《几何与代数》 科学出版社 第四章 n维向量1.ppt

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1、 几何与代数几何与代数 主讲:关秀翠 东南大学数学系东南大学数学系 教学内容和学时分配第四章 n维向量 教 学 内 容 学时数4.1 n维向量空间 24.2 向量组的线性相关性 44.3 子空间的基和维数 24.4 向量的内积 24.5 线性方程组的解的结构 24.7 用Matlab 解题 1 向 量 解析几何(n 3)线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐标表示式 坐标系 解析几何与线性代数中向量的联系与区别第四章 第四章 n n维向量 维向量4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间空间解析几何 线性代数点空间：点的集合向

2、量空间：向量的集合 坐标系 代数形象：向量空间中的平面几何形象：以空间平面为例一一对应解析几何与线性代数中向量空间的联系与区别第四章 第四章 n n维向量 维向量4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间例：确定飞机的状态，需以下6 个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6 维向量 维向量的实际意义n3 时，n 维向量没有直观的几何形象，却有广泛的实际意义第四章 第四章 n n维向量 维向量4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间若一个本科生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量

3、来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用思考题：36 维无数个本科生的学业水平就构成了一个向量空间成功的五要素空间第一、目标 第二、胸怀 第三、勇气 第四、坚持 第五、聪明 第四章 第四章 n n维向量 维向量4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间一.n维向量的概念4.1 n维向量空间二.n维向量的线性运算三.线性组合与线性表示四.Rn的子空间定义分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一.n维向量的概念行向量列向量第四章 第四章 n n维向量 维向量4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间1.1.nn维实维实(列列)向量的全体向量的全体

4、 关于向量的加法和数乘运算满足关于向量的加法和数乘运算满足88条基本性质条基本性质:加法加法:(1):(1)+=+;(2)(2)(+)+)+=+(+(+);(3)(3)RRnn,RRnn,+=;(4);(4)RRnn,+(+()=;数乘数乘:(5)1:(5)1=;(6);(6)kk(ll)=)=(klkl);(7)(7)(kk+ll)=kk+ll;(8);(8)kk(+)=)=kk+kk.二.n维向量的线性运算第四章 第四章 n n维向量 维向量 4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间二.共线、共面向量的判定 定理定理3.13.1 设向量设向量11,向量向量22与与11共线共线 存在唯

5、一存在唯一的的实数实数kk使得使得22=kk11.推论推论3.13.1 向量向量11,22共线共线 存在不全为零存在不全为零的实数的实数kk11,kk22使得使得kk1111+kk2222=.22可由可由11唯一唯一的线性表示的线性表示.第三章 第三章 几何空间 几何空间3.1-2 3.1-2空间向量及空间坐标系 空间向量及空间坐标系定理定理3.23.2 若向量若向量11,22不不平行平行,则则向量向量33与与11,22共面共面 存在唯一存在唯一的有序实数组的有序实数组(kk,ll),),使得使得33=kk11+ll22.推论推论3.23.2 向量向量11,2 2,33共面共面 存在存在不全为

6、不全为零零的的实数实数kk11,kk22,kk33,使得使得 kk1111+kk2222+kk3333=注：向量1,2,3不共面 k11+k22+k33=只有零解，即k1=k2=k3=0 1,2,3 线性无关11,22线性相关11,2 2,33线性相关 设试将向量 用向量 与 线性表示.解：即例1设即第四章 第四章 n n维向量 维向量 4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间 设试将向量 用向量 与 线性表示.解：即例1设此时方程组无解。000 不能用 与 线性表示第四章 第四章 n n维向量 维向量 4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间线性方程组的向量表示其中方程组 Ax=

7、b 与增广矩阵的列向量组 A1,A2,An,b之间一一对应其中A=(A1,A2,An).第四章 第四章 n n维向量 维向量 4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间A Rm n,Ax=b 有解 向量b 能由向量组 A1,A2,An 线性表示.有解 x1A1+x2A2+xnAn=b 有解 存在一组实数x1,x2,xn,使得b=x1A1+x2A2+xnAn三.线性组合、线性表示 Ax=b有解唯一解无穷多解b能由A1,An唯一线性表示b能由A1,An线性表示 但表示方式不唯一Ax=b无解b不能由A1,An 线性表示第四章 第四章 n n维向量 维向量 4.1 4.1 n n维 维向量空间 向

8、量空间 r(A)=r(A,b)例4.设1=(1+,1,1)T,2=(1,1+,1)T,3=(1,1,1+)T,=(0,3,).问 为何值时,能由1,2,3线性表示.有解有唯一解有无穷多解唯一线性表示表示方式不唯一注:若能由向量组能由向量组线性表示线性表示,线性表示关系可能不唯一.Ax=b有解唯一解无穷多解b能由A1,An唯一线性表示b能由A1,An线性表示 但表示方式不唯一Ax=b无解 b不能由A1,An线性表示第四章 第四章 n n维向量 维向量 4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间例2解：显然第四章 第四章 n n维向量 维向量 4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间零向

9、量可被任意一组向量线性表示例3 Ax=,即x1A1+x2A2+xnAn=必有零解？注：若向量组I:1,2,r与II:1,2,s等价，则I(或II)也与I,II=1,2,r,1,2,s等价.B1能由A1,A2,An 线性表示AX1=B1有解AX2=B2有解B2能由A1,A2,An 线性表示 AXs=Bs有解Bs能由A1,A2,An 线性表示AXAX11=B=B11,AXAXss=B=Bss有解有解 BB11,BBss能由能由AA11,AAnn线性表示线性表示矩阵方程矩阵方程 AX=B AX=B 有解有解矩阵方程矩阵方程 BY=A BY=A 有解有解 AA11,AAnn 能由能由BB11,BBss

10、线性表示线性表示称这两个向量组等价等价矩阵方程矩阵方程AX=B,BY=AAX=B,BY=A有解有解 BB11,BBss能由能由AA11,AAnn线性表示线性表示rr(AA)=rr(A,BA,B)=r=r(BB)第四章 第四章 n n维向量 维向量 4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间例4.验证下面两个向量组等价：故向量组I 可由II 线性表示.解：第四章 第四章 n n维向量 维向量 4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间解(续)：例4.验证下面两个向量组等价：故II 可由I 线性表示.所以I 与II 等价.选取了最简单的一种线性表示关系第四章 第四章 n n维向量 维向量

11、4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间故I 可由 III 线性表示.证明：设三个向量组分别组成矩阵A,B,C.说明线性表示关系具有传递性例5：若向量组 I:1,2,r可由 II:1,2,s线性表示，II 可由 III:1,2,t 线性表示，则 I 可由 III 线性表示.BY=A 有解1,2,r能由能由1,2,s线性表示线性表示1,2,s能由能由1,2,t 线性表示线性表示 CZ=B 有解 CZY=A 有解 则 CX=A 有解.令 X=ZY,第四章 第四章 n n维向量 维向量 4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间注:向量组之间的等价关系具有以下三条性质:反身性:每个向量组都

12、与它自身等价.对称性:若向量组I 与II 等价,则II 与I 等价.传递性:若向量组I 与II 等价,II 与III 等价,则I 与III 等价.向量组之间的等价关系是可以相互线性表示。第四章 第四章 n n维向量 维向量 4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间矩阵方程矩阵方程AX=B,BY=AAX=B,BY=A有解有解rr(AA)=rr(A,BA,B)=r=r(BB)矩阵的等价(相抵)初等变换向量组的等价与矩阵的等价 向量组之间的等价关系是可以相互线性表示。注：初等变换包括初等行变换和初等列变换.记为A B.问题：向量组的等价与矩阵的等价之间的关系？定理2.3.m n 矩阵A,B 相

13、抵 A,B 同型,r(A)=r(B).第四章 第四章 n n维向量 维向量 4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间矩阵方程矩阵方程AX=B,BY=AAX=B,BY=A有解有解rr(AA)=rr(A,BA,B)=r=r(BB)向量组的等价与矩阵的等价命题：若n 维向量组I:1,2,m与II:1,2,m等价，则m 个n 维向量构成n m 矩阵A=(1,2,m)与B=(1,2,m)等价.m n 矩阵A,B 等价(相抵)这两个向量组等价r(A)=r(A,B)=r(B)证明：A,B 同型,r(A)=r(B)逆命题不成立：相抵的两个矩阵的列向量组不一定等价。矩阵A,B相抵,但列向量组不能相互线性表

14、示，即不等价。第四章 第四章 n n维向量 维向量 4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间BB的的列列向量组能由向量组能由AA的的列列向量组向量组线性表示线性表示AA的的列列向量组能由向量组能由BB的的列列向量组向量组线性表示线性表示初等初等列列变换变换 初等初等列列变换变换 矩阵A 与B 的列向量组等价 初等初等列列变换变换 A B 列向量组的等价与矩阵的列等价第四章 第四章 n n维向量 维向量 4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间初等初等行行变换变换 BB的的行行向量组能由向量组能由 AA的的行行向量组向量组 线性表示线性表示 AA的的行行向量组能由向量组能由 BB的的

15、行行向量组向量组 线性表示线性表示 初等初等行行变换变换 矩阵A 与B 的行向量组等价 初等初等行行变换变换 A B 行向量组的等价与矩阵的行等价第四章 第四章 n n维向量 维向量 4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间注注1:1:初等初等行行变换变换(1 1)无法通过初等无法通过初等列列变换实现变换实现矩阵A 与B 的行向量组等价,但列向量组不等价.初等初等列列变换变换(1 1)无法通过初等无法通过初等行行变换实现变换实现矩阵C 与B 的列向量组等价,但行向量组不等价.注注2:2:矩阵的行向量组与列向量组第四章 第四章 n n维向量 维向量 4.1 4.1 n n维 维向量空间 向

16、量空间 能由向量组 I:1,2,s线性表示 向量组的等价关系满足反身性、对称性、传递性.II:1,t能由I 线性表示 矩阵方程AX=B 有解.I 与II 等价 矩阵方程 AX=B,BY=A 都有解.向量组的等价与矩阵的等价(相抵)等价的向量组(相同个数)构成的矩阵必等价(相抵).矩阵A 与B 的行(列)向量组等价 初等初等行行(列列)变换变换 AB 4.1 n维向量空间 存在一组实数x1,xn,使得=x11+xss r(A)=r(A,)(1,2,s)x=Ax=有解.四.Rn的子空间 1.n 维实(列)向量的全体 2.设S 是Rn的非空子集,且对向量的加法及数乘封闭,即,S,kR,有+S,k S

17、,则称S 是一个(实)向量空间.注2：0注1：向量空间必包含0向量.反之,若一向量集不含0,则它必不构成向量空间.注3：Rn和0 称为Rn的平凡子空间.也构成一个向量空间,称为零空间.也称S 是Rn的子空间.3.设S 是一个向量空间,U S,若U 也构成一个向量空间,则称U 为S 是一个子空间.向量空间V：Rn的非空子集,且对线性运算封闭注1：向量空间必包含0向量.反之,若一向量集不含0,则它必不构成向量空间.例6.W=(x,y,z)TR3|x+2y z=1是向量空间吗？W 不含0向量 W 不构成向量空间.在R3中不经过原点的直线与平面都不是向量空间.在R3中经过原点的直线与平面都构成向量空间

18、.例7.W=(x,y,z)TR3|x+2y z=0 构成向量空间.(x1+x2)+2(y1+y2)(z1+z2)=0 kR,kx+2ky kz=0第四章 第四章 n n维向量 维向量4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间向量空间V：Rn的非空子集,且对线性运算封闭在R3中不经过原点的直线与平面都不是向量空间.在R3中经过原点的直线与平面都构成向量空间.例8.设A Rm n,bRm,b0,r(A,b)=r(A)=r,SB=x Rn|Ax=b中不含0,不是向量空间.KA=x Rn|Ax=0 x1,x2KA,A(x1+x2)=Ax1+Ax2=0 kR,A(kx1)=kAx1=0,是向量空间.

19、注1：向量空间必包含0向量.反之,若一向量集不含0,则它必不构成向量空间.称为A 的核空间或零空间.第四章 第四章 n n维向量 维向量4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间向量空间V：Rn的非空子集,且对线性运算封闭4.设1,2,sRn,用L(1,2,s)表示 1,2,s的一切线性组合所成的集合,L(1,2,s)=k11+k22+kss|k1,k2,ksR则L(1,2,s)构成一个向量空间,称为由1,2,s生成的子空间.而1,2,s为生成元.注1：生成的子空间是包含 1,2,s 的所有向量空间中最小的.注2：1,2,s与1,2,t 等价 L(1,2,s)=L(1,2,t).第四章 第

20、四章 n n维向量 维向量4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间向量空间V：Rn的非空子集,且对线性运算封闭L(1,2,s)=k11+k22+kss|k1,k2,ksR4.由1,2,s生成的子空间:注2：1,2,s与1,2,t 等价 L(1,2,s)=L(1,2,t).注3:设矩阵A Rn s,称L(A1,A2,As)为A的列空间.L(A1,A2,As)=x1A1+x2A2+xsAs|x1,x2,xsR=Ax|xRs=Rn|xRs,Ax=R(A)(值域)注4:线性方程组 Ax=b有解 bR(A).第四章 第四章 n n维向量 维向量4.1 4.1 n n维 维向量空间 向量空间 能由向量组 I:1,2,s线性表示 II:1,t能由I 线性表示 矩阵方程AX=B 有解.I 与II 等价 矩阵方程 AX=B,BY=A 都有解.等价的向量组(相同个数)构成的矩阵必等价(相抵).4.1 n维向量空间 r(A)=r(A,)Ax=有解.bR(A)L(1,2,s)=L(1,2,t)r(A)=r(A,B)=r(B)向量空间V：Rn的非空子集,且对线性运算封闭A 的核空间或零空间:KA=x Rn|Ax=0L(1,2,s)=k11+k22+kss|k1,k2,ksR(A)填空题选择题：作为课下练习一.(A)1(1)(B)2,3,4,5(B)留作业每周三交作业(C)课下提高题：有时间的话尽量做