热力学与统计物理相关知识幻灯片.ppt

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1、热力学与统计物理相关知识第1页，共35页，编辑于2022年，星期日主要讲述内容主要讲述内容:粒子粒子运动状态运动状态粒子系统粒子系统微观运动状态微观运动状态系统中粒子的统计分布规律系统中粒子的统计分布规律经典经典量子量子经典经典量子量子经典经典量子量子玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布玻色分布玻色分布费米分布费米分布玻色系统玻色系统费米系统费米系统玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统第2页，共35页，编辑于2022年，星期日粒子运动状态的描述粒子运动状态的描述粒子粒子:广义的指组成宏观物质系统的基本单位广义的指组成宏观物质系统的基本单位例如，气体的分子、金属的离子或自由电子、辐射场的光子、例如，气体的分子、金属的离

2、子或自由电子、辐射场的光子、晶体中的声子等。晶体中的声子等。运动状态运动状态指力学运动状态指力学运动状态原则上说微观粒子是遵从量子力学运动规律的。原则上说微观粒子是遵从量子力学运动规律的。但在一定的极限条件下，量子力学可以过渡到经典力学。但在一定的极限条件下，量子力学可以过渡到经典力学。第3页，共35页，编辑于2022年，星期日一、粒子运动状态的经典描述一、粒子运动状态的经典描述广义坐标与广义动量广义坐标与广义动量一质点在空间的位置在直角坐标系中用坐标（一质点在空间的位置在直角坐标系中用坐标（x,y,zx,y,z）表示，）表示，或用球坐标或用球坐标 、柱坐标、柱坐标 表示。表示。自由质点的自由

3、度为自由质点的自由度为3 3，三个坐标是彼此独立的，三个坐标是彼此独立的广义坐标广义坐标是指能够确定质点位置的任意一组量。是指能够确定质点位置的任意一组量。若质点的自由度为若质点的自由度为r r，采用，采用r r个量个量 q q1 1、q q2 2、q qr r（广义坐标广义坐标）就能确定质点的位置。就能确定质点的位置。广义速度广义速度：广义动量广义动量：第4页，共35页，编辑于2022年，星期日设粒子的自由度为设粒子的自由度为r，粒子在任一时刻的力学运动状态由，粒子在任一时刻的力学运动状态由r个个广义坐标广义坐标q1、q2、qr和相应的和相应的r个广义动量个广义动量p1、p2、pr确定确定哈

4、密顿函数：哈密顿函数：以广义坐标和广义动量为自变量的能量函数以广义坐标和广义动量为自变量的能量函数 =H（qi、pi）（i=1、2、r）运动方程为运动方程为：当初始时刻当初始时刻t0给定了给定了qi、pi的初值的初值qi0、pi0之后，之后，由运动方程可确定在任何相继时刻由运动方程可确定在任何相继时刻t，qi、pi的数值的数值粒子的微观运动状态粒子的微观运动状态-轨道运动轨道运动第5页，共35页，编辑于2022年，星期日粒子运动状态的几何表示法粒子运动状态的几何表示法相空间（即相空间（即空间）：空间）：用用q q1 1、q q2 2、q qr r，p p1 1、p p2 2、p pr r 为直

5、角坐标构成的一个为直角坐标构成的一个2r2r维空间维空间 代表点代表点：相空间任何一点，代表粒子的一个运动状态相空间任何一点，代表粒子的一个运动状态相迹：相迹：当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在 空间中移动，画出一条轨迹。空间中移动，画出一条轨迹。第6页，共35页，编辑于2022年，星期日例例线性谐振子的自由度为线性谐振子的自由度为1，位置由它的位移，位置由它的位移x确定，确定，与之共轭的动量为与之共轭的动量为线性谐振子的能量线性谐振子的能量以以x和和p为直角坐标，可构成二维的为直角坐标，可构成二维的空间，空间，如果给定振子的能量如果给定振子的

6、能量，代表点的轨迹由如下方程确定，代表点的轨迹由如下方程确定第7页，共35页，编辑于2022年，星期日二、二、粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述什么情况下使用经典描述，或使用量子描述？什么情况下使用经典描述，或使用量子描述？德布罗意假说：德布罗意假说：一切微观粒子都具有波粒二象性一切微观粒子都具有波粒二象性=h/2普朗克常数普朗克常数 h h=6.62610=6.62610-34-34 J JS S它的量纲是它的量纲是时间时间能量能量=长度长度动量动量=角动量角动量h h 被称为基本的作用量子，是判别采用经典描述或量子描述的判据被称为基本的作用量子，是判别采用经典描述或量子描述的判据

7、 当一个物质系统的任何具有当一个物质系统的任何具有作用量纲作用量纲的物理量具有与的物理量具有与 h h 相比拟的数值相比拟的数值时，是量子系统；如果物质系统的每一个具有作用量纲的物理量用普时，是量子系统；如果物质系统的每一个具有作用量纲的物理量用普朗克常数来量度都非常大时，是经典系统。朗克常数来量度都非常大时，是经典系统。（作用量纲）（作用量纲）第8页，共35页，编辑于2022年，星期日量子系统中微观粒子的运动不是轨道运动量子系统中微观粒子的运动不是轨道运动测不准关系测不准关系 ：qphqph 微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标微观粒子的运动状态用波函

8、数或量子数来描述微观粒子的运动状态用波函数或量子数来描述（量子态）（量子态）量子态由一组量子数来表征量子态由一组量子数来表征,其数目等于粒子的自由度数。其数目等于粒子的自由度数。第9页，共35页，编辑于2022年，星期日粒子的运动薛定谔方程：粒子的运动薛定谔方程：例例空间中一个自由运动的粒子，限制在一个边长为空间中一个自由运动的粒子，限制在一个边长为L的方的方 盒子中，求其量子态。盒子中，求其量子态。可变为：可变为：解为解为：据周期性边界条件，在点（据周期性边界条件，在点（l/2，y，z）和（）和（-l/2，y，z）（r）的值应相同的值应相同第10页，共35页，编辑于2022年，星期日则：同理

9、：均为整数，动量只能取分立的值均为整数，动量只能取分立的值能量能量：-分立的分立的 为量子数，量子态由这些量子数来描述。为量子数，量子态由这些量子数来描述。对一确定的能量对一确定的能量，量子数可能取不同的值，有许多量子态，量子数可能取不同的值，有许多量子态（简并）（简并）第11页，共35页，编辑于2022年，星期日粒子状态与粒子状态与 空间体积元的对应关系空间体积元的对应关系 但在统计物理学讨论的某些问题中，但在统计物理学讨论的某些问题中，若普朗克常数与有关的物若普朗克常数与有关的物理量相比是一个较小的量，则可利用理量相比是一个较小的量，则可利用半经典近似半经典近似：认为粒子是沿着确定的轨道运

10、动，但并不是为经典力学允许认为粒子是沿着确定的轨道运动，但并不是为经典力学允许的一切轨道，而是满足量子化条件的那些轨道。的一切轨道，而是满足量子化条件的那些轨道。这些量子化这些量子化轨道与量子描述中的量子状态相对应。轨道与量子描述中的量子状态相对应。原则上说，微观粒子遵从量子力学的运动规律。原则上说，微观粒子遵从量子力学的运动规律。第12页，共35页，编辑于2022年，星期日由测不准关系，坐标和动量不能同时取确定的值，由测不准关系，坐标和动量不能同时取确定的值，量子态量子态不能用不能用 空间的一点来描述，应用一个空间的一点来描述，应用一个体积元体积元描述，称为描述，称为相格相格。自由度为自由度

11、为1的粒子，相格的大小为的粒子，相格的大小为 h自由度为自由度为r的粒子，相格大小为：的粒子，相格大小为：测不准关系测不准关系qph qph 如果将如果将 空间划分为若干个体积元空间划分为若干个体积元l（l=1，2），），则在体积元则在体积元l中粒子可能的状态数为中粒子可能的状态数为l/hr第13页，共35页，编辑于2022年，星期日 例例 三维自由粒子在体积为三维自由粒子在体积为V的容器中。的容器中。粒子的一个状态对应于粒子的一个状态对应于 空间中体积为空间中体积为h3的一个体积元。的一个体积元。v在体积在体积V内，内，、的动量范围内，的动量范围内，粒子可能的状态数为：粒子可能的状态数为：第

12、14页，共35页，编辑于2022年，星期日v在体积在体积V内，内，的动量范围内，粒子可能的状态数为：的动量范围内，粒子可能的状态数为：v在体积在体积V内，内，到到+d的能量范围内，粒子可能的状态数：的能量范围内，粒子可能的状态数：据据=p2/2m，可得：可得：D（）表示单位能量间隔内的可能状态数，称为表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度态密度以上的计算未考虑粒子的自旋以上的计算未考虑粒子的自旋-第15页，共35页，编辑于2022年，星期日三、三、系统系统微观运动状态的一般描述微观运动状态的一般描述全同近独立的粒子系统全同近独立的粒子系统 全同粒子：全同粒子：具有完全相同属性（相同的质量、

13、自旋、电荷等）的同类粒子具有完全相同属性（相同的质量、自旋、电荷等）的同类粒子近独立粒子近独立粒子：粒子之间的相互作用很弱，可以忽略粒子之间的相互作用。粒子之间的相互作用很弱，可以忽略粒子之间的相互作用。整个系统的能量可近似表达为单个粒子的能量之和：整个系统的能量可近似表达为单个粒子的能量之和：第16页，共35页，编辑于2022年，星期日系统系统微观运动状态的经典描述微观运动状态的经典描述一个粒子的运动状态由一个粒子的运动状态由r个广义坐标和个广义坐标和r个广义动量，个广义动量，2r2r个变量描述个变量描述N个粒子组成的系统的运动状态由个粒子组成的系统的运动状态由qi1、qi2、qir；及及p

14、i1、pi2、pir ，共，共2rN个变量描述。个变量描述。经典描述中，全同粒子可以分辨（经典粒子是轨道运动）。经典描述中，全同粒子可以分辨（经典粒子是轨道运动）。将两个粒子的运动状态加以交换，交换前后，系统的运动状态不同。将两个粒子的运动状态加以交换，交换前后，系统的运动状态不同。一个粒子在某时刻的运动状态可在一个粒子在某时刻的运动状态可在空间中用一个代表点表示，空间中用一个代表点表示，N个全同粒子组成的系统在个全同粒子组成的系统在空间中用空间中用N个代表点表示。个代表点表示。若交换两个代表点在若交换两个代表点在空间的位置，系统的微观状态是不同的。空间的位置，系统的微观状态是不同的。第17页

15、，共35页，编辑于2022年，星期日系统微观运动状态的量子描述系统微观运动状态的量子描述微观粒子的全同性原理：微观粒子的全同性原理：全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观状态。任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观状态。确定由确定由近独立近独立粒子组成的系统的微观状态的方法：粒子组成的系统的微观状态的方法：确定占据每一个确定占据每一个个体量子态个体量子态的粒子数的粒子数微观粒子分为两类：微观粒子分为两类：玻色子玻色子自旋量子数是整数自旋量子数是整数。例：光子（例：光子（1 1

16、）、声子（）、声子（0 0）费米子费米子 自旋量子数为半整数。例电子、质子、中子（自旋量子数为半整数。例电子、质子、中子（1/21/2）第18页，共35页，编辑于2022年，星期日关于玻色子与费米子的结论：关于玻色子与费米子的结论：v由玻色子构成的复合粒子是玻色子；由玻色子构成的复合粒子是玻色子；由偶数个费米子构成的复合粒子是玻色子；由偶数个费米子构成的复合粒子是玻色子；由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。v费米子遵从泡利不相容原理；费米子遵从泡利不相容原理；（在含有多个全同近独立费米子的系统中，占据一个（在含有多个全同近独立费米子的系统中，占据一个 个

17、体量子态个体量子态的费米子不可能超过一个）的费米子不可能超过一个）玻色子不受泡利不相容原理的约束。玻色子不受泡利不相容原理的约束。v费米子和玻色子遵从不同的统计规律。费米子和玻色子遵从不同的统计规律。第19页，共35页，编辑于2022年，星期日微观粒子系统按是否受到空间限制可分为：微观粒子系统按是否受到空间限制可分为：定域的定域的和和非定域的非定域的 定域系统：定域系统：可用粒子的位置来分辨粒子；确定系统的微观状态要求确定每一个可用粒子的位置来分辨粒子；确定系统的微观状态要求确定每一个粒子的个体量子态；每个个体量子态能容纳的粒子数不受限制粒子的个体量子态；每个个体量子态能容纳的粒子数不受限制

18、（-玻玻尔兹曼系统）尔兹曼系统）玻色系统玻色系统费米系统费米系统非定域系统非定域系统必须考虑必须考虑微观粒子微观粒子的全同性原理的全同性原理-第20页，共35页，编辑于2022年，星期日例例设系统由两个粒子组成，粒子的个体量子态有设系统由两个粒子组成，粒子的个体量子态有3个，如果个，如果 这两个粒子分别是定域子、玻色子、费米子时，讨论系这两个粒子分别是定域子、玻色子、费米子时，讨论系 统各有哪些可能的微观状态？统各有哪些可能的微观状态？定域系统，定域系统，粒子可以分辨，每个个体量子态能容纳的粒子数粒子可以分辨，每个个体量子态能容纳的粒子数不受限制，以不受限制，以A、B表示可以分辨的两个粒子，它

19、们占据表示可以分辨的两个粒子，它们占据3个个个体量子态可以有以下的方式：个体量子态可以有以下的方式：量子量子态态1ABABAB量子量子态态2ABBAAB量子量子态态3ABBABA共有共有9种不同的微观状态。种不同的微观状态。第21页，共35页，编辑于2022年，星期日玻色系统：玻色系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态所能容纳的粒子不可分辨，每一个个体量子态所能容纳的粒子数不受限制，由于不可分辨，令粒子数不受限制，由于不可分辨，令A=B，两个粒子占据，两个粒子占据3个个体量子态有以下的方式：个个体量子态有以下的方式：量子态量子态1AAAA量子态量子态2AAAA量子态量子态3AAAA共有共有6种不

20、同的微观状态。种不同的微观状态。第22页，共35页，编辑于2022年，星期日费米系统：费米系统：粒子不可分辨，每个个体量子态最多能容纳粒子不可分辨，每个个体量子态最多能容纳一个粒子，两个粒子占据一个粒子，两个粒子占据3个个体量子态有以下的方式：个个体量子态有以下的方式：量子态量子态1AA量子态量子态2AA量子态量子态3AA费米系统可以有费米系统可以有3个不同的微观状态。个不同的微观状态。第23页，共35页，编辑于2022年，星期日四、等几率原理四、等几率原理等几率原理：等几率原理：对于处在对于处在平衡态平衡态的的孤立系统孤立系统，系统的各个，系统的各个 可能的微观状态出现的概率是相等的。可能的

21、微观状态出现的概率是相等的。说说明：明：既然这些微观状态都同样满足既然这些微观状态都同样满足具有确定具有确定N、E、V 的宏观条件，没有理由认为哪一个状态出现的概的宏观条件，没有理由认为哪一个状态出现的概 率更大一些。这些微观状态应当是平权的。率更大一些。这些微观状态应当是平权的。（孤立系统：（孤立系统：具有确定的粒子数具有确定的粒子数N、总能量、总能量E和体积和体积V）第24页，共35页，编辑于2022年，星期日五、分布和微观状态五、分布和微观状态设一个系统由大量全同的近独立的粒子组成，具有确定的设一个系统由大量全同的近独立的粒子组成，具有确定的粒子数粒子数N、总能量、总能量E和体积和体积V

22、（孤立系统）（孤立系统）。N个粒子的在个粒子的在各能级各能级的的分布分布al可以描述如下：可以描述如下：能能级级1，2，l，简简并并度度1，2，l，粒粒子子数数a1，a2，al，分布必须满足分布必须满足：第25页，共35页，编辑于2022年，星期日说明：说明：u分布表示每一个能级上有几个粒子，如分布表示每一个能级上有几个粒子，如a1=1，a2=4，a3=6u对某一系统的一个确定的分布，与它相应的微观状态数是确定的。对某一系统的一个确定的分布，与它相应的微观状态数是确定的。不同的分布，有不同的微观状态数。不同的分布，有不同的微观状态数。u 对不同类的系统（玻尔兹曼、玻色、费米），相同的分布，对不

23、同类的系统（玻尔兹曼、玻色、费米），相同的分布，对应的微观状态数也是不同的。对应的微观状态数也是不同的。N个粒子的在个粒子的在各能级各能级的的分布分布al可以描述如下：可以描述如下：能能级级1，2，l，简简并并度度1，2，l，粒粒子子数数a1，a2，al，第26页，共35页，编辑于2022年，星期日玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统(定域系统定域系统)粒子可以分辨，若对粒子加以编号，则粒子可以分辨，若对粒子加以编号，则al个粒子占据能级个粒子占据能级l上的上的l个量子态时，是互不关联的。个量子态时，是互不关联的。分布分布al相应的微观状态数：相应的微观状态数：N个粒子在各能级的个粒子在各能级的分布分布a

24、l ：能能级级1，2，l，简简并并度度1，2，l，粒粒子子数数a1，a2，al，第27页，共35页，编辑于2022年，星期日费米系统费米系统粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。分布分布al相应的微观状态数：相应的微观状态数：第28页，共35页，编辑于2022年，星期日玻色系统玻色系统粒子不可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制。粒子不可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制。分布分布al相应的微观状态数：相应的微观状态数：第29页，共35页，编辑于2022年，星期日经典极限条件（经典极限条件（非简并性条件）非简并

25、性条件）若在玻色系统和费米系统中，任一能级若在玻色系统和费米系统中，任一能级l上的粒子数均远上的粒子数均远远小于该能级的量子态数，即远小于该能级的量子态数，即 则则第30页，共35页，编辑于2022年，星期日对某一系统的一个确定的分布，可求得相应的微观状态数。对某一系统的一个确定的分布，可求得相应的微观状态数。对不同的分布，系统有不同的微观状态数。对不同的分布，系统有不同的微观状态数。下面两节分别求出玻尔兹曼、玻色、费米系统的最可几分布下面两节分别求出玻尔兹曼、玻色、费米系统的最可几分布可能存在这样一个分布，它使系统的微观状态数最多可能存在这样一个分布，它使系统的微观状态数最多等几率原理：等几

26、率原理：对于处在平衡态的孤立系统，系统的各个对于处在平衡态的孤立系统，系统的各个 可能的微观状态出现的概率是相等的。可能的微观状态出现的概率是相等的。微观状态数最多的分布，出现的几率最大，称为微观状态数最多的分布，出现的几率最大，称为最可几分布最可几分布 （最概然分布）（最概然分布）概述概述第31页，共35页，编辑于2022年，星期日六、玻耳兹曼分布六、玻耳兹曼分布解得解得：-麦克斯韦麦克斯韦玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布由约束条件：由约束条件：；确定确定使使 为极大的分布为极大的分布al必使必使(玻耳兹曼系统中粒子的最概然分布玻耳兹曼系统中粒子的最概然分布)第32页，共35页，编辑于2022年，星

27、期日七、玻色分布和费米分布七、玻色分布和费米分布费米分布费米分布(费米系统中粒子的最概然分布费米系统中粒子的最概然分布)解得解得：-费米费米狄拉克分布狄拉克分布由约束条件：由约束条件：；确定确定-化学势化学势第33页，共35页，编辑于2022年，星期日玻色分布玻色分布(玻色系统中粒子的最概然分布玻色系统中粒子的最概然分布)由约束条件：由约束条件：；确定确定解得解得：-玻色玻色爱因斯坦分布爱因斯坦分布-化学势化学势第34页，共35页，编辑于2022年，星期日v以对量子态求和，表示三种分布以对量子态求和，表示三种分布能级的能级的l有有l个量子态，处在其中任何一个量子态上的个量子态，处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的平均粒子数应该是相同的处在能量为处在能量为S的量子态的量子态S上的平均粒子数为上的平均粒子数为:定域系统定域系统：费米系统：费米系统：玻色系统：玻色系统：总粒子数可分别表示为总粒子数可分别表示为:总能量可分别表示为总能量可分别表示为:第35页，共35页，编辑于2022年，星期日