非线性方程解的稳定性 (2)精选文档.ppt

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1、非线性方程解的稳定性本讲稿第一页，共十七页由非线性方程解的分类可以看出，非线性方程解的形式 或性质与其定态解是否稳定有重要关系。从实际情况可以看出，解特别是定态解的稳定性有着十分重要的意义。线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数，而与 系统的初始条件及外界扰动的大小无关。非线性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。稳定性的意义稳定性的意义本讲稿第二页，共十七页稳定与不稳定稳定与不稳定所谓描述系统运动方程的解是稳定的，是指系统即使是在这些不可避免的扰动下偏离此解所表征的状态，它仍将自动返回此状态，即系统长期稳定的处于此状态，或至少不会偏离此状态太远。稳定渐近稳定本讲稿第三页，共十七页

2、稳定与不稳定稳定与不稳定所说的方程的解是不稳的，是指在不可避免的扰动下系统一旦稍许偏离此状态，它将不能返回此状态，而是更加偏离此状态。这表示系统即使某一时刻处于此状态，它也会自动的偏离此状态而达到其他状态，此状态自然是不稳定的。不稳定本讲稿第四页，共十七页定义定义（1）设t=t0时方程 i，j=1,2,3.n 的解为 （用X代替Xi），另一受扰动偏离它的解为如果对于任意小的0,总有一小数（，t0）0存在，使得必有 t0t0,我们称这样的函数为李雅普诺夫函数。（2）V沿方程 的解x(t)的全导数为本讲稿第八页，共十七页标量函数的符号性质标量函数的符号性质 设V(x)为由n维向量x所定义的标量函数，x，且在x=0处，恒有V(x)=0。对所有在域中的任何非零向量x，如果成立：(1)V(x)0，称V(x)为正定的(2)V(x)0，称V(x)为半正定(或非负定)的(3)V(x)0或V(x)0)负定(0)半负定(0)且不恒为0(对任意非零的初始状态的解)该平衡态渐近稳定正定(0)半负定(0)且恒为0(对某一非零的初始状态的解)该平衡态稳定但非渐近稳定正定(0)正定(0)该平衡态不稳定正定(0)半正定(0)且不恒为0(对任意非零的初始状态的解)该平衡态不稳定本讲稿第十七页，共十七页