曲线的凹凸性及曲率解析.pptx

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1、会计学1曲线的凹凸性及曲率解析曲线的凹凸性及曲率解析问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?问题问题:如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?第1页/共32页定义定义 如果在某区间内，曲线弧位于其上如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是间内是凹凹的；如果在某区间内，曲线弧位于的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是个区间内是凸凸的的一、（一）一、（一）曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点第2页/共

2、32页曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定:第3页/共32页 定理定理 设函数设函数 在区间在区间 内存内存在二阶导数，在二阶导数，(2)(2)若时，恒有，则曲若时，恒有，则曲线在内线在内凸的凸的(1)(1)若时，恒有，则曲若时，恒有，则曲线线 在内在内凹的凹的；第4页/共32页例例解解注意到注意到,第5页/共32页（二）曲线的拐点（二）曲线的拐点 第6页/共32页求拐点的一般步骤：求拐点的一般步骤：令，解出全部根，并求出所令，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点；有二阶导数不存在的点；求函数的二阶导数；求函数的二阶导数；对步骤对步骤求出的每一个点，检查其左、求出的每一

3、个点，检查其左、右邻近的的符号，如果异号则该点为曲右邻近的的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点第7页/共32页第8页/共32页第9页/共32页练习练习练习练习.求曲线求曲线求曲线求曲线的凹凸区间及拐点.解解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上是凹的,是凸的,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸第10页/共32页xoyl二、二、渐近线渐近线 第11页/共32页2023/5/713 曲线渐近线的分类曲线渐近线的分类第12页/共32页第13页/共32页注意：注意：只有当函数的定义域是无穷区间时，只有当函数的定义域是

4、无穷区间时，其曲线才有可能存在水平渐近线其曲线才有可能存在水平渐近线第14页/共32页解解因为，所以是曲因为，所以是曲线的水平渐近线线的水平渐近线又因为又因为5 5是的间断点是的间断点,且且，所以是曲线的铅垂渐近线，所以是曲线的铅垂渐近线例例 求曲线的水平渐近线求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线和铅垂渐近线.第15页/共32页例例 求曲线的水平渐近线和求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线铅垂渐近线.解解因为，所以因为，所以是曲线的水平渐近线是曲线的水平渐近线又因为又因为1 1和和-1-1是的间断点，且是的间断点，且，所以，所以和是曲线的铅垂渐近线和是曲线的铅垂渐近线第16页/共32页三三三三、复杂函数图

5、形的描绘、复杂函数图形的描绘、复杂函数图形的描绘、复杂函数图形的描绘步骤步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为 0 和不存在的点;并考察其对称性及周第17页/共32页例例例例3.3.描绘描绘描绘描绘的图形.解解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)第18页/共32页第19页/共32页第20页/共32页2-1-12o1 1第21页/共32页四、平面曲线的曲率四、平面曲线的曲率-曲线的弯曲程度弯曲程度决定于描述曲线在一点的弯曲程度描述曲线在一点的弯曲程度第22页/共

6、32页4 4、1 1 曲率及其计算公式曲率及其计算公式曲率及其计算公式曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 取弧段对应切线转角定义弧段 上的平均曲率点 M 处的曲率曲率曲率K 的计算公式的计算公式第23页/共32页例例例例.求半径为求半径为求半径为求半径为R R 的圆上任意点处的曲率的圆上任意点处的曲率的圆上任意点处的曲率的圆上任意点处的曲率 .解解:如图所示,可见:R 愈小,则K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R 愈大,则K 愈小,圆弧弯曲得愈小.第24页/共32页抛物线例例上哪一点处的曲率最大？解：解：根据曲率的计算公式由代入公式得若 a,b 给定，则时，曲率 K 最大，即即抛物线的顶点处曲率最大

7、即抛物线的顶点处曲率最大第25页/共32页4 4 4 4、2 2 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径设 P 为曲线 C 上任一点,在点在曲线把以 D 为中心,R 为半径的圆叫做曲线在点 P 处的曲率圆曲率圆(密切圆密切圆),R 叫做曲率半径曲率半径,D 叫做曲率中心曲率中心.P 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使第26页/共32页第27页/共32页第28页/共32页内容小结内容小结内容小结内容小结1.可导函数单调性判别在 I 上单调递增在 I 上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+拐点 连续曲线上的凹凸分界点曲线在I上向下凹第29页/共32页3.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0 或不存在的点(2)第一充分条件过由正正变负负为极大值过由负负变正正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值最值点应在极值点和边界点上找;4.4.4.4.连续函数的最值连续函数的最值连续函数的最值连续函数的最值第30页/共32页水平渐近线;垂直渐近线;1）曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行2）函数图形的描绘6.弧长微分、曲率与曲率半径3）曲率圆、曲率半径2）曲率公式1）弧长微分或5.弧长微分、曲率与曲率半径第31页/共32页