微分方程模型建立中的稳定性模型幻灯片.ppt

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1、微分方程模型建立中的稳定性模型第1页，共54页，编辑于2022年，星期六0 0 稳定性问题稳定性问题 在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程

2、或使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将研究几个与稳定性微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将研究几个与稳定性有关的问题。有关的问题。第2页，共54页，编辑于2022年，星期六一般的微分方程或微分方程组可以写成：一般的微分方程或微分方程组可以写成：定义定义 称微分方程或微分方程组称微分方程或微分方程组 为自治系统或动力系统。为自治系统或动力系统。（3.28）若方程或方程组若方程或方程组f f(x x)=0)=0有解有解X Xo o，X=XX=Xo o显然满足（显然满足（3.28）。）。称点称点X Xo o为微为微分方程或微分方程组（分

3、方程或微分方程组（3.28)3.28)的平衡点或奇点。的平衡点或奇点。第3页，共54页，编辑于2022年，星期六例例 Logistic Logistic模型模型 共有两个平衡点：共有两个平衡点：N=0和和N=K，分别对应微分方程的两两个特，分别对应微分方程的两两个特殊解。前者为殊解。前者为No=0时的解而后者为时的解而后者为No=K时的解。时的解。当当NoK时，则位于时，则位于N=K的上方。从图的上方。从图3-17中不难看出，若中不难看出，若No0，积分曲线在，积分曲线在N轴上的投影轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于曲线（称为轨线）将趋于K。这说明，平衡点。这说明，平衡点N=0和和N=K有着极大

4、的有着极大的区别。区别。图3-17 定义定义1 1 自治系统自治系统 的相空间是指以（的相空间是指以（x1,xn）为坐标为坐标 的空间的空间Rn。特别，当特别，当n=2时，称相空间为相平面。时，称相空间为相平面。空间空间Rn的点集的点集(x1,xn)|xi=xi(t)满足满足(3.28)，i=1,n称称为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。第4页，共54页，编辑于2022年，星期六定义定义2 2 设设x x0 0是（是（3.283.28）的平衡点，称：）的平衡点，称：（1 1）x x0 0是稳定的，如果对于任意的是稳定的，如果对于任意的

5、00，存在一个，存在一个00，只要，只要|x x(0)-(0)-x x0 0|，就有，就有|x x(t t)-)-x x0 0|对所有的对所有的t t都成立。都成立。（2 2）x x0 0是渐近稳定的，如果它是稳定的且是渐近稳定的，如果它是稳定的且 。微分方程平衡点的稳定性除了几何方法，还可以通过解析方法来微分方程平衡点的稳定性除了几何方法，还可以通过解析方法来讨论，所用工具为以下一些定理。讨论，所用工具为以下一些定理。（3 3）x x0 0是不稳定的，如果（是不稳定的，如果（1 1）不成立。）不成立。根据这一定义，根据这一定义，LogisticLogistic方程方程的平衡点的平衡点N=KN

6、=K是稳定的且为渐是稳定的且为渐近稳定的，而平衡点近稳定的，而平衡点N=0N=0则是则是不稳定的。不稳定的。第5页，共54页，编辑于2022年，星期六解析方法解析方法定理定理1 1 设设x xo o是微分方程是微分方程 的平衡点：的平衡点：若若 ,则则x xo o是渐近稳定的是渐近稳定的若若 ,则则x xo o是渐近不稳定的是渐近不稳定的证证 由泰勒公式，当由泰勒公式，当x x与与x xo o充分接近时，有：充分接近时，有：由于由于x xo o是平衡点，故是平衡点，故f f(x xo o)=0)=0。若。若 ，则当，则当x x 0)0，从而，从而x x单增；当单增；当x x x xo o时，又

7、有时，又有f f(x x)0)00，可能出现以下情形：，可能出现以下情形：若若q0，120。当当p0时，时，零点不稳定；零点不稳定；当当p p00时，零点稳定时，零点稳定 若若q q00，1 12 200时，零点不时，零点不 稳定稳定 当当p0时，零点稳定时，零点稳定（2）0，零点稳定，零点稳定若若a=0，有零点为中心的周期解，有零点为中心的周期解 综上所述：仅当综上所述：仅当p0时，时，（3.30）零点才是渐近稳定的；当）零点才是渐近稳定的；当p=0且且q0时（时（3.30）有周期解，零点是稳定的中心（非渐近稳定）；在）有周期解，零点是稳定的中心（非渐近稳定）；在其他情况下，零点均为不稳定的

8、。其他情况下，零点均为不稳定的。非线性方程组（非线性方程组（3.29）平衡点稳定性讨论可以证明有下面定理成立）平衡点稳定性讨论可以证明有下面定理成立:定理定理2 若（若（3.30）的零点是渐近稳定的，则（）的零点是渐近稳定的，则（3.29）的平衡点）的平衡点 也是渐近稳定的；若（也是渐近稳定的；若（3.30）的零点是不稳定的，则（）的零点是不稳定的，则（3.29）的平衡点也是不稳定的。的平衡点也是不稳定的。第9页，共54页，编辑于2022年，星期六稳定性模型稳定性模型 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势分长以后过程的变化趋势

9、平衡状态是否稳定。平衡状态是否稳定。不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。研究平衡状态的稳定性。第10页，共54页，编辑于2022年，星期六6.1 捕鱼业的持续收获捕鱼业的持续收获 再生资源（渔业、林业等）与非再再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）生资源（矿业等）再生资源应适度开发再生资源应适度开发在持续稳产前提在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。下实现最大产量或最佳效益。问题及问题及 分析分析 在在捕捞量稳定捕捞量稳定的条件下，如何控制的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。捕捞使产量最大或效益最佳。如果使捕捞

10、量等于自然增长量，如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼渔场鱼量将保持不变量将保持不变，则捕捞量稳定。，则捕捞量稳定。背景背景第11页，共54页，编辑于2022年，星期六产量模型产量模型假设假设 无捕捞时鱼的自然增长服从无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模建模 捕捞情况下渔捕捞情况下渔场鱼量满足场鱼量满足 不需要求解不需要求解x(t),只需知道只需知道x(t)稳定的条件稳定的条件r固有增长率固有增长率,N最大鱼量最大鱼量h(x)=Ex,E捕捞强度捕捞强度x(t)渔场鱼量渔场鱼量第12页，共54页，编辑于2022年，星期

11、六一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性（自治）方程一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根的根x0 微分方程的微分方程的平衡点平衡点设设x(t)是方程的解，若从是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，某邻域的任一初值出发，都有都有称称x0是方程是方程(1)的的稳定平衡点稳定平衡点不求不求x(t),判断判断x0稳定性的方法稳定性的方法直接法直接法(1)的近似线性方程的近似线性方程第13页，共54页，编辑于2022年，星期六产量模型产量模型平衡点平衡点稳定性判断稳定性判断x0 稳定稳定,可得到稳定产量可得到稳定产量x1 稳定稳定,渔场干枯渔场干枯E捕捞强度捕捞强

12、度r固有增长率固有增长率第14页，共54页，编辑于2022年，星期六产量模型产量模型在捕捞量稳定的条件下，控在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大制捕捞强度使产量最大图解法图解法P的横坐标的横坐标 x0平衡点平衡点y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标的纵坐标 h产量产量产量最大产量最大f 与与h交点交点Phmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半控制渔场鱼量为最大鱼量的一半第15页，共54页，编辑于2022年，星期六效益模型效益模型假设假设 鱼销售价格鱼销售价格p 单位捕捞强度费用单位捕捞强度费用c 单位时间利润单位时间利润在捕捞量稳定的条件

13、下，控制捕捞强在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大度使效益最大.稳定平衡点稳定平衡点求求E使使R(E)最大最大渔场渔场鱼量鱼量收入收入 T=ph(x)=pEx支出支出 S=cE第16页，共54页，编辑于2022年，星期六EsS(E)T(E)0rE捕捞捕捞过度过度 封闭式捕捞封闭式捕捞追求利润追求利润R(E)最大最大 开放式捕捞开放式捕捞只求利润只求利润R(E)0R(E)=0时的捕捞强度时的捕捞强度(临界强度临界强度)Es=2ER临界强度下的渔场鱼量临界强度下的渔场鱼量捕捞过度捕捞过度ERE*令令=0第17页，共54页，编辑于2022年，星期六6.2 军备竞赛军备竞赛 描述双方描述双方(

14、国家或国家集团国家或国家集团)军备竞赛过程军备竞赛过程 解释解释(预测预测)双方军备竞赛的结局双方军备竞赛的结局假设假设 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；军备增加越快；2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；军备增长的制约越大；3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力。加军备的潜力。进一步进一步假设假设 1）2）的作用为线性；）的作用为线性；3）的作用为常数）的作用为常数目的目的第18页，共54页，编辑于2022年，星期

15、六建模建模军备竞赛的结局军备竞赛的结局微分方程的平衡点及其稳定性微分方程的平衡点及其稳定性x(t)甲方军备数量，甲方军备数量，y(t)乙方军备数量乙方军备数量,本方经济实力的制约；本方经济实力的制约；k,l 对方对方军备数量的刺激；军备数量的刺激；g,h 本方本方军备竞赛的潜力。军备竞赛的潜力。t 时的时的x(t)，y(t)第19页，共54页，编辑于2022年，星期六线性常系数线性常系数微分方程组微分方程组的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点P0(x0,y0)=(0,0)代数方代数方程程的根的根若从若从P0某邻域的任一初值出发，都有某邻域的任一初值出发，都有称称P0是微分方程的是微

16、分方程的稳定平衡点稳定平衡点记系数矩阵记系数矩阵特征方程特征方程特征根特征根第20页，共54页，编辑于2022年，星期六线性常系数线性常系数微分方程组微分方程组的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性特征根特征根平衡点平衡点 P0(0,0)微分方程一般解形式微分方程一般解形式平衡点平衡点 P0(0,0)稳稳定定平衡点平衡点 P0(0,0)不稳不稳定定 1,2为负数或有负实部为负数或有负实部p 0 且且 q 0p 0 或或 q kl 下下 x(t),y(t)0,即友好邻国通过裁军可达到永久和平。即友好邻国通过裁军可达到永久和平。模型模型,本方经济实力的制约；本方经济实力的制约；k,l 对方对方军备数

17、量的刺激；军备数量的刺激；g,h 本方本方军备竞赛的潜力。军备竞赛的潜力。第23页，共54页，编辑于2022年，星期六3）若）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时不为零，即便双方一时和解，使某时x(t),y(t)很小，但因很小，但因 ，也会重整军备。，也会重整军备。4）即使某时一方）即使某时一方(由于战败或协议由于战败或协议)军备大减军备大减,如如 x(t)=0，也会因也会因 使该方重整军备，使该方重整军备，即存在互不信任即存在互不信任()或固有争端或固有争端()的单方的单方面裁军不会持久。面裁军不会持久。模型的定性解释模型的定性解释,本方经济实力的制约；本方经济实力的制约；k,l 对

18、方对方军备数量的刺激；军备数量的刺激；g,h 本方本方军备竞赛的潜力。军备竞赛的潜力。模型模型第24页，共54页，编辑于2022年，星期六6.3 种群的相互竞争种群的相互竞争 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。达到环境容许的最大容量。建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，建立

19、数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。分析产生这种结局的条件。第25页，共54页，编辑于2022年，星期六模型假设模型假设 有甲乙两个种群，它们独自生存时数有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从量变化均服从Logistic规律规律;两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比的数量成正比;甲对乙有同样的作用。甲对乙有同样的作用。对于消耗甲的资源而言，对于消耗甲的资源而言，乙乙(相对于相对于N2)是甲是甲(相对相对于于N1)的的 1 倍。倍。对甲增长的阻滞对甲增长的阻滞作用，乙大于甲作用，乙大于甲乙的竞争力强乙的

20、竞争力强模型模型第26页，共54页，编辑于2022年，星期六模型模型分析分析(平衡点及其稳定性平衡点及其稳定性)(二阶二阶)非线性非线性(自治自治)方程方程的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点P0(x10,x20)代数方程代数方程的根的根若从若从P0某邻域的任一初值出发，都有某邻域的任一初值出发，都有称称P0是微分方程的是微分方程的稳定平衡点稳定平衡点模型模型第27页，共54页，编辑于2022年，星期六判断判断P0(x10,x20)稳定性稳定性的方法的方法直接法直接法(1)的近似线性方程的近似线性方程平衡点平衡点 P0稳定稳定(对对2,1)p 0 且且 q 0平衡点平衡点 P0不稳

21、定不稳定(对对2,1)p 0 或或 q 0第28页，共54页，编辑于2022年，星期六仅当仅当 1,2 1时，时，P3才有意义才有意义模型模型第29页，共54页，编辑于2022年，星期六平衡点稳平衡点稳定性分析定性分析平衡点平衡点 Pi 稳定条件：稳定条件：p 0 且且 q 0第30页，共54页，编辑于2022年，星期六种群竞争模型的平衡点及稳定性种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定不稳定平平 衡点衡点 21,11,P1,P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3 是两种群共存的平衡点是两种群共存的平衡点 11,21P1稳定的条件稳定的条件 11?11 21,11

22、P1,P2都不都不(局部局部)稳稳定定0(3)11,21,21,21加上与加上与(4)相区别的相区别的 11 P2 稳定稳定 P3 稳定稳定P1全局稳定全局稳定第33页，共54页，编辑于2022年，星期六结果解释结果解释对于消耗甲的资源而言，对于消耗甲的资源而言，乙乙(相对于相对于N2)是甲是甲(相对相对于于N1)的的 1 倍。倍。对甲增长的阻滞对甲增长的阻滞作用，乙小于甲作用，乙小于甲乙的竞争力弱乙的竞争力弱 P1稳定的条件：稳定的条件：11 21 甲的竞争力强甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝甲达到最大容量，乙灭绝 P2稳定的条件：稳定的条件：11,21 P3稳定的条件：稳定的条件：11,

23、21通常通常 1 1/2，P3稳定条件不满足稳定条件不满足第34页，共54页，编辑于2022年，星期六6.4 种群的相互依存种群的相互依存甲乙两甲乙两种群的相互依存有三种形式种群的相互依存有三种形式1)甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。一起生存时相互提供食物、促进增长。2)甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互时相互提供食物、促进增长。提供食物、促进增长。3)甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。相互提供食物、促进增长。第35页，共54

24、页，编辑于2022年，星期六模型模型假设假设 甲可以独自生存，数量变化服从甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律规律;甲甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用(服从服从Logistic规律规律)。模型模型乙为甲提供食物是乙为甲提供食物是甲消耗的甲消耗的 1 倍倍甲为乙提供食物是甲为乙提供食物是乙消耗的乙消耗的 2 倍倍第36页，共54页，编辑于2022年，星期六种群依存模型的平衡

25、点及稳定性种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点是甲乙相互依存而共生的平衡点稳定条件稳定条件不稳定不稳定平衡点平衡点第37页，共54页，编辑于2022年，星期六平衡点平衡点P2稳定稳定性的相轨线性的相轨线0 11,1 21 P2稳定稳定第38页，共54页，编辑于2022年，星期六 1 21 前提下前提下P2存在的必要条件存在的必要条件结果结果解释解释 21 甲必须为乙提供足够的食物甲必须为乙提供足够的食物甲为乙甲为乙提供的食物是乙消耗的提供的食物是乙消耗的 2 倍倍 11,1 21条件下使条件下使 1 21 成立成立 P2稳定条件：稳定条件：11,1 2 0P:临界状态临

26、界状态 q 0P 不稳定不稳定 第42页，共54页，编辑于2022年，星期六tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.92695.10009.616216.72355.2000 9.017316.20649.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用数学软件用数学软件MATLAB求求微分方程数值解微分方程数值解xy 平面上的相轨线平面上的相轨线第43页，共54页，编辑于2022年，星期六计算结果（数值，图形）计算结果

27、（数值，图形）x(t),y(t)是周期函数，相图是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线是封闭曲线观察，猜测观察，猜测x(t),y(t)的周期约为的周期约为9.6xmax 65.5,xmin 6,ymax 20.5,ymin 3.9用数值积分可算出用数值积分可算出 x(t),y(t)一周期的平均值：一周期的平均值：x(t)的平均值约为的平均值约为25,y(t)的平均值约为的平均值约为10。食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra)第44页，共54页，编辑于2022年，星期六 消去消去dt用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性c 由初始条件确定由初始条件确定取指数取指数第45页，共54页

28、，编辑于2022年，星期六x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上讨论相轨线的图形在相平面上讨论相轨线的图形用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性相轨线相轨线时无相轨线时无相轨线以下设以下设第46页，共54页，编辑于2022年，星期六y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0 xx0P0 x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相轨线退化为相轨线退化为P点点 存在x1x0 x2,使f(x1)=f(x2)=p存在y1y0y2,使g(y1)=g(y2)=q相轨线是封闭曲线族相轨线是封闭曲线族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy

29、0y0相轨线相轨线P中心中心第47页，共54页，编辑于2022年，星期六相轨线相轨线是封闭曲线是封闭曲线x(t),y(t)是周期函数是周期函数(周期记周期记 T)求求x(t),y(t)在一周期的平均值在一周期的平均值轨线轨线中心中心用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性第48页，共54页，编辑于2022年，星期六T2T3T4T1PT1 T2 T3 T4x(t)的的“相位相位”领先领先 y(t)模型解释模型解释初值初值相轨线的方向相轨线的方向第49页，共54页，编辑于2022年，星期六模型解释模型解释r 食饵增长率食饵增长率d 捕食者死亡率捕食者死亡率b 食饵供养捕食者能力食饵供养捕食者能力

30、捕食者捕食者 数量数量食饵食饵数量数量Pr/ad/ba 捕食者掠取食饵能力捕食者掠取食饵能力捕食者数量与捕食者数量与r成正比成正比,与与a成反比成反比食饵食饵数量与数量与d成正比成正比,与与b成反比成反比第50页，共54页，编辑于2022年，星期六模型模型解释解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？鲨鱼的比例却在增加，为什么？rr-1,dd+1捕捞捕捞战时战时捕捞捕捞rr-2,dd+2,2 1xy食饵食饵(鱼鱼)减少，减少，捕食者捕食者(鲨鱼鲨鱼)增加增加自然环境自然环境 还表明：对还表明：对害虫害虫(食饵食饵)益

31、虫益虫(捕食者捕食者)系统，系统，使用灭两种使用灭两种虫的虫的杀虫剂杀虫剂,会使害虫增加，益虫减少。会使害虫增加，益虫减少。第51页，共54页，编辑于2022年，星期六食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra)的缺点与改进的缺点与改进Volterra模型模型改写改写多数多数食饵食饵捕食者系统观察不到周期震荡捕食者系统观察不到周期震荡,而是而是趋向某个平衡状态趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点即存在稳定平衡点加加Logistic项项有有稳定平衡点稳定平衡点第52页，共54页，编辑于2022年，星期六 相轨线是封闭曲线，结构不稳定相轨线是封闭曲线，结构不稳定一旦离开某一条闭一旦离开某一条闭

32、轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状。轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状。自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状。周期轨道后，内部制约使系统恢复原状。食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra)的缺点与改进的缺点与改进r1=1,N1=20,1=0.1,w=0.2,r2=0.5,2=0.18相轨线趋向极限环相轨线趋向极限环结构稳定结构稳定 第53页，共54页，编辑于2022年，星期六两种群模型的几种形式两种群模型的几种形式 相互竞争相互竞争相互依存相互依存弱肉强食弱肉强食第54页，共54页，编辑于2022年，星期六