第8讲方向导数与梯度精选文档.ppt

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1、第8讲方向导数与梯度本讲稿第一页，共二十二页回忆一元函数的单侧导数回忆一元函数的单侧导数:AC方向导数方向导数O本讲稿第二页，共二十二页xOy.P0Pl.本讲稿第三页，共二十二页方向导数与偏导数方向导数与偏导数本讲稿第四页，共二十二页xOyz.P0Pl.本讲稿第五页，共二十二页方向导数的定义方向导数的定义 设函数在内有定义.若点 沿射线 l 趋于时,极限l 方向的方向导数.记为存在,则称该极限值为函数在点处沿本讲稿第六页，共二十二页直线 l 的方程:则故射线 l 的方程:本讲稿第七页，共二十二页 利用直线方程可将方向导数的定义表示为利用直线方程可将方向导数的定义表示为:本讲稿第八页，共二十二页

2、本讲稿第九页，共二十二页本讲稿第十页，共二十二页若函数在点处可微,则函数在点处沿任一方向的方向导数存在,且其中,各偏导数均为在点处的值.方向导数的计算公式定理定理本讲稿第十一页，共二十二页 例例解解本讲稿第十二页，共二十二页由点到坐标原点的距离定义的函数在坐标原点处的沿各方向的方向导数。此例说明:1.方向导数存在时,偏导数不一定存在.2.可微是方向导数存在的充分条件,而不是 必要条件.例例本讲稿第十三页，共二十二页 例例解解本讲稿第十四页，共二十二页本讲稿第十五页，共二十二页只与函数在点只与函数在点 X0 处的偏导数有关处的偏导数有关.1本讲稿第十六页，共二十二页问题：问题：该问题仅在不同时为零才有意义.在给定点沿什么方向增加得最快?可微函数本讲稿第十七页，共二十二页且且本讲稿第十八页，共二十二页定义定义设则称向量为函数在点处的梯度,记为或梯梯 度度本讲稿第十九页，共二十二页 梯度的方向与取得最大方向导数值的方向一致,而梯度的模就是函数在该点的方向导数的最大值.本讲稿第二十页，共二十二页在中在中可统一表示为本讲稿第二十一页，共二十二页从而从而 例例解解本讲稿第二十二页，共二十二页