九年级数学下册第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第3课时课件华东师大版.ppt

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1、第3课时 1.1.二次函数二次函数y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的图象的图象(1)(1)在同一坐标系中画出函数在同一坐标系中画出函数y=xy=x2 2,y=(x-1),y=(x-1)2 2和和y=(x-1)y=(x-1)2 2+1+1的图象的图象.列表：列表：x x-2-2-1-10 01 12 23 3y=xy=x2 24 4_0 01 1_y=(x-1)y=(x-1)2 24 4_0 0_y=(x-1)y=(x-1)2 2+1+15 5_1 1_1 14 41 11 14 42 22 25 5描点、连线：描点、连线：观察表格和图象：观察表格和图象：通过列表可以看出当自变量通

2、过列表可以看出当自变量x x相等时，函数相等时，函数y=(x-1)y=(x-1)2 2+1+1的函数的函数值值y y的值比的值比y=(x-1)y=(x-1)2 2的函数值的函数值y y的值大的值大_；从图象可以看出函数从图象可以看出函数y=(x-1)y=(x-1)2 2+1+1的图象是一条的图象是一条_，与，与y=xy=x2 2,y=(x-1),y=(x-1)2 2的图象形状的图象形状_、开口方向都是、开口方向都是_，只是它们，只是它们的位置的位置_；函数函数y=(x-1)y=(x-1)2 2+1+1的图象可以看作是的图象可以看作是y=(x-1)y=(x-1)2 2的图象沿直线的图象沿直线x=

3、1x=1向向_平移平移_个单位得到的；个单位得到的；1 1抛物线抛物线相同相同向上向上不同不同上上1 1函数函数y=(x-1)y=(x-1)2 2+1+1的图象也可以看作是函数的图象也可以看作是函数y=xy=x2 2的图象沿的图象沿x x轴向轴向_平移平移_个单位，再沿直线个单位，再沿直线x=1x=1向向_平移平移_个单位得到的；个单位得到的；函数函数y=(x-1)y=(x-1)2 2的对称轴是的对称轴是x=_x=_，y=(x-1)y=(x-1)2 2+1+1的对称轴是的对称轴是x=_x=_；函数函数y=(x-1)y=(x-1)2 2的顶点坐标为的顶点坐标为_，y=(x-1)y=(x-1)2

4、2+1+1的顶点坐标为的顶点坐标为_._.右右1 1上上1 11 11 1(1(1，0)0)(1(1，1)1)(2)(2)二次函数二次函数y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的图象是一条的图象是一条_，它与抛物线，它与抛物线y=axy=ax2 2的形状的形状_，只是位置，只是位置_，对称轴是，对称轴是x=_x=_，顶点坐标为，顶点坐标为_；y=axy=ax2 2 y=a(x-h)y=a(x-h)2 2 y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k抛物线抛物线相同相同不同不同h h(h(h，k)k)2.2.二次函数二次函数y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的性质的性质(1

5、)a0(1)a0：开口方向向：开口方向向_，对称轴是，对称轴是x=_x=_，顶点坐标为，顶点坐标为(_(_，k)k)；当当x_x_时，函数值时，函数值y y随随x x的增大而减小；当的增大而减小；当xhxh时，函数值时，函数值y y随随x x的的增大而增大而_；当；当x=hx=h时，函数有最时，函数有最_值，最小值为值，最小值为y=_.y=_.(2)a0(2)a0：开口方向向下，对称轴是：开口方向向下，对称轴是x=_x=_，顶点坐标为，顶点坐标为(_(_，k)k)；当当x_hx_h时，函数值时，函数值y y随随x x的增大而增大；当的增大而增大；当x_hx_h时，函数值时，函数值y y随随x

6、x的的增大而增大而_；当；当x=hx=h时，函数有最时，函数有最_值，最大值为值，最大值为y=k.y=k.上上h hh hhh增大增大小小k kh hh h 减小减小大大【点拨点拨】二次函数二次函数y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的图象是由的图象是由y=axy=ax2 2的图象向什么方的图象向什么方向平移得到的取决于向平移得到的取决于h h和和k k的符号的符号.【预习思考预习思考】函数函数y=-(x-1)y=-(x-1)2 2+1+1经过怎样的平移可以得到函数经过怎样的平移可以得到函数y=-xy=-x2 2的图象？的图象？提示：提示：函数函数y=-(x-1)y=-(x-1)2

7、2+1+1的图象先沿直线的图象先沿直线x=1x=1向下平移向下平移1 1个单位得个单位得到函数到函数y=-(x-1)y=-(x-1)2 2的图象，再沿的图象，再沿x x轴向左平移轴向左平移1 1个单位得到函数个单位得到函数y=-xy=-x2 2的图象，或先沿的图象，或先沿x x轴向左平移轴向左平移1 1个单位得到函数个单位得到函数y=-xy=-x2 2+1+1的图的图象，再沿直线象，再沿直线x=1x=1向下平移向下平移1 1个单位得到函数个单位得到函数y=-xy=-x2 2的图象的图象.抛物线抛物线y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k与与y=axy=ax2 2的平移的平移【例【例1

8、1】把抛物线把抛物线y=xy=x2 2+bx+c+bx+c向上平移向上平移2 2个单位，再向左平移个单位，再向左平移4 4个个单位，得到抛物线单位，得到抛物线y=xy=x2 2，求，求b,cb,c的值的值.【解题探究解题探究】(1)(1)抛物线抛物线y=xy=x2 2+bx+c+bx+c向上平移向上平移2 2个单位，再向左平个单位，再向左平移移4 4个单位，得到抛物线个单位，得到抛物线y=xy=x2 2，也可以是抛物线，也可以是抛物线y=xy=x2 2先向先向右右平移平移4 4个单位，再向下平移个单位，再向下平移2 2个单位得到抛物线个单位得到抛物线y=xy=x2 2+bx+c.+bx+c.(

9、2)(2)根据抛物线平移规律，抛物线根据抛物线平移规律，抛物线y=xy=x2 2先向先向右右平移平移4 4个单位，再个单位，再向下平移向下平移2 2个单位得到抛物线个单位得到抛物线y=y=(x-4)(x-4)2 2-2-2.(3)(3)根据根据(1)(2)(1)(2)，我们可以得出等式：，我们可以得出等式：x x2 2+bx+c=+bx+c=(x-4)(x-4)2 2-2-2.整理整理得，得，x x2 2+bx+c=+bx+c=x x2 2-8x+14-8x+14，所以可得，所以可得b=b=-8-8，c=c=1414.【规律总结规律总结】函数函数y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k(a0

10、)+k(a0)与与y=axy=ax2 2的图象平移的规律的图象平移的规律可简记为：左加右减，上加下减可简记为：左加右减，上加下减.具体如下表：具体如下表：移动方向移动方向平移前的关系式平移前的关系式平移后的关系式平移后的关系式简记简记向左平移向左平移m(m0)m(m0)个单位个单位y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+ky=a(x-h+m)y=a(x-h+m)2 2+k+k左加左加向右平移向右平移m(m0)m(m0)个单位个单位y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+ky=a(x-h-m)y=a(x-h-m)2 2+k+k右减右减移动方向移动方向平移前的关系式平移前的关系式平移后的关

11、系式平移后的关系式简记简记向上平移向上平移m(m0)m(m0)个单位个单位 y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+m+k+m 上加上加向下平移向下平移m(m0)m(m0)个单位个单位y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k-m+k-m下减下减【跟踪训练跟踪训练】1.(20121.(2012兰州中考兰州中考)抛物线抛物线y y(x(x2)2)2 23 3可以由抛物线可以由抛物线y yx x2 2平平移得到，则下列平移过程正确的是移得到，则下列平移过程正确的是()()(A)(A)先向左平移先向左

12、平移2 2个单位，再向上平移个单位，再向上平移3 3个单位个单位(B)(B)先向左平移先向左平移2 2个单位，再向下平移个单位，再向下平移3 3个单位个单位(C)(C)先向右平移先向右平移2 2个单位，再向下平移个单位，再向下平移3 3个单位个单位 (D)(D)先向右平移先向右平移2 2个单位，再向上平移个单位，再向上平移3 3个单位个单位【解析解析】选选B.yB.y(x(x2)2)2 23 3的顶点为的顶点为(-2(-2，-3)-3)，抛物线，抛物线y yx x2 2的顶点为的顶点为(0(0，0)0)，所以平移的过程是先向左平移，所以平移的过程是先向左平移2 2个单位，再向个单位，再向下平移

13、下平移3 3个单位个单位.2.2.二次函数二次函数y y3(x-3)3(x-3)2 2+2+2的图象向的图象向_平移平移_个单位，再向个单位，再向_平移平移_个单位可以得到个单位可以得到y y3x3x2 2的图象的图象.【解析解析】函数函数y y3(x-3)3(x-3)2 2+2+2的图象先向下平移的图象先向下平移2 2个单位，再向左个单位，再向左平移平移3 3个单位个单位(或先向左平移或先向左平移3 3个单位，再向下平移个单位，再向下平移2 2个单位个单位)可得可得到函数到函数y y3x3x2 2的图象的图象.答案：答案：下下 2 2 左左 3(3(或左或左 3 3 下下 2)2)二次函数二

14、次函数y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的图象与性质的图象与性质【例【例2 2】已知函数已知函数(1)(1)指出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标指出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;(2)(2)画出其图象画出其图象;(3)(3)根据图象说明该函数具有哪些性质根据图象说明该函数具有哪些性质.【解题探究解题探究】(1)(1)抛物线抛物线y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k,+k,当当a0a0时时,开口向开口向上上,当当a0a0,h=-6,k=-8,0,所以开口向所以开口向上上,对称轴为对称轴为x=-6x=-6,顶顶点坐标为点坐标为(-6,-8)(-6,-8).(2)(2)画函

15、数图象的步骤有画函数图象的步骤有:列表、描点、连线列表、描点、连线.列表列表.x x-8-8-7-7-6-6-5-5-4-4y y-6-6-8-8-6-6描点描点.连线连线(如图所示如图所示).).(3)(3)从图象中可以得出函数的增减性是如何变化的从图象中可以得出函数的增减性是如何变化的?答答:当当x-6x-6x-6时，函数值时，函数值y y随随x x的增大而增大的增大而增大.从图象中能看出函数有最值吗？最值是多少？从图象中能看出函数有最值吗？最值是多少？答答:有最小值有最小值.当当x=-6x=-6时时,y,y最小值最小值=-8.=-8.【规律总结规律总结】函数函数y=a(x-h)y=a(x

16、-h)2 2+k+k与与y=axy=ax2 2的性质比较的性质比较函数函数开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标增减性增减性最值最值y=axy=ax2 2当当a0a0时，时，开口向上；开口向上；当当a0a0a0时，在时，在对称轴的左侧，对称轴的左侧，y y随随x x的增大而的增大而减小，在对称减小，在对称轴的右侧，轴的右侧，y y随随x x的增大而的增大而增大；当增大；当a0a0a0，当，当x=0 x=0时，时，y y最小最小=0=0；a0a0a0，当，当x=hx=h时，时，y y最小最小=k=k；a0a0，当当x=hx=h时，时，y y最大最大=k=k【跟踪训练跟踪训练】3.(2011

17、3.(2011永州中考永州中考)由二次函数由二次函数y=2(x-3)y=2(x-3)2 2+1+1，可知，可知()()(A)(A)其图象的开口向下其图象的开口向下(B)(B)其图象的对称轴为直线其图象的对称轴为直线x=-3x=-3(C)(C)其最小值为其最小值为1 1(D)(D)当当x3x3时，时，y y随随x x的增大而增大的增大而增大【解析解析】选选C.C.二次函数二次函数y=2(x-3)y=2(x-3)2 2+1+1中中a=2a=20 0，开口向上，对称，开口向上，对称轴轴x=3x=3，当，当x=3x=3时，函数有最小值为时，函数有最小值为1 1，在对称轴的左边，在对称轴的左边y y随随

18、x x的增的增大而减小，在对称轴的右边大而减小，在对称轴的右边y y随随x x的增大而增大的增大而增大.4.(20114.(2011上海中考上海中考)抛物线抛物线y y(x(x2)2)2 23 3的顶点坐标是的顶点坐标是()()(A)(2,-3)(B)(-2,3)(A)(2,-3)(B)(-2,3)(C)(2,3)(D)(-2,-3)(C)(2,3)(D)(-2,-3)【解析解析】选选D.D.顶点坐标为二次函数的图象与对称轴的交点，所顶点坐标为二次函数的图象与对称轴的交点，所以可以先求出对称轴为直线以可以先求出对称轴为直线x=-2x=-2，当，当x=-2x=-2时时,y=-3,y=-3，所以顶

19、点坐，所以顶点坐标为标为(2 2，3).3).5.5.抛物线抛物线y=-(x-3)y=-(x-3)2 2+8+8的图象与抛物线的图象与抛物线y=(x-3)y=(x-3)2 2-8-8的图象开口方的图象开口方向向_(_(填填“相同相同”或或“不同不同”)，顶点坐标，顶点坐标_(_(填填“相相同同”或或“不同不同”)，对称轴，对称轴_(_(填填“相同相同”或或“不同不同”).).【解析解析】因为抛物线因为抛物线y=-(x-3)y=-(x-3)2 2+8+8的图象的开口方向向下，顶点的图象的开口方向向下，顶点坐标为坐标为(3(3，8)8)，对称轴为直线，对称轴为直线x=3x=3；又因为抛物线；又因为

20、抛物线y=(x-3)y=(x-3)2 2-8-8的的图象的开口方向向上，顶点坐标为图象的开口方向向上，顶点坐标为(3(3，-8)-8)，对称轴为直线，对称轴为直线x=3x=3，所以它们的开口方向不同，顶点坐标不同，对称轴相同，所以它们的开口方向不同，顶点坐标不同，对称轴相同.答案：答案：不同不同 不同不同 相同相同1.(20111.(2011长沙中考长沙中考)如图，关于抛物线如图，关于抛物线y y(x1)(x1)2 222，下列说，下列说法错误的是法错误的是()()(A)(A)顶点坐标是顶点坐标是(1(1，2)2)(B)(B)对称轴是直线对称轴是直线x x1 1(C)(C)开口方向向上开口方向

21、向上(D)(D)当当x x1 1时，时，y y随随x x的增大而减小的增大而减小【解析解析】选选D.D.观察图象可知，抛物线的顶点坐标是观察图象可知，抛物线的顶点坐标是(1(1，2)2)，应排除应排除A A；对称轴是直线；对称轴是直线x x1 1，应排除，应排除B B；抛物线开口方向向上，；抛物线开口方向向上，所以排除所以排除C C；当；当x x1 1时，时，y y随随x x的增大而增大，所以的增大而增大，所以D D选项错误，选项错误，因此选因此选D.D.2.(20122.(2012扬州中考扬州中考)将抛物线将抛物线y=xy=x2 2+1+1先向左平移先向左平移2 2个单位，再向个单位，再向下

22、平移下平移3 3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是个单位，那么所得抛物线的函数关系式是()()(A)y=(x+2)(A)y=(x+2)2 2+2 (B)y=(x+2)+2 (B)y=(x+2)2 2-2-2(C)y=(x-2)(C)y=(x-2)2 2+2 (D)y=(x-2)+2 (D)y=(x-2)2 2-2-2【解析解析】选选B.B.把抛物线把抛物线y=xy=x2 2+1+1向左平移向左平移2 2个单位，得到抛物线的个单位，得到抛物线的函数关系式为函数关系式为y=(x+2)y=(x+2)2 2+1+1，再向下平移，再向下平移3 3个单位，得到抛物线的个单位，得到抛物线的函数关系式为函数

23、关系式为y=(x+2)y=(x+2)2 2+1-3+1-3，即，即y=(x+2)y=(x+2)2 2-2.-2.3.(20113.(2011泉州中考泉州中考)已知函数已知函数y=-3(x-2)y=-3(x-2)2 2+4+4，当，当x=_x=_时，时，函数取最大值为函数取最大值为_._.【解析解析】当一个二次函数化为顶点式后，由内变外不变，可得当一个二次函数化为顶点式后，由内变外不变，可得出函数的最大值出函数的最大值.即当即当x=2x=2时，函数取最大值为时，函数取最大值为y=4.y=4.答案：答案：2 42 44.(20114.(2011昭通中考昭通中考)把抛物线把抛物线y=xy=x2 2+

24、bx+c+bx+c的图象向右平移的图象向右平移3 3个单个单位，再向下平移位，再向下平移2 2个单位，所得图象的关系式为个单位，所得图象的关系式为y=xy=x2 2-2x+3-2x+3，则，则b b的值为的值为_._.【解析解析】y=xy=x2 2-2x+3=(x-1)-2x+3=(x-1)2 2+2,+2,所以抛物线所以抛物线y=xy=x2 2-2x+3-2x+3的顶点坐标的顶点坐标为为(1(1，2)2)，根据平移得出抛物线，根据平移得出抛物线y=xy=x2 2+bx+c+bx+c的顶点坐标是的顶点坐标是(-2(-2，4)4)，所以把，所以把(-2(-2，4)4)代入代入y=xy=x2 2+

25、bx+4+bx+4得得b=4.b=4.答案：答案：4 45.5.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子个花形柱子OAOA，O O恰在水面中心，安置在柱子顶端恰在水面中心，安置在柱子顶端A A处的喷头向处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过在过OAOA的任一平面上，抛物线形状如图的任一平面上，抛物线形状如图(1)(1)所示，建立如图所示，建立如图(2)(2)所示的直角坐标系，水流喷出高度所示的直角坐标系，水流喷出高度y my m与水平距离

26、与水平距离x mx m间的关系间的关系是是y=-xy=-x2 2+2x+.+2x+.(1)(1)柱子柱子OAOA的高度为多少米？的高度为多少米？(2)(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？水流不至于落在池外？【解析解析】(1)(1)与与y y轴交于点轴交于点A AOA=1.25 m.OA=1.25 m.(2)(2)喷出的水流距水平面的最大高度是喷出的水流距水平面的最大高度是2.25 m.2.25 m.(3)(3)在在 中，令中，令y=0,y=0,4x4x2 2-8x-5=0,(2x-5)(2x+1)=0,-8x-5=0,(2x-5)(2x+1)=0,与与x x轴交点为轴交点为 (负值舍去负值舍去)，水水池池半半径径至至少少为为2.5 2.5 m m时时，才才能能使使喷喷出出的的水水流流不不至至于于落落在在水水池池外外.