2.3(连续型随机变量).ppt

《2.3(连续型随机变量).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.3(连续型随机变量).ppt（49页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2.3 连续型随机变量连续型随机变量2.3.1 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 通通俗俗的的讲讲,连连续续型型随随机机变变量量就就是是取取值值可可以以连连续续地充满某个区间的随机变量地充满某个区间的随机变量.定定义义2.4 如如果果对对于于随随机机变变量量X的的分分布布函函数数F(x)，存存在非负函数在非负函数f(x)，使得对于任意实数，使得对于任意实数x有有 (2.2)则则称称X为为连连续续型型随随机机变变量量其其中中函函数数f(x)称称为为X的的概概率密度函数率密度函数，简称，简称概率密度概率密度或或密度函数密度函数 第第2章章 随机变量及其分布随机变量及

2、其分布定定义义2.4 如如果果对对于于随随机机变变量量X的的分分布布函函数数F(x)，存在非负函数存在非负函数f(x)，使得对于任意实数，使得对于任意实数x有有 (2.2)则则称称X为为连连续续型型随随机机变变量量其其中中函函数数f(x)称称为为X的的概率密度函数概率密度函数，简称，简称概率密度概率密度或或密度函数密度函数 从从(2.2)式式可可以以看看出出，连连续续型型随随机机变变量量的的分分布布函函数数一一定定是是连连续续函函数数，且且在在F(x)的的导导数数存存在在的的点点上上有有 (2.3)2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 概率密度函数的性质概率密度函数

3、的性质1这这两两条条性性质质是是判判定定一一个个函函数数 f(x)是是否否为为某某个个随随机机变变量量X的的概概率率密密度度函函数数的的充充要要条条件件.(3)X落入区间落入区间a,b内的概率内的概率 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度注意注意 对于任意可能值对于任意可能值 a,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关区间的概率与区间的开闭无关由此可得由此可得这是因为这是因为2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 密度函数密度函数 f

4、(x)在某点处在某点处a的高度，并不反映的高度，并不反映X取取值的概率值的概率.但是，这个高度越大，则但是，这个高度越大，则X取取a附近的值附近的值的概率就越大的概率就越大.1问题：问题：f(a)是是=a的概率吗？的概率吗？不是不是!2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 如果为连续型随机变量，虽然如果为连续型随机变量，虽然PX=a=0，但，但 X=a 并非不可能事件并非不可能事件.可见，可见，由由P(A)=0,不能推出不能推出由由P(B)=1,不能推出不能推出 B=问题：问题：概率为零的事件一定是不可能事件吗？概率为零的事件一定是不可能事件吗？类似可知，类似可知，不

5、一定！不一定！2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度【例例】设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为试试求求：(1)系系数数A；(2)X落落在在(1/2，1/2)内内的的概概率率；(3)X的分布函数的分布函数F(x)解：解：(1)由概率密度的归一性知由概率密度的归一性知所以所以2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度(2)(3)因为因为 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度故故X的分布函数为的分布函数为2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度解解:【例例】得2.3.1 连续型随机变量及其

6、概率密度连续型随机变量及其概率密度2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度【例例3】设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为现现对对X进进行行n次次独独立立重重复复观观测测，以以Y表表示示观观测测值值不不大于大于0.1的次数，试求随机变量的次数，试求随机变量Y的分布律的分布律 解解：事事件件“观观测测值值不不大大于于0.1”，即即事事件件X 0.1的概率的概率由题意由题意Y服从服从B(n，0.01)，于是，于是Y的分布律为的分布律为2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度2.3

7、.2 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 1.均匀分布均匀分布 定义定义2.8 如果连续型随机变量如果连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度 (2.4)则则称称X在在区区间间(a，b)上上服服从从均均匀匀分分布布，记记为为XU(a，b)2.3 连续型随机变量连续型随机变量均匀分布的意义均匀分布的意义事实上事实上，若若X U(a,b)，则对于满足，则对于满足的的c,d,总有总有2.3.2 常用连续分布常用连续分布均匀分布的分布函数为：均匀分布的分布函数为：f(x)和和F(x)的图形见图的图形见图2-6 图图2-6 均匀分布的概率密度与分布函数均匀分布的概率密度与分布函数2.3.2 常用连续分

8、布常用连续分布均匀分布常见于下列情形：均匀分布常见于下列情形：如如在在数数值值计计算算中中，由由于于四四舍舍五五 入入，小小数数点点后后某某一一位位小小数数引引入入的的误误差差，例例如如对对小小数数点点后后第第一一位位进进行行四四舍舍五五入入时时，那那么么一一般般认认为为误误差差服服从从（-0.5,0.5）上的均匀分布。）上的均匀分布。再者，假定班车每隔再者，假定班车每隔a分钟发出一辆，由于乘分钟发出一辆，由于乘客不了解时间表，到达本站的时间是任意的（具客不了解时间表，到达本站的时间是任意的（具有等可能性），故可以认为候车时间服从区间有等可能性），故可以认为候车时间服从区间(0，a)上的均匀分

9、布上的均匀分布 2.3.2 常用连续分布常用连续分布解解 设设X表示他等车时间（以分计），则表示他等车时间（以分计），则X是是一个随机变量，且一个随机变量，且【例例】（等待时间）（等待时间）公共汽车每公共汽车每1010分钟按时通过分钟按时通过一车站，一乘客随机到达车站一车站，一乘客随机到达车站.求他等车时间不超求他等车时间不超过过3 3分钟的概率分钟的概率.所求概率为所求概率为X的概率密度为的概率密度为2.3.2 常用连续分布常用连续分布【例例】设设随随机机变变量量X在在(2,5)上上服服从从均均匀匀分分布布，现现对对X进进行行三三次次独独立立观观测测，试试求求至至少少有有两两次次观观测测值值

10、大大于于3的概率的概率 解解：因因为为随随机机变变量量X在在(2,5)上上服服从从均均匀匀分分布布，所以所以X的概率密度为的概率密度为事件事件“对对X的观测值大于的观测值大于3”的概率为的概率为2.3.2 常用连续分布常用连续分布设设Y表示三次独立观测中观测值大于表示三次独立观测中观测值大于3的次数，的次数，则则于是于是2.3.2 常用连续分布常用连续分布2.指数分布 定义定义2.9 如果随机变量如果随机变量X概率密度为概率密度为 (2.6)则则称称X服服从从参参数数为为 的的指指数数分分布布，记记为为XExp()指数分布的分布函数为指数分布的分布函数为 (2.7)2.3.2 常用连续分布常用

11、连续分布指指数数分分布布的的概概率率密密度度与与分分布布函函数数的的图图形形如如下下图图所示所示 图图2-7 指数分布的概率密度与分布函数指数分布的概率密度与分布函数2.3.2 常用连续分布常用连续分布 因因为为指指数数分分布布只只可可能能取取非非负负实实数数，所所以以它它被被用用作作各各种种“寿寿命命”分分布布的的近近似似分分布布，例例如如电电子子元元器器件件的的寿寿命命，随随机机服服务务系系统统中中的的服服务务时时间间等等都都可可假假定定服服从从指指数数分分布布指指数数分分布布在在可可靠靠性性理理论论与与排排队队论论中中有有着广泛的应用着广泛的应用2.3.2 常用连续分布常用连续分布下面给

12、出指数分布的一个有趣性质下面给出指数分布的一个有趣性质定理定理（指数分布的无记忆性）（指数分布的无记忆性）设设 ，则对任意，则对任意 s 0,t 0，有，有 证：证：因为因为XExp()，所以，所以PXs=1-F(s)=es/，于是于是2.3.2 常用连续分布常用连续分布【例例】假假定定自自动动取取款款机机对对每每位位顾顾客客的的服服务务时时间间（单单位位：分分钟钟）服服从从=3的的指指数数分分布布如如果果有有一一顾顾客客恰恰好好在在你你前前头头走走到到空空闲闲的的取取款款机机，求求(1)该该顾顾客客至至少少等等候候3分分钟钟的的概概率率；(2)该该顾顾客客等等候候时时间间在在3分分钟钟至至6

13、分钟之间的概率分钟之间的概率 如如果果该该顾顾客客到到达达取取款款机机时时，正正有有一一名名顾顾客客使使用用着着取款机，上述概率又是多少？取款机，上述概率又是多少？2.3.2 常用连续分布常用连续分布解解：以以X表表示示该该顾顾客客前前面面这这位位顾顾客客所所用用服服务务时时间间，F(x)为为X的分布函数，由的分布函数，由(2.7)，所求概率，所求概率 (1)(2)如如果果该该顾顾客客到到达达时时取取款款机机正正在在为为一一名名顾顾客客服服务务，同同时时没没有有其其他他人人在在排排队队等等候候，那那么么由由指指数数分分布布的的无无记记忆忆性性，取取款款机机还还需需要要花花在在你你前前面面顾顾客

14、客身身上上的的服服务务时时间间，与他刚到取款机相同，从而问题的答案不变与他刚到取款机相同，从而问题的答案不变2.3.2 常用连续分布常用连续分布3.正态分布正态分布定义定义2.10 如果随机变量如果随机变量X的概率密度为的概率密度为 (2.9)其其中中，(0)为为参参数数，则则称称X服服从从参参数数为为，的的正态分布正态分布（又称为高斯分布），记为（又称为高斯分布），记为 Carl Friedrich GaussBorn:30 Apr.1777 in Brunswick,Duchy of Brunswick(now Germany)Died:23 Feb.1855 in Gttingen,Ha

15、nover(now Germany)2.3.2 常用连续分布常用连续分布显然显然 f(x)0，下面来证明，下面来证明若令若令，得到得到记记 ，则有，则有 ，利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分2.3.2 常用连续分布常用连续分布而而 ，故有，故有即即 ，于是，于是可可见见(2.9)中中的的f(x)满满足足概概率率密密度度的的两两个个基基本本性性质质2.3.2 常用连续分布常用连续分布正态分布的分布函数为正态分布的分布函数为 (2.10)f(x)和和F(x)的图形如图的图形如图2-8 图图2-8 正态分布的概率密度和分布函数正态分布的概率密度和分布函数2.3.2 常用连续分布常用连续分布

16、2.3.2 常用连续分布常用连续分布正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征2.3.2 常用连续分布常用连续分布2.3.2 常用连续分布常用连续分布2.3.2 常用连续分布常用连续分布 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 2.3.2 常用连续分布常用连续分布特特别别，当当 时时称称X服服从从标标

17、准准正正态态分分布布，记记作作XN(0，1)，其其概概率率密密度度和和分分布布函函数数分分别别用用 (x)和和(x)表示，即表示，即2.3.2 常用连续分布常用连续分布标准正态分布的概率密度如图所示易知标准正态分布的概率密度如图所示易知 (x)=1 (x)标准正态分布的概率密度标准正态分布的概率密度 附表附表3对给出了对给出了 (x)的值，可供查用的值，可供查用2.3.2 常用连续分布常用连续分布(3)某某公公共共汽汽车车站站从从上上午午7时时起起，每每15分分钟钟来来一一班班车车，即即 7:00，7:15，7:30,7:45 等等时时刻刻有有汽汽车车到到达达此此站站，如如果果乘乘客客到到达达

18、此此站站时时间间 X 是是7:00 到到 7:30 之之间间的的均均匀随机变量匀随机变量,试求他候车时间少于试求他候车时间少于5 分钟的概率分钟的概率.解：解：依题意，依题意，X U(0,30)以以7:00为为起点起点0，以分为单位，以分为单位2.3.2 常用连续分布常用连续分布 课堂练习课堂练习为使候车时间为使候车时间X少于少于 5 分钟，乘客必须在分钟，乘客必须在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站.所求概率为：所求概率为：从上午从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，即分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站等时刻有汽车到达汽车站，即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5 分钟的概率是分钟的概率是1/3.2.3.2 常用连续分布常用连续分布作业：P50 习题 2.3 4，8，9，14