概率论与数理统计作业课件.ppt

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1、1第五章第五章 部分作业答案部分作业答案2333.43.又又5464.7585.9121012.11第六章第六章 部分作业答案部分作业答案126136,2)146.1)6.2)157167.1)7.2)178188.19112011.1)11.2)21122212.23142414.25 设设 来自总体来自总体 的简单随机样本，的简单随机样本，为样本均值，为样本均值，为样本方差，则为样本方差，则（a）（b）（c c）（d d）补例补例-26第七章第七章 补例补例27例、例、从一大批产品的从一大批产品的100个样品中个样品中,得一级品得一级品60个个.一级品率一级品率 p 是是0-1分布的参数分

2、布的参数.计算得计算得于是于是所求所求p的的置信度为置信度为0.95的近似的近似置信区间置信区间为为求求:这这大批产品的一级品率大批产品的一级品率 p 的的置信度为置信度为0.95的的置信置信区间区间.解解:这里这里 1-=0.95,/2=0.025，n=100,u 0.975=1.96,例例18-1818-18.28例例1、有一批糖果有一批糖果.现随机取现随机取16袋袋,称的重量如下称的重量如下:解解:这里这里 1-=0.95,/2=0.025,n-1=15,t0.975(15)=2.1315,由给出的数据由给出的数据计算得计算得于是总体均值于是总体均值 的的置信度为置信度为0.95的的置信

3、区间置信区间为为设袋装糖果近似地服从正态分布设袋装糖果近似地服从正态分布,试求试求 总体均值总体均值 的的置信度为置信度为0.95的的置信区间置信区间.例例18-19.118-19.1.29例例2、有一批糖果有一批糖果.现随机取现随机取16袋袋,称的重量如下称的重量如下:设袋装糖果近似地服从正态分布设袋装糖果近似地服从正态分布.这里这里 /2=0.025,1-/2=0.975,n-1=15,2 0.025(15)=27.488,2 0.975(15)=6.262,计算得计算得于是于是标准差标准差 的的置信度为置信度为0.95的的置信区间置信区间为为求标准差求标准差 的的置信度为置信度为0.95

4、的的置信区间置信区间.解解:例例18-19.218-19.2.30例例3、比较两种型号子弹的枪口速度比较两种型号子弹的枪口速度.随机地取随机地取A型型10发发,测得枪口速度平均值为测得枪口速度平均值为500,标准差标准差1.10;B型型20发发,测得枪口速度平均值为测得枪口速度平均值为496,标准差标准差1.20.假设假设两总体可认为近似地服从正态分布两总体可认为近似地服从正态分布,且方差相等且方差相等.这里这里1-=0.95,/2=0.025,n1=10,n2=20,n1+n2-2=28,t 0.975(28)=2.0484,Sw=1.1688,即即 置信下限大于置信下限大于0,实际上认为实

5、际上认为 1比比 2大大.于是于是,两总体均值差两总体均值差 1-2的的置信度为置信度为0.95的的置信区间置信区间为为求求,两总体均值差的两总体均值差的置信度为置信度为0.95的的置信区间置信区间.解解:可认为两总体相互独立可认为两总体相互独立,方差相等但未知方差相等但未知.例例18-2018-20.31例例4、比较两种催化剂的得率比较两种催化剂的得率.原催化剂试验原催化剂试验8次次,测得测得的得率平均值为的得率平均值为91.73,样本方差样本方差3.89;新催化剂试验新催化剂试验8次次,测得的得率平均值为测得的得率平均值为93.75,样本方差样本方差4.02;假假设两总体可认为近似地服从正

6、态分布设两总体可认为近似地服从正态分布,且方差相等且方差相等.这里这里1-=0.95,/2=0.025,n1=8,n2=8,n1+n2-2=14,t 0.975(14)=2.1448,Sw2=3.96,即即 包含包含0,实际上认为得率无显著差别实际上认为得率无显著差别.所求的所求的置信区间置信区间为为求求,两总体均值差两总体均值差 1-2的的置信度为置信度为0.95的的置信区间置信区间.解解:可认为两总体相互独立可认为两总体相互独立,方差相等但未知方差相等但未知.例例18-2118-21.32例例5、比较两台机器工作状况比较两台机器工作状况.随机地取随机地取A台产品台产品18只只,测得样本方差

7、测得样本方差0.34;随机地取随机地取B台产品台产品13只只,测得测得样本方差样本方差0.29;假设两总体相互独立假设两总体相互独立,近似地服从正近似地服从正态分布态分布N(1,12),N(2,22),参数均未知参数均未知.这里这里1-=0.90,=0.10,n1=18,n2=13,s12=0.34,s22=0.29,即即 包含包含1,实际上认为实际上认为 12,22无显著差别无显著差别.于是于是,所求所求置信度为置信度为0.90的的置信区间置信区间为为求求,总体方差比总体方差比 12/22置信度为置信度为0.90的的置信区间置信区间.解解:例例18-2218-22.33第八章第八章 假设检验

8、假设检验34 提出提出关于总体的假设关于总体的假设.根据样本对所提出的假设做出判断根据样本对所提出的假设做出判断:是接受是接受,还是拒绝还是拒绝.第八章第八章 假设检验假设检验*8.1.假设检验问题假设检验问题35 由由假设假设推导出推导出“小概率事件小概率事件”;再由此再由此“小概率事件小概率事件”的发生就可以推断的发生就可以推断 “假设假设不成立不成立”。“统计推断原理统计推断原理”36例例 ：某人进行射击，设每次射击命中率为：某人进行射击，设每次射击命中率为 0.02，独，独立射击立射击400次，求至少击中两次的概率。次，求至少击中两次的概率。PX1=1-PX=0-PX=1=1-(0.9

9、8)400-400(0.02)(0.98)399 =np=8,PX1=1-PX=0-PX=1 =1-e-8-8e-8=0.997 1.一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小,但只要试验次数很多但只要试验次数很多,而且试验是独立地进行的而且试验是独立地进行的,那末这一事件的发生几乎是肯定的。那末这一事件的发生几乎是肯定的。2.如果射手在如果射手在400次射击中次射击中,击中目标的次数击中目标的次数竟不到两次竟不到两次,我们将怀疑我们将怀疑“假设假设”的正确性的正确性,即即认为该射手射击的命中率达不到认为该射手射击的命中率达不到0.02。查指数函数表得查指数函

10、数表得0.000335前例前例04-1204-1237 提出提出关于总体的假设关于总体的假设:射击命中率为射击命中率为 0.02 依据依据样本样本:400次射击中次射击中,击中目标的次数击中目标的次数X 设定设定小概率事件小概率事件:即即PX2=0.003 根据根据样本值样本值对所提出的假设做出对所提出的假设做出判断判断:接受接受或或拒绝拒绝.如果如果竟不到两次竟不到两次,我们将怀疑我们将怀疑“假设假设”的正确性的正确性,即认为即认为该射手射击的命中率达不到该射手射击的命中率达不到0.02*假设检验问题假设检验问题38其具体作法是其具体作法是:1.根据实际问题提出根据实际问题提出 原假设原假设

11、H0和和备择假设备择假设H1；2.给定显著性水平的值给定显著性水平的值 (0 1),以及样本容量以及样本容量n；3.确定检验统计量确定检验统计量以及拒绝域的形式；以及拒绝域的形式；4.按按 求出求出拒绝域；拒绝域；5.取样，根据样本观察值做出判断取样，根据样本观察值做出判断:是接受假设是接受假设H0 (即拒绝假设即拒绝假设H1)，还是拒绝假设，还是拒绝假设H0(即接受假即接受假 设设H1)。39 机器包装糖果机器包装糖果.所包袋装糖果重量近似地服从所包袋装糖果重量近似地服从正态分布正态分布.机器正常时机器正常时,均值为均值为0.5公斤公斤,标准差为标准差为 0.015 公斤公斤.某日开工后检验

12、包装机工作是否正常某日开工后检验包装机工作是否正常.现现随机取随机取9袋袋,称的重量如下称的重量如下:解释解释:认为该日所包袋装糖果重量近似地服从正态分布认为该日所包袋装糖果重量近似地服从正态分布.长期经验表明标准差比较稳定为长期经验表明标准差比较稳定为 0.015 公斤于是公斤于是认为总体服从认为总体服从 X N(,0.0152),这里这里 未知未知.问包装机工作是否正常问包装机工作是否正常?问题是问题是,根据样本值来判断根据样本值来判断:=0.5,还是还是 0.5。例例19-19-0101.40(1)我们提出假设我们提出假设 H0：=0(=0.5)；和和 H1：0。这是两个对立的假设。我们

13、要给出一个合理的法这是两个对立的假设。我们要给出一个合理的法则，根据这一法则，利用已知样本做出判断则，根据这一法则，利用已知样本做出判断:是接受是接受假设假设H0(即拒绝假设即拒绝假设H1)，还是拒绝假设，还是拒绝假设H0(即接受即接受假设假设H1)。如果做出的判断是拒绝假设如果做出的判断是拒绝假设H0(即接受假设即接受假设H1),则认为包装机工作是不正常的则认为包装机工作是不正常的;否则否则,做出判断做出判断是接受假设是接受假设H0(即拒绝假设即拒绝假设H1)，则认为包装机工，则认为包装机工作是正常的。作是正常的。41思路思路:所提出的假设涉及总体均值所提出的假设涉及总体均值 ,故想到用样本

14、故想到用样本均值均值 来做出判断来做出判断.由于样本均值由于样本均值 反映总体均值反映总体均值 的大小的大小.因此当假设为真时因此当假设为真时,与与 的偏差的偏差|-|不不应太大应太大.若其过分大若其过分大,我们就怀疑假设的正确性而我们就怀疑假设的正确性而拒绝拒绝 H0.而当假设为真时而当假设为真时,42 (3)于是我们适当选择一正数于是我们适当选择一正数k，当观测的样本，当观测的样本均值均值 满足满足就拒绝假设就拒绝假设H0.否则否则,就接受假设就接受假设H0衡量衡量 的大小可归结为衡量的大小可归结为衡量的大小。的大小。43 (2)犯这种错误是无法排除的。只能希望犯这种犯这种错误是无法排除的

15、。只能希望犯这种错误的概率控制在一定限度之内，即给出一个较错误的概率控制在一定限度之内，即给出一个较小的数小的数 (0 1),使犯这种错误的概率不超过使犯这种错误的概率不超过 ,即使得即使得 由于判断的依据是一个样本，因此当假设为由于判断的依据是一个样本，因此当假设为真时仍可能做出拒绝假设真时仍可能做出拒绝假设H0的判断。这是一种的判断。这是一种错误，犯这种错误的概率记为错误，犯这种错误的概率记为44这时就能确定这时就能确定k了了.我们令我们令而当假设为真时而当假设为真时,由正态分布分位点的定义得由正态分布分位点的定义得,(4)于是若满足于是若满足则拒绝则拒绝H0,而若而若则接受则接受H0.4

16、5 (5)于是拒绝假设于是拒绝假设H0(即接受假设即接受假设H1),认为包装认为包装 机工作是不正常的。机工作是不正常的。回到本例回到本例中中,取取 =0.05,n=9,=0.015 查表得查表得k=u0.975=1.96.再由样本算得再由样本算得 =0.511,既有既有46 由一次试验得到的观察值，满足不等式几乎是不由一次试验得到的观察值，满足不等式几乎是不可能的。现在竟然出现了，则我们有理由怀疑原来可能的。现在竟然出现了，则我们有理由怀疑原来假设的正确性，因而拒绝假设假设的正确性，因而拒绝假设H0。否则，没有理。否则，没有理由怀疑原来假设的正确性，只得接受假设由怀疑原来假设的正确性，只得接

17、受假设H0。此此检验法符合实际推断原理检验法符合实际推断原理的。因为通常的。因为通常 取得较取得较小，一般为小，一般为 0.05,0.01。而当假设而当假设H0为真时为真时,即即 =0 时时是一个小概率事件。是一个小概率事件。47此例中，当样本容量固定时，选定此例中，当样本容量固定时，选定 后，数后，数k就可就可以确定。它是检验上述假设的一个以确定。它是检验上述假设的一个门槛值门槛值。如果。如果则称则称 与与 0 的差异是的差异是显著显著的，因而拒绝假设的，因而拒绝假设H0。则称则称 与与 0 的差异是的差异是不显不显著著的，只得接受假设的，只得接受假设H0。数数 称为称为显著性水平显著性水平

18、。统计量。统计量若若称为称为检验统计量检验统计量。48在显著性水平在显著性水平 下，下，检验假设检验假设 H0：=0；H1：0。上面提出的假设检验问题可以叙述成：上面提出的假设检验问题可以叙述成：也常说成也常说成“在显著性水平在显著性水平 下，针对下，针对H1检验检验H0”。H0称为称为原假设原假设或或零假设零假设；H1称为称为备择备择假设假设。检验统计量取某个区域检验统计量取某个区域C中的值时，我们拒中的值时，我们拒绝原假设绝原假设H0，则称区域，则称区域C为为拒绝域拒绝域，拒绝域的，拒绝域的边界点称为边界点称为临界点临界点。49 *由于判断的依据是一个样本，总有可能做出由于判断的依据是一个

19、样本，总有可能做出错误的判断错误的判断:当假设为不真时也可能做出接受假设当假设为不真时也可能做出接受假设H0的判断。的判断。这是一种这是一种“取伪取伪”的错误，称为的错误，称为第二类错误第二类错误.犯这种错误的概率记为犯这种错误的概率记为当假设为真时仍可能做出拒绝假设当假设为真时仍可能做出拒绝假设H0的判断。的判断。这是一种这是一种“弃真弃真”的错误，称为的错误，称为第一类错误第一类错误.犯这种错误的概率记为犯这种错误的概率记为50 犯这种错误是无法排除的。我们希望犯这两种犯这种错误是无法排除的。我们希望犯这两种错误的概率都很小错误的概率都很小.一般来说一般来说,当样本容量固定时当样本容量固定

20、时,若减少犯一类错误若减少犯一类错误的概率的概率,则犯另一类错误的概率往往增大则犯另一类错误的概率往往增大.若要使犯若要使犯两种错误的概率都减小两种错误的概率都减小,除非增加样本容量除非增加样本容量.于是于是,在给定样本容量的情况下在给定样本容量的情况下,一般来说一般来说,我们总我们总是控制犯第一类错误的概率是控制犯第一类错误的概率,使它小于或等于使它小于或等于.即即 使犯第一类错误的概率不超过使犯第一类错误的概率不超过 .这种只对犯第一类错误的概率加以控制这种只对犯第一类错误的概率加以控制,而不考虑而不考虑犯第二类错误的检验问题犯第二类错误的检验问题,称为称为显著性检验显著性检验问题问题.5

21、1具体作法步骤是具体作法步骤是:1.根据实际问题根据实际问题(一般是关于总体参数值一般是关于总体参数值)提出提出 原假设原假设H0和和备择假设备择假设H1；2.给定显著性水平的值给定显著性水平的值 (0 1),以及样本容量以及样本容量n；3.确定检验统计量确定检验统计量(通常是相应参数的点估计通常是相应参数的点估计)以及以及 拒绝域的形式；拒绝域的形式；4.按按 求出求出拒绝域；拒绝域；5.取样，根据样本观察值做出判断取样，根据样本观察值做出判断:是接受假设是接受假设H0 (即拒绝假设即拒绝假设H1)，还是拒绝假设，还是拒绝假设H0(即接受假即接受假 设设H1)。52*8.2.一个一个正态总体

22、正态总体 N(,2)的假设检验的假设检验1.2为已知为已知,关于关于均值均值 的检验的检验(u检验检验)前面已得到关于前面已得到关于 =0的在显著性水平的在显著性水平 下，下，双边双边检验假设检验假设H0：=0；H1：0。A.双边双边采用统计量采用统计量作为检验统计量作为检验统计量,当当|z|过分大时就拒绝过分大时就拒绝H0,拒绝域拒绝域的形式为的形式为532.2为未知为未知,关于关于均值均值 的检验的检验(t检验检验)采用统计量采用统计量总体为总体为 N(,2),其中其中,2为未知为未知,我们来求检验问我们来求检验问题题:H0：=0；H1：0。在显著性水平在显著性水平 下的拒绝域下的拒绝域.

23、作为检验统计量作为检验统计量,当当|t|过分大时就拒绝过分大时就拒绝H0,拒绝域拒绝域的形式为的形式为54前面已知前面已知,当当H0为真时为真时,故由故由即得即得 相应的单边检验的拒绝域见表相应的单边检验的拒绝域见表8.1。从而检验问题的从而检验问题的拒绝域为拒绝域为由由t统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为 t 检验法检验法。55 某厂生产钢筋，已知钢筋强度服从正态分布，某厂生产钢筋，已知钢筋强度服从正态分布，,2为未知。为未知。其强度标准为其强度标准为52(kg/mm2)，今抽取，今抽取6个样个样品，测得其强度数据如下品，测得其强度数据如下(单位：单位：kg/mm2)：48.5 4

24、9.0 48.5 49.0 53.5 49.5 56.0 52.553.5 49.5 56.0 52.5。判断这批产品的强度是否合判断这批产品的强度是否合格格(=0.05)？t未落在拒绝域中未落在拒绝域中,故接受故接受H0,即认为产品的强度与标准强度无显著性差异，就现在即认为产品的强度与标准强度无显著性差异，就现在样本提供的信息来看，产品是合格的。样本提供的信息来看，产品是合格的。在在H0成立的条件下成立的条件下解解:现在现在,n=6,t0.975(5)=2.571。又得又得 例例19-0219-02.563.单个正态总体方差的假设检验（单个正态总体方差的假设检验（检验）检验）设设总体为总体为

25、N(,2),、2均为未知均为未知,要求要求 检验检验假设假设(显著性水平为显著性水平为 )：H0：2=02；H1：2 02。由于由于s2 是是 2的无偏估计，当的无偏估计，当H0 为真时，为真时，比值在比值在 1 附近摆动，而不应过分大于附近摆动，而不应过分大于1，也不应过分小于也不应过分小于1。我们已知。我们已知57我们取我们取其拒绝域的形式为：其拒绝域的形式为：作为检验统计量。作为检验统计量。此处此处k1、k2的值由下式确定：的值由下式确定：或或58可得可得,拒绝域为拒绝域为为计算方便取为计算方便取或或59提出待检假设和备择假设提出待检假设和备择假设称此检验法为称此检验法为 检验，其一般步

26、骤如下检验，其一般步骤如下 或或 则否定则否定H0 ，选用统计量选用统计量 ，在在H0成立的条件下，成立的条件下，由给定的检验水平由给定的检验水平 ，查，查 分布表，得临界值分布表，得临界值 确定否定域为确定否定域为 由样本值计算由样本值计算 ，并与临界值比较；，并与临界值比较；结论：若结论：若 若若 则不能否定。则不能否定。由由 统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为 检验法检验法。某炼铁厂的铁水含碳量某炼铁厂的铁水含碳量 X 服从正态分布。现对服从正态分布。现对操作工艺进行了某种改进，从中抽取操作工艺进行了某种改进，从中抽取5炉铁水，测得含炉铁水，测得含碳量数据如下：碳量数据如下：4

27、.421 4.052 4.353 4.287 4.683。取取 =0.05，是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为差仍为？否定否定H0 ，即不能认为方差是，即不能认为方差是(0.108)(0.108)2 2。在在H0成立的条件下成立的条件下解解:现在现在,n=5,=0.05，得临界值得临界值又得又得 例例19-0319-03.61(19)结束作业:习题八的习题八的 1,3,7,8,演示演示34！62163364765866(1)分布的分布的上上 分位点分位点则称则称 为该分布的上为该分布的上 分位点分位点.如如:正态分布正态分布、t 分布分布、2分布

28、分布、F 分布分布、.等的等的上上 分位点分位点.请注意：请注意：设设 X为一个随机变量为一个随机变量,其分布为其分布为F,对任意对任意0 1,若若 满足条件满足条件67(2)分布的分布的下下 分位点分位点则称则称 为该分布的下为该分布的下 分位点分位点.如如:正态分布正态分布、t 分布分布、2分布分布、F 分布分布、.等的等的下下 分位点分位点.请注意：请注意：设设 X为一个随机变量为一个随机变量,其分布为其分布为F,对任意对任意0 1,若若 满足条件满足条件68(3)对称分布的对称分布的 双侧双侧 分位点分位点则称则称 为该分布的为该分布的双侧双侧 分位点。分位点。如如:正态分正态分布布、

29、t 分布分布、.等的等的双侧双侧 分位点分位点。请注意：。请注意：设设 X为一个随机变量为一个随机变量,其分布密度为其分布密度为对称的对称的,对对任意任意0 1,若若 满足条件满足条件69正态分布正态分布N(0,1)的下、的下、(上上)分位点记为分位点记为:t(n)分布分布的下、的下、(上上)分位点记为分位点记为:2(n)分布分布的下、的下、(上上)分位点记为分位点记为:F(n1,n2)分布分布的下、的下、(上上)分位点记为分位点记为:70由对称性得由对称性得2。对于对于n45的的 分布的（上）分布的（上）分位点由下式近似得到分位点由下式近似得到u1-为为标准正态分布的（上）上）分位点分位点.1。正态。正态分布的（上）分布的（上）分位点可查附表分位点可查附表2.713。为为 分布的下分布的下 分位点分位点.对于对于n45的的 分布的（下）分布的（下）分位点由下式近似分位点由下式近似得到得到u 为为标准正态分布的下下 分位点分位点.4。对于对于 分布的下分布的下 分位点可查附表分位点可查附表5.表中无有的可由右式得出表中无有的可由右式得出:再见7299-9-28 ！#￥%*（）+|“：？！￥（）、。，；。