【数学】4.1.1 定积分的背景__面积和路程问题 课件(北师大版选修2-2)28677.ppt

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1、 第四章 定积分4.1.1 定积分的背景面积 和路程问题 我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面“直边图形”的面积；物理中，我们知道匀速直线运动的时间、速度与路程的关系等等。在数学和物理中，我们还经常会遇到计算平面曲线所围成的平面“曲边图形”的面积、变速直线运到物体位移、变力做功的问题。如何解决这些问题呢？现有知识无法解决，为此我们需要另寻方法。接下来我们要学习的定积分，就可以帮助我们解决这些问题。引入xoy 图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，这样的平面图形称为曲边梯形，如何求这个面积呢？ab曲边梯形定义：我们把由直线 x=a，x=b(a b)，y=0和曲线 y=f(x)所围成的图形叫

2、作曲边梯形。（1）曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面图形；（2）曲边梯形与“直边图形”主要区别在于前者有一边是曲线段而“直边图形”的所有边都是直线段。对曲边梯形概念的理解：我们曾经用正多边形逼近圆的方法(即“以直带曲”的思想)求出了圆的面积，能否也能用直边形(如矩形)来逼近曲边梯形的方法求阴影部分面积呢？将区间0，1 平均分成许多小区间，把曲边梯形拆分成一些小曲边梯形。对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值。可以想象，区间拆分的越细，近似程度就越好，亦即：用化归为计算矩形面积和逼近思想来求曲

3、边梯形的面积。可通过以下几个步骤具体实施：（1）分割；（2）近似代替(过剩和不足估计值)；（3）逼近。问题1 图中阴影部分由抛物线，直线 及 x 轴围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的面积 S。xoy1xoy1(1)将区间0，1 平均分成 5 份，如图所示。图(1)中，所有小矩形面积之和 显然大于所求曲边梯形的面积，我们称 为 S 的过剩估计值，则有xoy1(2)图(2)中，所有小矩形面积之和 显然小于所求曲边梯形的面积，我们称 为 S 的不足估计值，则有xoy1(3)我们可以用 或 近似表示 S，但是都存在误差，二者之差为，但是无论是用 还是 来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过0.2，如图

4、(3)所示。xoy1(4)为减小误差，我们将区间0，1 10等分，则所求面积的过剩估计值为不足估计值为 二者的差值为，此时，无论用 还是 来表示 S，误差都不超过 0.1。区间分的越细，误差越小。当所分隔的区间长度趋于 0，过剩估计值和不足估计值都趋于曲边梯形面积。问题2 司机猛踩刹车，汽车滑行 5s 后停下，此过程中汽车的速度 v 是时间 t 的函数：请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s。分析：此时误差不超过：将滑行的 5s 平分成 5 份。用，近似代替汽车在01、12、23、34、45s 内的平均速度，则滑行距离的过剩估计值为：用，近似代替汽车在01、12、23、34、45s 内的平均速度

5、，则滑行距离的不足估计值为：滑行时间等分的越细，误差越小。当所分隔的小时间段长度趋于0，则过剩估计值和不足估计值都趋于汽车滑行路程。若将 5 秒平分成10 份，则得到过剩估计值 为：不足估计值为：此时，误差都不超过概括 前面，我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题，它们的步骤：分割区间过剩估计值不足估计值逼近所求面积所分区间长度 0 估计值所求值 动手做一做求直线 x=0,x=2,y=0与曲线 y=x2 所围成的曲边梯形的面积。曲边梯形的定义：分割区间过剩估计值不足估计值逼近所求面积 求曲边梯形面积的步骤：我们把由直线 x=a，x=b(a b)，y=0和曲线 y=f(x)所围成的图形叫作曲边梯形。小结