最小二乘估计(最新课件ppt).ppt

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1、 求线性回归方程求线性回归方程 求线性回归方程的一般步骤求线性回归方程的一般步骤（1 1）计算平均数）计算平均数 、；（2 2）计算）计算x xi i与与y yi i的积，求的积，求 ;（3 3）计算）计算 ;（4 4）将上述有关结果代入公式）将上述有关结果代入公式求求b b、a a，写出线性回归方程，写出线性回归方程.求线性回归方程，关键在于正确地求出系数求线性回归方程，关键在于正确地求出系数a a、b b，由于求，由于求a a、b b的计算量较大，计算时应仔细谨慎、分层进的计算量较大，计算时应仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误行，避免因计算产生失误.【例例1 1】（20112011中山

2、模拟中山模拟)某公司近年来科研费用支出某公司近年来科研费用支出x x万万元与公司所获得利润元与公司所获得利润y y万元之间有如下的统计数据：万元之间有如下的统计数据：(1)(1)请画出上表数据的散点图请画出上表数据的散点图;(2)(2)请根据上表提供的数据请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出用最小二乘法求出y y关于关于x x的线的线性回归方程性回归方程y=bx+a.y=bx+a.参考公式：参考公式：【审题指导审题指导】解答本题的关键是明确公式中各量的意义解答本题的关键是明确公式中各量的意义,分分别计算出结果别计算出结果.【规范解答规范解答】（1)1)画出散点图如图：画出散点图如图：【例例】

3、以下资料是一位销售经理收集来的销售员每年的销售以下资料是一位销售经理收集来的销售员每年的销售额和销售经验年数的关系表：额和销售经验年数的关系表：（1 1）根据这些数据画出散点图并作出直线）根据这些数据画出散点图并作出直线y=78+4.2x,y=78+4.2x,计计算算 ;（2 2）根据这些数据用最小二乘法求线性回归方程）根据这些数据用最小二乘法求线性回归方程 =a+bx=a+bx，并由此计算并由此计算 ;（3 3）比较（）比较（1 1）和（）和（2 2）中两个计算结果的大小）中两个计算结果的大小.【审题指导审题指导】解答本题的关键是明确解答本题的关键是明确y yi i,y,yi i的意义的意义

4、,代入公代入公式求解式求解.【规范解答规范解答】(1)(1)散点图与直线散点图与直线y=78+4.2xy=78+4.2x如图所示如图所示.当当x x分别取分别取1,3,4,4,6,8,10,10,11,131,3,4,4,6,8,10,10,11,13时，时，yy的值分别为的值分别为82.2,90.6,94.8,94.8,82.2,90.6,94.8,94.8,103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,则则 =179.28.=179.28.（3 3）因为）因为179.28179.28170,170,故用最小二

5、乘法求出的故用最小二乘法求出的 较小较小.回归方程的应用回归方程的应用1.1.回归方程的应用体现在以下几个方面：回归方程的应用体现在以下几个方面：(1)(1)描述两变量之间的依赖关系：利用线性回归方程即可定描述两变量之间的依赖关系：利用线性回归方程即可定量的描述两个变量间的依赖关系量的描述两个变量间的依赖关系.(2)(2)利用回归方程可以进行预测利用回归方程可以进行预测,把预报因子把预报因子(相当于随机变相当于随机变量量x)x)代入回归方程对预报量代入回归方程对预报量(相当于因变量相当于因变量y)y)进行估计进行估计,即即可得到个体可得到个体y y值的允许区间值的允许区间.(3)(3)利用回归

6、方程进行统计控制规定利用回归方程进行统计控制规定y y值的变化值的变化,通过控制通过控制x x的范围来实现统计控制的目标的范围来实现统计控制的目标.2.2.应用线性回归方程的方法技巧应用线性回归方程的方法技巧（1 1）求线性回归方程时，应注意只有在散点图大致呈线性相）求线性回归方程时，应注意只有在散点图大致呈线性相关时，求出的线性回归方程才有实际意义，因此，对数据作关时，求出的线性回归方程才有实际意义，因此，对数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否呈线性相关关系线性回归分析时，应先看其散点图是否呈线性相关关系.（2 2）求线性回归方程，关键在于正确地求出系数）求线性回归方程，关键在于正确地求

7、出系数a a、b b，由于，由于求求a a、b b的计算量较大，计算时应仔细谨慎、分层进行，避免的计算量较大，计算时应仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误因计算产生失误.（3 3）得到的实验数据不同，则）得到的实验数据不同，则a a、b b的结果也不尽相同的结果也不尽相同.在线性回归方程中，在线性回归方程中，b b是线性回归方程的斜率，是线性回归方程的斜率，a a是截距；是截距；b b的含义容易理解成增加的单位数，而实际上，的含义容易理解成增加的单位数，而实际上，它代表它代表x x每增加一个单位，每增加一个单位，y y平均增加的单位数为平均增加的单位数为b b个单位个单位.【例例2 2】一个

8、车间为了规定工时定额一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所需要确定加工零件所花费的时间花费的时间,为此进行了为此进行了1010次实验次实验,收集数据如下收集数据如下:（1 1）画出散点图）画出散点图;（2 2）求线性回归方程）求线性回归方程.【审题指导审题指导】先画散点图，判断其是否线性相关，再利用先画散点图，判断其是否线性相关，再利用最小二乘法求其回归方程最小二乘法求其回归方程.【规范解答规范解答】（1 1）散点图如图所示）散点图如图所示.由散点图知二者呈线性相关关系由散点图知二者呈线性相关关系.（2 2）设线性回归方程为）设线性回归方程为y=bx+a.y=bx+a.列表并利用科学计算

9、器进行有关计算列表并利用科学计算器进行有关计算.所以所以b=0.668,b=0.668,a=-b=91.7-0.66855=54.96.a=-b=91.7-0.66855=54.96.故所求线性回归方程为故所求线性回归方程为y=0.668x+54.96.y=0.668x+54.96.【典例典例】（20112011包头高二检测包头高二检测)假设关于某设备的使用年假设关于某设备的使用年限限x x和所支出的维修费用和所支出的维修费用y y（万元）有如表格所示的统计数（万元）有如表格所示的统计数据，由资料显示据，由资料显示y y对对x x呈线性相关关系呈线性相关关系.(1)(1)请根据上表数据，用最小

10、二乘法求出请根据上表数据，用最小二乘法求出y y关于关于x x的线性回归的线性回归方程方程.(2)(2)试根据（试根据（1 1）求出的线性回归方程，预测使用年限为）求出的线性回归方程，预测使用年限为1010年时年时,维修费用是多少维修费用是多少?【审题指导审题指导】解答本题的关键是最小二乘法求回归方程解答本题的关键是最小二乘法求回归方程,再再利用它的意义解答第（利用它的意义解答第（2 2）问）问.【规范解答规范解答】(1)=32.5+43+54+64.5=66.5(1)=32.5+43+54+64.5=66.5 =4.5 =3.5=4.5 =3.5 =3 =32 2+4+42 2+5+52 2

11、+6+62 2=86 b=0.7=86 b=0.7a=-b=3.5-0.74.5=0.35.a=-b=3.5-0.74.5=0.35.故线性回归方程为故线性回归方程为y=0.7x+0.35.y=0.7x+0.35.(2)(2)当当x=10(x=10(年年)时时,维修费用是维修费用是0.710+0.35=7.35(0.710+0.35=7.35(万元万元)，所以根据回归方程的预测，使用年限为所以根据回归方程的预测，使用年限为1010年时年时,维修费用是维修费用是7.35(7.35(万元万元).).【误区警示误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：1.1.

12、下列命题：下列命题：线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法；的直线的数学方法；利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；可以用线性关系表示；通过回归直线通过回归直线y ybxbxa a及回归系数及回归系数b b，可以估计和预测变，可以估计和预测变量的取值和变化趋势量的取值和变化趋势.其中正确的命题是其中正确的命题是()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析解析】选选D.D.利用最小二乘法求回归直线就是求样本数据利用最小二乘法求回

13、归直线就是求样本数据的点到直线的距离的平方和的最小值的点到直线的距离的平方和的最小值.利用线性回归方程，利用线性回归方程，可以进行预测可以进行预测.而从散点图的分布可以判断是否线性相关而从散点图的分布可以判断是否线性相关.2.2.有关线性回归的说法，不正确的是有关线性回归的说法，不正确的是()()(A)(A)相关关系的两个变量是非确定关系相关关系的两个变量是非确定关系(B)(B)散点图能直接地反映数据的相关程度散点图能直接地反映数据的相关程度(C)(C)线性回归方程最能代表线性相关的两个变量之间的关系线性回归方程最能代表线性相关的两个变量之间的关系(D)(D)散点图中的点越集中，两个变量的相关

14、性越强散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强【解析解析】选选D.D.散点图上的点大致分布在通过散点图中心的散点图上的点大致分布在通过散点图中心的那条直线附近，整体上呈线性分布时，两个变量相关关系那条直线附近，整体上呈线性分布时，两个变量相关关系越强越强.3.3.若施化肥量若施化肥量x kgx kg与水稻产量与水稻产量y kgy kg在一定范围内线性相关，在一定范围内线性相关，若回归方程为若回归方程为y y5x5x250.250.当施化肥量为当施化肥量为80 kg80 kg时，预计水时，预计水稻的产量为稻的产量为_._.【解析解析】当当x x8080时，时，y y580580250250650

15、(kg).650(kg).答案答案:650 kg650 kg4.4.某饮料店的日销售收入某饮料店的日销售收入y(y(单位：百元单位：百元)与当天平均气温与当天平均气温x(x(单位：单位：)之间有下列数据：之间有下列数据：甲甲,乙乙,丙三位同学对上述数据进行了研究丙三位同学对上述数据进行了研究,分别得到了分别得到了x x与与y y之间的三个线性回归方程之间的三个线性回归方程y=-x+2.8;y=-x+3;y=y=-x+2.8;y=-x+3;y=-1.2x+2.6,-1.2x+2.6,其中正确的是其中正确的是_;_;【解析解析】把把 ,代入可知代入可知.答案答案:5.5.已知变量已知变量x x，y y线性相关，线性相关，x x与与y y有下列对应数据：有下列对应数据：求求y y对对x x的线性回归方程的线性回归方程.【解析解析】