高等数学-导数与微分课件.ppt

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1、2023/1/121第二章第二章 导数与微分导数与微分一、导数的概念一、导数的概念二、导数的运算二、导数的运算三、函数的微分三、函数的微分四、导数的应用四、导数的应用2023/1/122第一节第一节 导数的概念导数的概念(Derivative)一、引例一、引例五、小结与思考判断题五、小结与思考判断题二、导数的定义二、导数的定义三、导数的意义三、导数的意义四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系一、引例一、引例(Introduction)2023/1/1231.直线运动的速度问题直线运动的速度问题如图如图:取极限得取极限得瞬时速度瞬时速度2023/1/1242.细胞的增殖速度细胞的增殖速度 设增

2、殖细胞在某一时刻设增殖细胞在某一时刻 的总数为的总数为 ,显然显然 是时间是时间 的函数的函数求细胞在时刻求细胞在时刻 的瞬时增长率的瞬时增长率.从从 变化到变化到 这段时间内这段时间内,细胞的平均增长率为细胞的平均增长率为取极限得取极限得瞬时增长率瞬时增长率=二、导数的定义二、导数的定义2023/1/125Def.2023/1/126导数定义其它常见形式：导数定义其它常见形式：即即:2023/1/127右导数右导数:注注:单侧导数单侧导数(One-Sided Derivative)左导数左导数:函数在某一点可导的充分必要条件：函数在某一点可导的充分必要条件：2023/1/128例例1 1解解

3、2023/1/1291）区间内导数的定义区间内导数的定义.)(),(,dxxdfdxdyxfy或或记作记作.)(.)(,xfxfIx的的导函数导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一 2023/1/1210很明显很明显2）注注:三、由定义求导数举例三、由定义求导数举例2023/1/1211步骤步骤:例例2 2解解2023/1/1212例例3 3解解更一般地更一般地例如例如,2023/1/1213例例4 4解：解：2023/1/1214例例5 5解：解：2023/1/1215 例例6 6 据据20052005年人口调查年人

4、口调查,我国有我国有12.1512.15亿人口亿人口,人口平均年增长率为人口平均年增长率为1.4891.489,根据马尔萨斯根据马尔萨斯(Malthus)(Malthus)人口理论人口理论,我国我国人口增长模型为人口增长模型为其中，其中，代表年数代表年数 ,并定义并定义20052005年为这个年为这个模型的起始年模型的起始年 .按照此模型可以预测我国在按照此模型可以预测我国在20102010年人口将有年人口将有13.671013.6710亿亿.求我国人口增长率函数求我国人口增长率函数?怎样怎样控制人口增长速度？控制人口增长速度？英国经济学家英国经济学家（1766-1834）2023/1/121

5、6解解:所以人口增长率函数为所以人口增长率函数为 让人口年增长率让人口年增长率0.01489变小变小,人口的增长速度就人口的增长速度就变小变小,故可控制人口的增长故可控制人口的增长.2023/1/1217当当所以所以四、几何意义四、几何意义2023/1/1218切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为a a几何意义为：几何意义为：2023/1/1219例例7 7解解 根据导数的几何意义根据导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为.,)4,2(2方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点

6、求曲线求曲线xy=五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系2023/1/1220结论：可导的函数一定是连续的。结论：可导的函数一定是连续的。证证2023/1/1221比如比如,解解注意注意:反之不成立反之不成立.即连续不一定可导。即连续不一定可导。六、小结与思考判断题六、小结与思考判断题2023/1/12221.导数的概念与实质导数的概念与实质:增量比的极限增量比的极限;3.导数的几何意义；导数的几何意义；5.函数可导一定连续，但连续不一定可导。函数可导一定连续，但连续不一定可导。4.由定义求导数；由定义求导数；2023/1/1223思考判断题思考判断题课后作业课后作业2023/1/1224习题二（第习题二（第74页）页）4 4、5 5、6 6、7 7END2023/1/1225