线性微分方程解结构PPT课件.ppt
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1、关于线性微分方程解的结构第一张，PPT 共四十八页，创作于2022年6月高阶线性微分方程的一般理论 n 阶线性方程的一般形式为第二张，PPT 共四十八页，创作于2022年6月二阶线性微分方程的一般形式为通常称 第二式为 第一式的相对应的齐方程。注意：我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可自然推广至 n 阶线性方程中。复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解 Y这种解法叫常数变易法。第三张，PPT 共四十八页，创作于2022年6月1.二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构(1)叠加原理:则它们的线性组合第四张，PPT 共四十八页，创作于2022年6月的解，则它们的线性组合也是方程(2
2、)的解。问题:例：设 y1 为(1)的解,则 y2=2 y1 是 方程(1)的解,但 y=C1 y1+C2 y2 不为方程(1)的通解.第五张，PPT 共四十八页，创作于2022年6月又如.对于二阶常系数线性齐次微分方程容易验证:但这个解中只含有一个任意常数C,显然它不是所给方程的通解.由定理知都是它的解.也是它的解.在什么情况下，叠加所得可以成为方程(1)的通解？为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.第六张，PPT 共四十八页，创作于2022年6月(2)线性无关、线性相关定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.
3、若存在不全为 0 的常数第七张，PPT 共四十八页，创作于2022年6月在区间I上线性相关存在不全为 0 的线性无关常数思考:中有一个恒为 0,则必线性相关两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:(不妨设第八张，PPT 共四十八页，创作于2022年6月例1：在(,)上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关;3.如：若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为 0,可见在任何区间 I 上都线性无关.第九张，PPT 共四十八页，创作于2022年6月由三角函数知识可知，这是不可能的，故第十张，PPT 共四十八页，创作于2022年6月(一)二阶齐线性微分方程解的结构的两个线
4、性无关的特解，则是方程(1)的通解。例如第十一张，PPT 共四十八页，创作于2022年6月推论：是 n 阶线性齐次微分方程 的 n 个线性无关的特解,则方程的通解为：第十二张，PPT 共四十八页，创作于2022年6月下面要用到的几个重要的结论（要记住）通过观察可得方程的一个特解：第十三张，PPT 共四十八页，创作于2022年6月又容易看出：由叠加原理，原方程的通解为第十四张，PPT 共四十八页，创作于2022年6月代入方程（1）中，得怎么做？关于 z 的一阶线性方程该问题的解决归功于数学家刘维尔。该问题的解决归功于数学家刘维尔。第十五张，PPT 共四十八页，创作于2022年6月即故有两边积分，
5、得这是关于 z 的一阶线性方程刘维尔公式第十六张，PPT 共四十八页，创作于2022年6月由刘维尔公式故原方程的通解为第十七张，PPT 共四十八页，创作于2022年6月（二)二阶非齐线性微分方程解的结构的一个通解，则证 将代入方程（2）的左端得是非齐次方程的解,又y 中含有两个独立任意常数,因而 是通解.第十八张，PPT 共四十八页，创作于2022年6月是对应齐次方程的 n 个线性无关特解,推广:给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解第十九张，PPT 共四十八页，创作于2022年6月例1：方程有特解对应齐次方程有通解：因此该方程的通解为第二
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