人工智能之模糊逻辑系统33700.pptx

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1、 第五章第五章 模糊逻辑与模糊推理模糊逻辑与模糊推理5/11/20231主要内容5.1 概述5.2 模糊集合及其运算5.3 模糊关系5.4 模糊逻辑与近似推理5.5 基于控制规则库的模糊推理5.6 模糊控制的基本原理5/11/202325.1 概述5/11/20233模糊的概念模糊的概念 “fuzzy”不同的类别之间不存在精确的分类标准，从而对一事物是否属于某一类很难做出明确肯定的断言。例：高低、冷热、快慢、年轻人、中年人、老年人5/11/20234精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即非此即彼。把经典的二值逻辑用于处理Fuzzy概念和Fuzzy命题时，将会在理论上导致逻辑悖论。模糊概念是亦此

2、亦彼：从模糊概念是亦此亦彼：从0和和1从从0至至1。公设（1）存在秃头的人和非秃头的人。（2）若有n根头发的人秃，则有n+1根头发的人亦秃。由此会导致：秃头悖论：所有人都秃。人脑具有Fuzzy思维功能。模糊描述是必要、必然的模糊描述是必要、必然的5/11/20235J.A.Goguen 1974 说：“描述不确切性并非坏事，相反倒是一件好事，它能用较少的代价传输足够的信息，并能对复杂事物做出高效率的判断和处理。也就是说，不确定性有助于提高效率。”爱因斯坦：“So far as the laws of mathematics refer to reality,they“So far as the

3、 laws of mathematics refer to reality,they are not certain,And so far as they are ceitain,they do not refer to are not certain,And so far as they are ceitain,they do not refer to reality.”reality.”关于现实的数学定理是不确定的，而确定的数学定理并不能描述现实。不相容原理：(L.A.Zadeh 1975 提出)“当一个系统复杂性增大时，我们使它精确化的能力将减低，在达到一定的阈值时，复杂性和精确性将相互

4、排斥。”5/11/20236模糊性也是一种不确定性，但不同于随机性，模糊理论不同于概率论。模糊性指对概念的定义以及语言意义的理解上的不确定性，主要是人为的主观理解上的不确定性。随机性反映的是客观上的自然的不确定性，或者是事件发生的偶然性。模糊性与随机性模糊性与随机性5/11/20237模糊集合与模糊数学的概念模糊集合与模糊数学的概念模糊集合：一种特别定义的集合，它可用来描述模糊现象模糊数学：有关模糊集合、模糊逻辑等的数学理论5/11/202385.2 模糊集合及其运算5/11/20239表示方法：表示方法：1)定义法定义法：A=x|x为偶数，为偶数，x102)列举法列举法：A=2,4,6,83

5、)特征函数法：特征函数法：一、普通集合论域：讨论的范围，U、V、W集合：U上的一部分叫U上的集合，A、B、C元素：A、B、C中的元x、y、z、u、v、w幂集：U的所有子集构成的集合，P(U)5/11/202310二、模糊集合的定义及表示方法、名词术语定义：设论域为U，称映射确定U的一个模糊集合 。称为 的隶属函数。，表示u隶属于 的程度，简称隶属度。论域U指的是所讨论的事物的全体。模糊幂集：论域U上的全体模糊子集构成的集合，记为F(U)，5/11/202311设U=x1,x2,x3,x4,x5，xi表示同学。对于每个同学的“性格开朗”的程度在0,1中打分，便得到从U到0,1的一个映射 =“性格

6、开朗”(x1)=0.85，(x2)=0.75，(x3)=0.98，(x4)=0.30，(x5)=0.60举例：5/11/2023121、论域U为离散有限集x1,x2,xn(xi)=ai扎德表示法：向量表示法：表示方法：5/11/2023132、论域是离散无限域可数：不可数：扎德表示法：3、论域是连续域当U是一个实数区间时，可以用普通的实函数表示扎德表示法：5/11/202314以年龄为论域，取U=0,200，扎德给出了“年老”与“年轻”两个模糊集的隶属函数为：举例：5/11/202315“核”：Ker =5，6 Ker 称为正则模糊集 Ker 称为非正则模糊集“单点模糊集合”：若台集仅为一个点

7、，且该点隶属度为1“台”：隶属度大于0的元素的全体，支撑集“”截集：Supp =3,4,5,6,7,8 名词术语：5/11/2023161、相等：三、模糊集合的基本运算2、包含：各元素的隶属度分别相等5/11/2023173、并：取大运算 5/11/2023184、交 取小运算5/11/2023195、余5/11/202320和 的直积为定义在积空间UV上的模糊集合两个模糊集合直积的概念可以很容易推广到多个集合6、笛卡尔直积(Cartesian product)5/11/202321交换律结合律分配律吸收律复原律两极律（同一律）对偶律（D摩根律）幂等律5/11/202322五、模糊集合的其它类

8、型运算作为Fuzzy集合基本运算的并、交运算，采用Zadeh算子按点“取大取小”，不仅很好符合人脑通常的Fuzzy思维方式，而且在研究和处理模糊性问题时带来了很多方便，因此在有关Fuzzy集合论与逻辑的文献中，大多采用了Zadeh的取大取小运算进行分析。有些学者认为，只取两个隶属度中的最大或最小值，忽略了另一个隶属度的值，是造成信息失落的根源。因此人们提出了不少与、相对应的算子。改善后的Fuzzy算子尽管在某种意义上更加接近人类思维，然而由于其变化复杂且失去了许多好的运算性质而很少使用。5/11/2023231、代数和2、代数积3、有界和4、有界差5/11/2023245、有界积6、强制和7、

9、强制积5/11/2023255.3 模糊关系与模糊矩阵5/11/202326n元模糊关系R是定义在直积U1U2Un上的模糊集合模糊关系不是“有”“无”关系，而是多少有点关系。模糊关系是模糊集合直积集的一个子集模糊关系是模糊集合直积集的一个子集一、模糊关系的定义及表示5/11/202327求U到V满足 b“大约是”a 的平方关系：举例5/11/202328U=1,5,7,9,20 序偶中前元比后元“小得多”的关系 隶属度运算用公式举例5/11/202329模糊关系也是模糊集合，可用表示模糊集合的方法来表示。模糊矩阵：将ui，vj作为节点，在连线上标上值当论域为有限集合时，用矩阵和图的形式更形象地

10、加以描述模糊图：5/11/202330设U为家庭中的儿子和女儿，V为家庭成员中的父亲和母亲，对于“子女与父母长得相似”的模糊关系R表示为：父母子女0.80.30.30.6举例5/11/202331二、模糊关系的合成定义：RF(UV),SF(VW)(R是U到V的一个模糊关系，S是V到W的一个模糊关系，称U到W的模糊关系T为模糊关系R与模糊关系S的合成。记为T=RS 其中是并的符号，表示对所有v取极大值或上界值，“”是二项积的符号其隶属函数该合成称为最大星合成(max-star composition)其中“”为模糊矩阵的合成运算。5/11/202332二项积算子“”可以定义为以下几种运算：交最大

11、最小合成(max-min composition)最常用代数积有界积强制积5/11/202333当论域U、V、W为有限时，模糊关系的合成可用模糊矩阵的合成表示。5/11/202334已知子女与父母长相相像的关系为：父母与祖父母长相相像的关系：举例5/11/202335 求：子女与祖父母相似关系模糊矩阵按最大最小合成规则：5/11/202336举例用U=x1,x2,x3表示病人集合，V=y1,y2,y3,y4,y5表示症状集合，W=z1,z2,z3表示病名集合。从U到V的模糊关系为：5/11/202337R与S的复合关系为：从V到W的模糊关系为：从症状V到病名集合W的模糊关系S是一个医学诊断知识

12、库，它表明了症状与病名之间的关系程度。5/11/2023385.4 模糊逻辑与近似推理5/11/202339一、模糊命题、语言变量、模糊算子模糊命题：含有模糊谓词的句子例:“今天很冷”“张三年轻”不能简单地用“F”、“T”区别模糊算子：用于加强或减弱语气的词“极”，“非常”，“相当”：集中化算子“比较”，“略”，“稍微”：散漫化算子5/11/202340语言变量：语言变量由一个五元体(x,T(x),U,G,M)来表征，其中：x：语言变量名称，如年龄，速度等U：x的论域T(x)：语言变量值的集合，其中每个语言变量值都是论域U上的模糊集合T(x)=T(速度)=慢，适中，快，很慢，稍快，G：语法规则

13、，用以产生语言变量x的值的名称M：语义规则，用以产生模糊集合的隶属度函数Zadeh于1975年给出了如下的语言变量的定义：5/11/202341二、模糊蕴含关系2、模糊蕴含积运算(Larsen)3、模糊蕴含算术运算(Zadeh)“如果x是A，则y是B”(AB)表示了A与B之间的模糊蕴含关系1、模糊蕴含最小运算(Mamdani)5/11/2023424、模糊蕴含的最大最小运算(Zadeh)5、模糊蕴含的布尔运算6、模糊蕴含的标准运算(1)5/11/2023437、模糊蕴含的标准运算(2)5/11/202344如果论域U和V是离散的，则模糊蕴含关系R可用模糊矩阵来表示。对于离散的模糊集合A和B，可

14、用相应的模糊向量来表示。则模糊蕴含关系矩阵R可以采用如下的方法计算：5/11/202345三、模糊推理简言之,从巳知条件求未知结果的思维过程就是推理。用传统的二值逻辑迸行演绎推理和归纳推理时,只要大前提或推理规则是正确的，小前提是肯定的，那么就一定会得到确定的结论然而,在现实生活中我们获得的信息往往是不精确的、不完全的;或者事实本身就是模糊而不完全确切的,但又必须利用且只能利用这些信息进行判断和决策。此时,传统的形式逻辑和近代的数理逻辑均无法解决这类问题5/11/202346解决模糊性问题就需要用模糊推理。这种结论不是从前提中严格推出来而是近似逻辑地推出结论的方法,通常就称为假言推理或似然推理

15、。模糊推理模糊推理是一种以模糊判断为前提是一种以模糊判断为前提,运用模糊语言规则运用模糊语言规则,推出一推出一个新的近似的模糊判断结论的方法。个新的近似的模糊判断结论的方法。模糊逻辑推理是一种不确定性的推理方法。模糊推理是一种近似推理模糊推理是一种近似推理,提法有两种形式。提法有两种形式。5/11/202347第一种提法第一种提法(广义的肯定式推理方式广义的肯定式推理方式)：给定一个模糊蕴含关系：给定一个模糊蕴含关系：“若若A则则B”,AV,BV”巳知某个巳知某个A，AV，求从蕴含关系能推断出什么样的结论，求从蕴含关系能推断出什么样的结论B?例如例如：已知模糊推理语句：已知模糊推理语句：若若“

16、A大大”,则则“B小小”,利用似然推理进行推理利用似然推理进行推理:如果巳知如果巳知“A偏大偏大”,问问B将如何将如何?模糊取式推理：巳知：模糊蕴含关系AB的关系矩阵R对于给定的A，AU，则可推得结论B，BV，B=AR 其中“”表示合成运算，即模糊关系的sup-*运算。5/11/202348第二种提法第二种提法(广义的否定式推理方式广义的否定式推理方式)：给定一个模糊蕴含关系：给定一个模糊蕴含关系：“若若A则则B”,AV,BV”已知某一个已知某一个BV，求从蕴含关系能推出什么样的结论，求从蕴含关系能推出什么样的结论A?例如例如：已知模糊推理语句：已知模糊推理语句若若“A大大”,则则“B小小”,

17、利用似然推理进行推理利用似然推理进行推理:巳知巳知B不很小不很小问问A又如何又如何?模糊拒式推理：巳知：模糊蕴含关系AB的关系矩阵R对于给定的B，BV，则可推得结论AU A=RB5/11/202349例：已知若 A小则B大,当A=A=较小，问B如何?解：采用(Zadeh)的模糊蕴含关系Rm5/11/2023505/11/2023515/11/202352采用最大最小合成它与大相比,显然是比较大。因此不难发现,由模糊推理所得到的结论是与人们的思想相吻合的。这样的模糊性推理采用传统的形式逻辑推理不可能实现的,而采用建立在模糊集合论基础上的模糊逻辑却能实现上述推理。5/11/202353四、句子连接

18、关系的逻辑运算1、句子连接词“and”或者：模糊蕴含关系记为：规则为：如果x是A and y是B 则z是C前提条件“如果x是A and y是B”可以看成是直积空间XY上的模糊集合，记为AB，其隶属度函数为：其具体运算方法也如前面简单模糊蕴含关系那样有6种，如：5/11/202354如果x是A and y是B 则z是C其中R是模糊蕴含关系，“”为合成运算符。5/11/2023552、句子连接词also多条控制规则，之间无先后次序。连接这些子句的连接词用“also”表示。一般采用求“并”运算。5/11/2023567.5 基于控制规则库的模糊推理一、模糊推理的一、模糊推理的MamdaniMamda

19、ni法法Mamdani推理法是一种在模糊控制中普遍使用的方法,它本质上仍然是一种合成推理方法,只不过对模糊蕴含关系取不同的形式而已。if A then Bif Ai then Biif A then B else CR(u,v)=A(u)B(v)if A and B then C5/11/202357例：已知一个双输入单输出的模糊系统，其输入量为x和y，输出量为z，其输入输出关系可用如下两条模糊规则描述：R1：如果 x 是 A1 and y 是 B1 则 z 是 C1R2：如果 x 是 A2 and y 是 B2 则 z 是 C2现已知输入为 x 是 A and y 是 B，试求输出量 z。这

20、里x，y，z均为模糊语言变量，且已知：5/11/202358解：所有模糊集合的元素均为离散量，所以模糊集合可用模糊向量来描述，模糊关系可用模糊矩阵来描述。为进一步的计算，可将模糊矩阵 表示成如下的向量：1、求每条规则的蕴含关系5/11/2023595/11/2023602、求总的模糊蕴含关系R5/11/2023613、计算4、计算输出量的模糊集合5/11/202362输出量 z 的模糊集合为：5/11/202363二、模糊推理的二、模糊推理的性质性质1、若合成运算“”采用最大最小法或最大积法，连接词“also”采用求并法，则“”和“also”的运算次序可以交换，即：2、若模糊蕴含关系采用Rc和

21、Rp时，则有：5/11/2023643、对于的推理结果可以采用 如下简洁的形式表示：推论：如果输入量的模糊集合和模糊单点，即：则：5/11/202365结合性质1和性质3，可以得到：这里i可以看成是相应于第 i 条规则的加权因子，它也看成是第 i 条规则的适用程度，或者看成是第 i 条规则对模糊控制作用所产生的贡献的大小。5/11/2023667.6 模糊控制的基本原理一、模糊控制器的基本结构和组成模糊化模糊推理清晰化控制对象知识库参考输入输出二、模糊化将输入的精确量转换成模糊化量。5/11/2023671、输入量变换：其中 k 称为比例因子。例：若实际的输入量为x0*，其变化范围为xmin*

22、，xmax*，若要求的论域为xmin，xmax，若采用线性变换，则：尺度变换，将实际的输入量变换到要求的论域范围。变换可以是线性的，也可以是非线性的。如果要求离散的论域，则需要将连续的论域离散化或量化。量化可以是均匀的，也可以是非均匀的。5/11/202368单点模糊集合：如果输入数据x0是准确的，则通常将其模糊化为单点模糊集合。设该模糊集合用A表示，则有：三角形模糊集合：如果输入数据存在随机测量噪声，这时模糊化运算相当于将随机量变换成模糊量。取模糊量的隶属度函数为等腰三角形，或铃形函数，即正态分布函数：x0 xx0-x0+2、将论域范围内的输入量进行模糊处理：用模糊集合表示。5/11/202

23、369三、清晰化其中z0表示清晰值。若输出量的隶属度函数有多个极值，则取这些即值的平均值为清晰值。z0zab1、将模糊的控制量经清晰化变换成论域范围内的清晰量最大隶属度法：若输出量模糊集合C的隶属度函数只有一个峰值，则取隶属度函数的最大值为清晰值，即：中位数法：5/11/202370加权平均法：也称重心法取 的加权平均值为z的清晰值，即：5/11/202371变换的方法可以是线性的，也可以是非线性的。若z的变化范围为zmin，zmax，实际控制量的变化范围为umin，umax，采用线性变换，则：其中 k 称为比例因子。2、将表示在论域范围内的清晰量经尺度变换成实际的控制量5/11/202372

24、四、输入和输出空间的模糊分割模糊分割是要确定对于每个语言变量取值的模糊语言名称的个数，模糊分割的个数决定了模糊控制精细化的程度。也可以为非对称和非均匀分布语言名称通常均具有一定的含义。NB：负大(Negative Big)；NM：负中(Negative Medium)NS：负小(Negative Small)；ZE：零(Zero)PS：正小(Positive Small)；PM：正中(Positive MediumPB：正大(Positive Big)5/11/202373x-101NZPx-101ZE PSPMPBNSNMNB模糊分割的个数也决定了最大可能的模糊规则的个数。5/11/2023

25、74五、模糊集合的隶属度函数1、数值描述法x0是中心值2是方差对于论域为离散，且元素个数为有限时，模糊集合的隶属度函数可以用向量或者表格的形式来表示。2、函数描述法最常见的有铃形函数、三角形函数、梯形函数。5/11/202375六、论域为离散时模糊控制的离线计算当论域为离散时，经过量化后的输入量的个数是有限的，因此可以针对输入情况的不同组合离线计算出相应的控制量，从而组成一张控制表，实际控制时只要直接查这张控制表即可，在线的运算量是很少的。k1k2k3量化量化控制对象控 制表ryex0y0z0u论域为离散时的模糊控制系统结构相当于非线性的PD控制k1，k2，k3：尺度变换的比例因子。5/11/

26、202376设e，和u的变换范围分别为：并设x，y，z的论域分别为：则：设：量化的功能是将比例变换后的连续值经四舍五入变为整数值。5/11/202377语言变量x的隶属度函数-6-5-4-3-2-10123456NB 1.0 0.8 0.7 0.4 0.1NM 0.2 0.7 1.0 0.7 0.3NS0.1 0.3 0.7 1.0 0.7 0.2NZ0.1 0.6 1.0PZ1.0 0.6 0.1PS0.2 0.7 1.0 0.7 0.3 0.1PM0.2 0.7 1.0 0.7 0.3PB0.1 0.4 0.7 0.8 1.05/11/202378语言变量y,z的隶属度函数-6-5-4-3

27、-2-10123456NB 1.0 0.7 0.3NM 0.3 0.7 1.0 0.7 0.3NS0.3 0.7 1.0 0.7 0.3ZE0.3 0.7 1.0 0.7 0.3PS0.3 0.7 1.0 0.3PM0.3 0.7 1.0 0.7 0.3PB0.3 0.7 1.05/11/202379模糊控制规则表x z y NBNMNSZEPSPMPMNBNBNBNBNBNMZEZENMNBNBNBNBNMZEZENSNMNMNMNMZEPSPSNZNMNMNSZEPSPMPMPZNMNMNSZEPSPMPMPSNSNSZEPMPMPMPMPMZEZEPMPBPBPBPBPBZEZEPMPB

28、PBPBPB5/11/202380设已知输入为x0和y0，模糊化运算采用单点模糊集合，则相应的输入量模糊集合A和B分别为：采用MamdaniMamdani法进行推理，法进行推理，则：则：5/11/202381设x0=6，y0=65/11/2023825/11/202383按同样的方法可求出，并最终求得：对所求得的输出量模糊集合进行清晰化计算，采用加权平均法：按同样的步骤，可以计算出当x0，y0为其它组合时的输出量z0。最后可列如下控制表。5/11/202384z0 y0 x065432101234566-5.35054-5.0-0.5932-3.160.1810012-0.183.16340.595.05605.355/11/202385