《二元一次不等式表示平面区域》精品课件.ppt

《《二元一次不等式表示平面区域》精品课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《二元一次不等式表示平面区域》精品课件.ppt（80页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、简单的线性规划问题简单的线性规划问题12/15/2022新知探究：新知探究：1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义（1）二元一次不等式：）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式；的不等式；（2）二元一次不等式组：）二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组；由几个二元一次不等式组成的不等式组；（3）二元一次不等式的解集：）二元一次不等式的解集：满足二元一次不等式的满足二元一次不等式的有序实数对有序实数对(x，y)构成的集合；构成的集合；12/15/2022问题1：在平面直坐标系

2、中，x+y=0表示的点的集合表示什么图形？x-y+10 呢？x+y0 呢?x+y0 呢?12/15/20223、在直线的右上方的平面区域内。2、在直线的左下方的平面区域内。在平面直角坐标系中，所有的点都被直线x+y=0（如图所示）分成三类：YOX1、在直线上。12/15/2022例例1：画出不等式：画出不等式 x+4y 4表示的平面区域表示的平面区域(2)（直线定界直线定界）:先画直线先画直线x+4y 4=0（画成虚线）（画成虚线）(3)（特殊点定域特殊点定域）:取原点（取原点（0，0），代入），代入x+4y-4，得得 0+40 4=-4 0(4)（取舍取舍）所以）所以原点在原点在x+4y 4

3、 0表示的平面表示的平面区域内，不等式区域内，不等式x+4y 4 0表示的区域如图所表示的区域如图所示。示。xyx+4y4=x+4y4=0 0 解：解：(1)（化成标准式化成标准式）x+4y 4 4x+4y4x-y-40 x-y-40 x-y-40 x-y-40例例1 1、画出、画出 x+4y4 x+4y4 表示的平面表示的平面区域区域x+4y=4x+4y=4x+4y4x+4y4x+4y4（2 2）x-y-40 x-y-40 x-y-40o ox xy yx-y-4=0 x-y-4=0y 3x+12 x0(1)x0(2)x+y0(2)x+y0yxo2x+y=2x+y=4 4(3(3)(3)2x

4、+y4(3)2x+y0 Ax+By+C0 在平在平面直角坐标系中表示直线面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0某某一侧所有点组成的平面区域。一侧所有点组成的平面区域。由于对直线同一侧的所有点由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把它，把它代入代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点点(x0,y0)，从，从Ax0+By0+C的正负可以的正负可以判断出判断出Ax+By+C0表示哪一侧的区域。表示哪一侧的区域。一般在一般在C0时，时，取原点作为特殊点取原点作为特殊点。12/15/2022应

5、该注意的几个问题：应该注意的几个问题：1、若不等式中、若不等式中不含不含0，则边界应，则边界应画成虚线画成虚线，2、二元一次不等式表示平面区域的判断方法：二元一次不等式表示平面区域的判断方法：“直线定界、特殊点定域直线定界、特殊点定域”否则应否则应画成实线。画成实线。确定步骤：确定步骤：_、_若若C0，则，则 _、_.直线定界直线定界特殊点定域特殊点定域直线定界直线定界原点定域原点定域12/15/2022课堂练习课堂练习2：1、不等式、不等式x 2y+6 0表示的区域在直线表示的区域在直线x 2y+6=0的（的（）（A）右上方）右上方（B）右下方）右下方（C）左上方）左上方（D）左下方）左下方

6、2、不等式、不等式3x+2y 6 0表示的平面区域是（表示的平面区域是（）BD12/15/2022课堂练习课堂练习2：3、不等式组、不等式组B表示的平面区域是（表示的平面区域是（）12/15/2022x+y+2=0 x+2y+1=02x+y+1=0 xyo1221x+y+2 0 x+2y+1 02x+y+1 012/15/2022由图知：平面区由图知：平面区域是边长为域是边长为 的的正方形。正方形。xyo1111x+y 1=0 x+y+1=0 x y 1=0 x y+1=0 S=212/15/2022简单的简单的线性规划问题线性规划问题2022/12/152022/12/15练习题练习题.1.

7、在同一坐标系上作出下列直线在同一坐标系上作出下列直线:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7xYo12/15/20222.作出下列不等式组的所表示的平面区域作出下列不等式组的所表示的平面区域12/15/202255x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC:(1.00,4.40)A:(5.00,2.00)B:(1.00,1.00)Oxy12/15/2022一、一、提出问题提出问题设设z=2x+y,求满足求满足时时,z的最大值和最小值的最大值和最小值.12/15/202255x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC:(1.00,4.40)A:

8、(5.00,2.00)B:(1.00,1.00)Oxy直线直线直线直线L L L L越往右平移越往右平移越往右平移越往右平移,t,t,t,t随之增大随之增大随之增大随之增大.以经过点以经过点以经过点以经过点A(5,2)A(5,2)A(5,2)A(5,2)的的的的直线所对应的直线所对应的直线所对应的直线所对应的t t t t值值值值最大最大最大最大;经过点经过点经过点经过点B(1,1)B(1,1)B(1,1)B(1,1)的直线所对的直线所对的直线所对的直线所对应的应的应的应的t t t t值最小值最小值最小值最小.12/15/2022线性规划问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：求z的最大

9、值与最小值。目标函数（线性目标函数）线性约束条件任何一个满足任何一个满足不等式组的不等式组的（x,yx,y）可行解可行解可行域可行域所有的所有的最优解最优解线性规线性规划问题划问题讲授新课讲授新课1.上述问题中，不等式组是一组对变量上述问题中，不等式组是一组对变量 x、y的约束条件，这组约束条件都是的约束条件，这组约束条件都是 关于关于x、y的一次不等式，所以又叫的一次不等式，所以又叫线线 性约束条件性约束条件.线性约束条件除了用线性约束条件除了用一次不等式一次不等式表示表示 外，有时也用外，有时也用一次方程一次方程表示表示.12/15/2022讲授新课讲授新课2.欲求最大值或最小值的函数欲求

10、最大值或最小值的函数z=2x+y 叫做叫做目标函数目标函数.由于由于 z=2x+y又是又是x、y的一次解析式，的一次解析式，所以又叫所以又叫线性目标函数线性目标函数.3.一般地，求线性目标函数在线性约束一般地，求线性目标函数在线性约束 条件下的最大值或最小值的问题，统称条件下的最大值或最小值的问题，统称 为为线性规划问题线性规划问题.12/15/2022讲授新课讲授新课4.满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解(x,y)叫做叫做可行解可行解.5.由所有可行解组成的集合叫做由所有可行解组成的集合叫做可行域可行域.6.使目标函数取得最大值或最小值的可行使目标函数取得最大值或最小值的可行 解，它们

11、都叫做这个问题的解，它们都叫做这个问题的最优解最优解.12/15/2022线性规划练习练习1:解下列线性规划问题：求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：2x+y=02x+y=-32x+y=3答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值3.当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3.作出直线作出直线l0:2x+y=0，再将直线平移，当，再将直线平移，当l0平行线平行线l1过过A点时，可使点时，可使z=2x+y达到最小值，达到最小值，当当l0平行线平行线l2过过B点时，可使点时，可使z=2x+y达到最达到最大值大值.讲授新课讲授新课解：解：先作出可行域，见图中先作出可行

12、域，见图中ABC表示的表示的区域区域,且求得且求得zmin=2(1)+(1)=3，zmax=22+(1)=3.12/15/2022线性规划例例2 解下列线性规划问题：求z=300 x+900y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：x+3y=0300 x+900y=0300 x+900y=112500答案：当x=0,y=0时，z=300 x+900y有最小值0.当x=0,y=125时，z=300 x+900y有最大值112500.讲授新课讲授新课解答线性规划问题的步骤：解答线性规划问题的步骤：u第一步：根据约束条件画出可行域；第一步：根据约束条件画出可行域；u第二步：令第二步：令z0，画直

13、线，画直线l0；u第三步：观察，分析，平移直线第三步：观察，分析，平移直线l0，从而找到最优解；从而找到最优解；u第四步：求出目标函数的最大值或最第四步：求出目标函数的最大值或最 小值小值.12/15/2022例例3.要将两种大小不同的钢板截成要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三三种规格种规格,每张钢板可以同时截得三种规格的小每张钢板可以同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：钢板的块数如下表所示：A规格规格B规格规格C规格规格第一种钢板第一种钢板211第二种钢板第二种钢板123今需要今需要A、B、C三种成品分别是三种成品分别是15、18、27块，块，问各截这两种钢板多少块可得所需三种规格

14、成问各截这两种钢板多少块可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少品，且使所用钢板张数最少.规格类型规格类型钢板类型钢板类型2.用量最省问题用量最省问题讲授新课讲授新课12/15/2022讲授新课讲授新课解：解：设需截第一种钢板设需截第一种钢板x张，第二种钢板张，第二种钢板y张，则张，则作出可行域：作出可行域：目标函数为目标函数为zxy12/15/2022讲授新课讲授新课yxO2248818281612/15/2022讲授新课讲授新课yxO2248818281612/15/2022讲授新课讲授新课yxO2248818281612/15/2022讲授新课讲授新课yxO2248818281612/

15、15/2022讲授新课讲授新课yxO2248818281612/15/2022讲授新课讲授新课yxO2248818281612/15/2022讲授新课讲授新课yxO2248818281612/15/2022讲授新课讲授新课yxO2248818281612/15/2022讲授新课讲授新课yxO2248818281612/15/2022在可行域内找出最优整数解问题的一般在可行域内找出最优整数解问题的一般方法是：方法是：3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网络、找整点、平移直线、找出整数最优解。络、找整点、平移直线、找出整数最优解。调整优值法

16、调整优值法打网格线法打网格线法1.若区域若区域“顶点顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）（在包括边界的情况下）2.若区域若区域“顶点顶点”不是整点不是整点或或不包括边界不包括边界时，应先求时，应先求出该点坐标，并计算目标函数值出该点坐标，并计算目标函数值Z，然后在可行域内适，然后在可行域内适当放缩目标函数值，使它为整数，且与当放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最接近，在这最接近，在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止继续放缩，直至取到整点为止12/15/2

17、022【例例1 1】画出不等式组画出不等式组 表示的平面区表示的平面区 域域,并回答下列问题并回答下列问题:(1)(1)指出指出x x,y y的取值范围的取值范围;(2)(2)平面区域内有多少个整点平面区域内有多少个整点?思维启迪思维启迪 (1)(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分,但要注意是否包含边界但要注意是否包含边界.(2).(2)整点是指横、纵坐标均为整数的点整点是指横、纵坐标均为整数的点.解解 (1)(1)不等式不等式

18、x x-y y+50+50表示直线表示直线x x-y y+5=0+5=0上及右下方的点的集合上及右下方的点的集合.x x+y y00表示直线表示直线x x+y y=0=0上及右上方的点的集合上及右上方的点的集合,x x33表示直线表示直线x x=3=3上及左方的点的集合上及左方的点的集合.12/15/2022所以所以,不等式组不等式组 表示的平面区域如图所示表示的平面区域如图所示.结合图中可行域得结合图中可行域得 (2)(2)由图形及不等式组知由图形及不等式组知 当当x x=3=3时时,-3,-3y y8,8,有有1212个整点个整点;当当x x=2=2时时,-2,-2y y7,7,有有101

19、0个整点个整点;当当x x=1=1时时,-1,-1y y6,6,有有8 8个整点个整点;当当x x=0=0时，时，00y y55，有，有6 6个整点；个整点；当当x x=-1=-1时时,1,1y y4,4,有有4 4个整点个整点;当当x x=-2=-2时时,2,2y y3,3,有有2 2个个整点整点;平面区域内的平面区域内的整点共有整点共有2+4+6+8+10+12=422+4+6+8+10+12=42个个.12/15/2022 【例例4 4】实数实数x x,y y满足满足（1 1）若）若 求求z z的最大值和最小值，并求的最大值和最小值，并求z z的取值的取值 范围；范围；（2 2）若）若z

20、 z=x x2 2+y y2 2，求，求z z的最大值与最小值的最大值与最小值,并求并求z z的取值的取值 范围范围.(1)(1)表示的是区域内的点与原点表示的是区域内的点与原点 连线的斜率连线的斜率.故故 的最值问题即为直线的斜率的的最值问题即为直线的斜率的 最大值与最小值最大值与最小值.（2 2）z z=x x2 2+y y2 2的最值表示的是区域内的点与原点的两点的最值表示的是区域内的点与原点的两点距离的平方的最大值、最小值距离的平方的最大值、最小值.解题思路解题思路12/15/2022 解解 作出可行域如作出可行域如图阴影部分所示图阴影部分所示.(1)(1)表示可行域内任一点与表示可行

21、域内任一点与(2)(2)坐标原点连线的斜率，坐标原点连线的斜率，4 4分分因此因此 的范围为直线的范围为直线OBOB的斜率到直线的斜率到直线OAOA的斜率的斜率(OAOA斜率不存在）斜率不存在）.z zmaxmax不存在，不存在，z zminmin=2,=2,z z的取值范围是的取值范围是2 2，+）.7.7分分12/15/2022(2)(2)z z=x x2 2+y y2 2表示可行域内的任意一点与坐标原点的两表示可行域内的任意一点与坐标原点的两 点间距离的平方点间距离的平方.9.9分分因此因此x x2 2+y y2 2的范围最小为的范围最小为|OAOA|2 2（取不到），最大为（取不到），

22、最大为|OBOB|2 2.由由 得得A A(0(0，1)1)，|OAOA|2 2=0=02 2+1+12 2=1=1，|OBOB|2 2=1=12 2+2+22 2=5.=5.z zmaxmax=5=5，z z无最小值无最小值.故故z z的取值范围是（的取值范围是（1 1，5 5.12.12分分12/15/20225.已知实数已知实数x，y满足满足 则则z2xy的最小值的最小值 是是1 .解：解：由约束条件画出由约束条件画出x，y满足的可行域，得三个点满足的可行域，得三个点A(2,0)，B(5,3)，C(1,3)，当目标函数过点，当目标函数过点C(1,3)时时z取得最小取得最小值值.2022/

23、12/15已知实数已知实数x，y满足满足(1)若若z2xy，求，求z的最大值和最小值的最大值和最小值.(2)若若zx2y2，求，求z的最大值和最小值；的最大值和最小值；(3)若若z ，求，求z的最大值和最小值的最大值和最小值.2022/12/15解：解：不等式组不等式组 表示的平面区域如图所示表示的平面区域如图所示.图中阴影部分即为可行域图中阴影部分即为可行域.由由得得 A(1,2)；由由 得得B(2,1)；2022/12/15由由 得得 M(2,3).(1)z2xy，y2xz，当直线当直线y2xz经过可行域内点经过可行域内点M(2,3)时，直线在时，直线在y轴上的截距最大，轴上的截距最大，z

24、也最大，此时也最大，此时zmax2237.当直线当直线y2xz经过可行域内点经过可行域内点A(1,2)时，直线在时，直线在y轴轴上的截距最小，上的截距最小，z也最小，此时也最小，此时zmin2124.所以所以z的最大值为的最大值为7，最小值为，最小值为4.2022/12/15(2)过原点过原点(0,0)作直线作直线l垂直于直线垂直于直线xy30，垂足为，垂足为N，则直线，则直线l的方程为的方程为yx，由由 得得 N()，点点N()在线段在线段AB上，也在可行域内上，也在可行域内.此时可行域内点此时可行域内点M到原点的距离最大，点到原点的距离最大，点N到原点的距到原点的距离最小离最小.2022/

25、12/15又又|OM|，|ON|，即即 ，x2y213，所以，所以，z的最大值为的最大值为13，z的最小值为的最小值为 .(3)kOA2，kOB ，2，所以所以z的最大值为的最大值为2，z的最小值为的最小值为 .2022/12/15解：解：不等式组表示的平面区域不等式组表示的平面区域如图所示如图所示.A(0，)，B(1,1)，C(0,4).SABC|AC|h答案：答案：C1.(2009安徽高考安徽高考)不等式组不等式组 所表示的平面区域所表示的平面区域 的面积等于的面积等于 ()A.B.C.D.2022/12/152.(2009宁夏、海南高考宁夏、海南高考)设设x、y满足满足 则则zxy ()

26、A.有最小值有最小值2，最大值，最大值3 B.有最小值有最小值2，无最大值，无最大值 C.有最大值有最大值3，无最小值，无最小值 D.既无最小值，也无最大值既无最小值，也无最大值2022/12/15解析：解析：不等式组不等式组 的平面区域为如图的阴影的平面区域为如图的阴影区域区域.xy在点在点A(2,0)处取最小值为处取最小值为2，无最大值，无最大值.答案：答案：B2022/12/153.若实数若实数x，y满足满足 且且x2y2的最大值等于的最大值等于34，则正实数则正实数a 的值等于的值等于 ()A.B.C.D.2022/12/15解：解：在平面直角坐标系中画出已知不等式组所表示的平在平面直

27、角坐标系中画出已知不等式组所表示的平面区域面区域MPA(如图所示如图所示)，其中直线，其中直线axya0的位置不的位置不确定，但它经过定点确定，但它经过定点A(1,0)，斜率为，斜率为a.2022/12/15又由于又由于x2y2()2，且，且x2y2的最大值等于的最大值等于34，所以平面区域所以平面区域MPA中的点到原点的最大距离等于中的点到原点的最大距离等于 ，又又M(，3)，OM ，所以点所以点P(1,3)到原点的距离最大，到原点的距离最大，故有故有(1)2934，解得，解得a .答案：答案：B2022/12/15解析：解析：由两点式得直线由两点式得直线AB、BC、CA的方程并化简为：的方

28、程并化简为：直线直线AB：x2y20，直线，直线BC：xy40，直线直线CA：5x2y20.原点原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组左端，结合式子的符号可得不等式组为为4.如图，如图，ABC中，中，A(0,1)，B(2,2)，C(2,6)，则，则 ABC区域所表示的二元区域所表示的二元 一次不等式组为一次不等式组为.2022/12/15答案：答案：A 12/15/2022解析：解析：作出可行域为如图作出可行域为如图所示的三角形由所示的三角形由t2yx知知过过A(1,1)时时t取得最大值为取得最大值为1.答

29、案：答案：B12/15/20224写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是_12/15/2022解析：解析：点点(x，y)在如图所示的阴影三角在如图所示的阴影三角形中，将形中，将z视为直线视为直线z5xy在在y轴上的轴上的截距，显然直线截距，显然直线z5xy过点过点A(1,0)时，时，z最大，最大，zmax5105.答案：答案：512/15/2022答案答案B自主解答自主解答画出可行域如图阴影部分表示画出可行域如图阴影部分表示直线直线2xy100过过(5,0)点，故只有点，故只有1个公共点个公共点(5,0)12/15/2022答案：答案：D解析：解析

30、：如图，作出不等式组表示的可如图，作出不等式组表示的可行域，显然当直线行域，显然当直线z12x3y经过点经过点C(1,2)时取得最大值，最大值为时取得最大值，最大值为a21328，当直线，当直线z23x2y经过点经过点B(0,1)时取得最时取得最小值，最小值为小值，最小值为b0212，故，故ab826.12/15/2022例例3(2011四川高考四川高考)某运输公司有某运输公司有12名驾驶员和名驾驶员和19名工名工人，有人，有8辆载重量为辆载重量为10吨的甲型卡车和吨的甲型卡车和7辆载重量为辆载重量为6吨的吨的乙型卡车某天需送往乙型卡车某天需送往A地至少地至少72吨的货物，派用的每辆吨的货物，

31、派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工名工人，运送一次可得利润人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润名工人，运送一次可得利润350元该公司合理计划当天元该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ()A4 650元元 B4 700元元C4 900元元 D5 000元元12/15/202212/15/2022答案答案C12/15/202212/15/202212/15/202212/15/2022解：作出可行域如右图中的

32、阴影部分ABC，图中各点的坐标分别为A(4,0)，B(3,4)，C(0,3)，D(1,1)由图可知x2y2的最小值是原点到直线AC：3x4y120的距离的平方，最大值是线段OB的长度的平方；12/15/202212/15/2022利用利用线线性性规规划解决划解决实际问题实际问题【例3】某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元甲、乙产品需要在A、B两种设备上加工，在每台设备A、B上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A、B两种设备每月有效使用时数分别为400和500，如何安排生产可使收入最大？12/15/202212/15/202212/15/2022讲授新课讲授新课解题的一般步骤：解题的一般步骤：1.设立所求的未知数；设立所求的未知数；2.列出约束条件；列出约束条件；3.建立目标函数；建立目标函数；4.作出可行域；作出可行域；5.运用图解法，求出最优解运用图解法，求出最优解;6.实际问题需要整数解时，适当实际问题需要整数解时，适当调整，确定最优解调整，确定最优解.12/15/2022