则定理定理定理定理利用行列式的性质四利用行列式的性质四-拆分原理有拆分原理有第24页/共32页 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即推论推论推论推论命题得证命题得证第25页/共32页把行列式把行列式 按第按第

9、 行展开有行展开有证证把行列式中的把行列式中的 换成换成 可得可得相同相同同理同理命题得证命题得证第26页/共32页关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质第27页/共32页例例1 1计算行列式常用方法：化零，展开计算行列式常用方法：化零，展开.三、应用举例三、应用举例三、应用举例三、应用举例解解第28页/共32页例例2 2第四行各元素余子式之和为第四行各元素余子式之和为分析分析 以以 表示表示 中元素中元素 的余子式，则有的余子式，则有第29页/共32页例例3 3第30页/共32页n n作业作业n nP264（1），（3），（4）；5(1),(2);第31页/共32页