不等式的证明2.docx

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1、不等式的证明2 第一篇：不等式的证明2 教学目标 1.进一步娴熟驾驭比较法证明不等式； 2.了解作商比较法证明不等式； 3.提高学生解题时应变实力. 教学重点比较法的应用 教学难点常见解题技巧 教学方法启发引导式 教具准备幻灯片 教学过程 复习回顾： 师：上一节，我们一起学习了证明不等式的最基本、最重要的方法：比较法，总结了比较法证明不等式的步骤：作差、变形、推断符号，这一节，我们进一步学习比较法证明不等式.讲授新课： 例4甲、乙两人同时同地沿同一路途走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走，；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，假如mn,问甲、乙两人谁先到

2、达指定地点. 分析：设从动身地点至指定地点的路程是S，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了.解：设从动身地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有： t12m+ t12n=S, S2m +S2n =t 22Sm+n S(m+n)2mn t1= 2Sm+n ,t2= S(m+n)2mn ，t1-t2= -= S 2(m+n)mn 2其中S，m、n都是正数，且mn，于是 t1-t20，即t1x21，则 f(x1)-f(x2)=x1+ 1x1 -(x2+ 1x2 )=(x1-x2)- x1-x

3、2x1x2 =(x1-x2)(1- 1x1x2 )=(x1-x2) (x1x2-1)x1x2 x110,x210，x1x2 x1x21,x1-x20,x1x20 (x1-x2)(x1x1-1)x1x20 即f(x1)f(x2) 所以f(x)=x+1 x x在为减函数 其次篇：不等式的证明 不等式的证明 不等式的证明，基本方法有 比较法：(1)作差比较法 (2)作商比较法 综合法：用到了均值不等式的学问，确定要留意的是一正二定三相等的方法的运用。 分析法：当无法从条件入手时，就用分析法去思索，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不行分的。 换元法：把不等式想象成三角函数，便利思索 反证法：假设不

4、成立，但是不成立时又无法解出此题，于是成立 放缩法： 用柯西不等式证。等等 高考不是重点，但是难点。 高校数学也会讲到柯西不等式。 不等式是数学的基本内容之一，它是探讨许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是中学数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明转变大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础学问的驾驭程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标记，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。 一、不等式的初等证明方法 1.综合法：由因导果。 2.分析法：执果索因。基本步骤：要证.只需证.，只需证.(1)“分析法证题的理论根据：找寻结论

5、成立的充分条件或者是充要条件。 (2)“分析法证题是一个特殊好的方法，但是书写不是太便利，所以我们可利用分析法找寻证题的途径，然后用“综合法进行表达。 3.反证法：正难则反。 4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有： (1)添加或舍去一些项，如： (2)利用基本不等式，如 3)将分子或分母放大(或缩小)： 5.换元法：换元的目的就是削减不等式中变量，以使问题 化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。 6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。 证明不等式的方法灵敏多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法

6、。 7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中特地探讨。 8.几何法：用数形结合来探讨问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有奇异的成效。 9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质到达证明不等式的目的。 10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当a0时，f(x)=ax2+bx+c0(或0).0)。当a0(或0(或a，n(n+1)n，a+a+ 242 2 22 将分子或分母放大或缩小如： 1n 2 1n(n+1) 真分数的性质：“若0a0,，则 a+mb+m=(lg 利用

7、基本不等式，如：lg3lg5( n(n+1) lg3+lg 52 2 )lg4； n+(n+1) 2 .利用函数的单调性 利用函数的有界性：如：sinA1,AR；2x0,xR . 利用常用结论： 、 1K1K= 2K+2K+1k(k-1)1k K 2K+ 2K+1k K-1K+ 1=2(K+1-K)(kN,k1) * = K 1) * 、 1k 1k(k+1) 1k+1 = 1k - 1k+1 程度大 、 1k 2(n+1)(n4) 3构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式.二、 例1.设不等式2x+11的解集为M. I求集合M；II若a，bM，试比较ab+1与a+b的大小

8、 解：I由2x+11解得0x1.所以M=x0x1II由I可知aMbM，故0a1,0b0故ab+1a+b 例2.已知a、b、cR+，且a+b+c=1求证：(1+a)(1+b)(1+c)8(1-a)(1-b)(1-c).剖析：在条件“a+b+c=1的作用下，将不等式的“真面目隐含了，给证明不等式带来困难，若用“a+b+c换成“1，则还原出原不等式的“真面目，从而抓住实质，解决问题. 证 明 ： a,b,cR且a+b+c= 1+ 要证原不等式成立，即证 (a+b+c)+a(a+b+c)+b(a+b+c)+c8(a+b+c)-a(a+b+c)-b(a+b+c)-c 也就是证 (a+b)+(c+a)(a

9、+b)+(c+b)(a+c)+(b+c)8(b+c)(c+a)(a+b)(1) (a+b)+(b+c)2(a+b)(b+c)0，(a+c)+(b+c)2(a+c)(b+c)0 (a+b)+(a+c)2(a+b)(a+c)0， 三式相乘得式成立.故原不等式得证. 例3证明不等式1+ 12+13+L+ 1n * 2n(nN) 证：对随便nN*，都有： 1k= 2k+12+k13 2k+L+ k-11n =2(k-k-1), 2)+L+2(n- n-1)=2n. 因此1+ 2n+12n-1 75L 2n+12n-1 2n+1 3 2n+1 2证明方法 一、Q1+ (1+ 13)(1+ 1 512n-

10、 1= 2n2n-1 )= 43 65 (2n-1)(2n+1)2n-12n-1 L 2n2n-1 = 53 )L(1+ 5476 2n-176 证明方法 二、设B=则AB=又因为所以A 435465 L2n2n- 12n+1 L 2n 2n+12n ， =2n+1 32n2n-1 2n+12n 2n+1 4,A 2n+1 2AB= 2n+13 例5. 已知：a,b,c都是小于1的正数；求证(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于.证明：假设(1-a)b 14 ,(1-b)c 14 ,(1-c)a 1232, 14 ，则有 12, (1-c)a 12 a，b，c都是小于1的正

11、数，(1-a)b从而有(1-a)b+ (1-b)c+ (1-c)a (1-b)c + 1-b+c + 1-c+a =32 但是(1-a)b+(1-b)c+(1-c)a 1-a+b 故与上式冲突，假设不成立，原命题正确 反证法是利用互为逆否命题具有等价性的思想进行推证的反证法必需排列各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证都是不完全的，遇到“至少、“至多、“唯一等字句的命题常用反证法 三、 1.综合法就是“由因导果，从已知不等式动身，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证的结论.2.分析法就是“执果索因，从所证不等式动身，不断用充分条件替换前面的不等式，直至找到成立的不等式. 3.

12、探求不等式的证法一般用分析法，表达证明过程用综合法较简，在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分别的，假如运用综合法证明不等式难以入手时，常用分析法探究证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程，以适应学生习惯的思维规律.有时问题证明难度较大，常运用分析综合法，实现两头往中间靠以到达证题目的. 4.由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以在教学中，不等式的证明除常用的三种方法外，还需介绍其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法特别是三角换元、放缩法以及数学归纳法等，在放缩法中确定要留意放缩的尺度问题不能过大也不能过小. 四、 必做题： 1

13、.不等式x+3-x-1a-3a对随便实数x恒成立，则实数a的取值范围为 A(-,-14,+)2.设an= sin1 2+sin22 B(-,-25,+)C1,2D(-,-12,+) sinn2 n +K+, 则对随便正整数m,n(mn), 都成立的是 m-n2 Aan-am mn2 Ban-am Can-am 12 n 3.(陕西长安二中2008届高三第一学期其次次月考)设 1ba ()()1，那么() 222 A.aaabbaB. aabaabC。abaabaD. abbaaa 4(2022,四川文)设a,b为正实数,现有以下命题: 若a2-b2=1,则; a-b1 若若 1b-1a =1,

14、则a-b1; a-b=1,则a-b1; 若a3-b3=1,则a-b1.其中的真命题有_写出全部正确的题号 必做题答案: 1. A解析:因为x+3-x-1a-3a对随便x恒成立，又因为x+3-x-1最大值为4所以 a-3a4解得a4或a- sinn+12 n+ 12. C an-am= + sinn+22 n+2 +K+ sinm21 m sin(n+1)2 n+1 + sin(n+2)2 n+2 +K+ sinm2 m n+1 + 12 n+2 +K+ 12 m = 12 n=1 + 12 n+2 +K+ 12 m 1=2 n+1 - 12 12 m+1 = 12 n - 12 m 0，证明：

15、当0xf( 1a -x)； III若函数y=f(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f(x0)0,所以f(x)在0，单调增加.ii若a0则由f(x)=0得x= 1a 且当x(0,)时，f(x)0,当x a 11a 时，f(x)0 ,1单调增加，在(,+)单调削减.所以f(x)在0a a II设函数g(x)=f( a1+ax 1x 1a +x)-f( 1a -x)则g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax 1a g(x)=+ a1-ax -2a= 1a 2ax 1-ax 1a ,当0x0,而g(0)=0,所以g(x)0. 故当0xf( -x) III由I

16、可得，当a0函数y=f(x),的图像与x轴至多有一个交点， 11 ,且f0不妨设aa 1a0，从而f(x)的最大值为f A(x1,0)B(x20),0x1x2,则0x1f(x1)=0从而x2 2a -x1,于是x0= x1+x2 1a 由I知，f(x)b等价于a-b0；而ab0等价于a b1.即a与b的比较转化为与0 或1的 比较.运用比较发时，关键是要作适当的变形，如因式分解、拆项、加减项、通分等，这是第一章中许多代数不等式的证明及其他各章初等不等式的证明所常用的证明技巧.二、综合法与分析法： 综合法是由因导果，即是由已知条件和已知的不等式动身，推导出所要证明的不等式；分析法是执果索因，即是

17、要逐步找出访结论成立的充分条件或者充要条件，最终归结为已知的不等式或已知条件.对于条件简洁而结论困难的不等式，往往要通过分析法或分析法与综合法交替运用来找寻证明的途径.还要留意：第一，要熟识驾驭第一章的基本不等式和后面各章中著名的各种不等式；其次，要擅长利用题中的隐含条件；第三，不等式的各种变性技巧.三、反证法： 正难则反.设所要证的不等式不成立，从原不等式的结论的反面动身，通过合理的规律推理导出冲突，从而断定所要证的不等式成立.要留意对全部可能的反面结果都要逐一进行探讨.四、放缩法： 要证ab，又已知(或易证)ac，则只要证ca；n(n+1)n； 将分子或分母放大或缩小； 利用基本不等式，如： log3lg5( n(n+1)lg3+lg522)2=lglg=lg4； n+(n+1)； 利用常用结论： k+1-k= 1k+1+= 1k- 11-k1k 12k 1k ； 1k(k+1) 1k+1 1k 1k+1 1k =- 程度大 1k -1 = (k-1)(k+1) = 2k-1 ( - ) ； 程度小 五、换元法： 换元的目的就是削减不等式中变量，以使