研究生入学考试数学训练线性代数部分.pptx

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1、会计学1研究生入学考试数学训练线性代数部分研究生入学考试数学训练线性代数部分分分量量全全为为实实数数的的向向量量称称为为实实向向量量分分量量全全为为复复数数的的向向量量称称为为复复向向量量向量的定义向量的定义定定义义第1页/共76页第2页/共76页向向量量的的相相等等零零向向量量分分量量全全为为0 0的的向向量量称称为为零零向向量量负负向向量量第3页/共76页向向量量加加法法向量的线性运算向量的线性运算第4页/共76页数数乘乘向向量量向向量量加加法法和和数数乘乘向向量量运运算算称称为为向向量量的的线线性性运运算算，满满 足足 下下 列列 八八 条条 运运 算算 规规 则则：第5页/共76页第6

2、页/共76页除除了了上上述述八八条条运运算算规规则则，显显然然还还有有以以下下性性质质：第7页/共76页若若干干个个同同维维数数的的列列（行行）向向量量所所组组成成的的集集合合叫叫做做向向量量组组定定义义线性组合线性组合第8页/共76页定定义义线性表示线性表示第9页/共76页定定理理定定义义第10页/共76页定定义义线性相关线性相关定定理理第11页/共76页定定理理第12页/共76页第13页/共76页定定义义向量组的秩向量组的秩第14页/共76页等等价价的的向向量量组组的的秩秩相相等等定定理理 矩矩阵阵的的秩秩等等于于它它的的列列向向量量组组的的秩秩，也也等等于于它它的的行行向向量量组组的的秩

3、秩定定理理设设向向量量组组B B能能由由向向量量组组A A线线性性表表示示，则则向向量量组组 B B 的的 秩秩 不不 大大 于于 向向 量量 组组A A 的的秩秩推推论论第15页/共76页推推论论推推论论（最最大大无无关关组组的的等等价价定定义义）设设向向量量组组是是向向量量组组的的部部分分组组，若若向向量量组组线线性性无无关关，且且向向量量组组能能由由向向量量组组线线性性表表示示，则则向向量量组组是是向向量量组组的的一一个个最最大大无无关关组组第16页/共76页向量空间向量空间定定义义设设 为为 维维向向量量的的集集合合，如如果果集集合合 非非空空，且且集集合合 对对于于加加法法及及数数乘

4、乘两两种种运运算算封封闭闭，那那么么就就称称集集合合 为为向向量量空空间间第17页/共76页第18页/共76页定定义义子空间子空间第19页/共76页定定义义基与维数基与维数第20页/共76页第21页/共76页定义定义10向量内积的定义及运算规律向量内积的定义及运算规律第22页/共76页第23页/共76页定义定义向量的长度具有下列性质：向量的长度具有下列性质：11向量的长度向量的长度第24页/共76页第25页/共76页定义定义12向量的夹角向量的夹角第26页/共76页所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正向量向量空间的

5、基若是正交向量组，就称为正交基交基定理定理定义定义13正交向量组的性质正交向量组的性质第27页/共76页施密特正交化方法施密特正交化方法第28页/共76页第一步正交化第一步正交化第29页/共76页第二步单位化第二步单位化第30页/共76页定义定义14正交矩阵与正交变换正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量都是单位向量，且两两正交（列）向量都是单位向量，且两两正交第31页/共76页定义定义若为正交矩阵，则线性变换称为若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换正交变换正交变换的特性在于保持线段的长度不变正交变换的特性在于保持线段的长度不变第32页

6、/共76页线性方程组线性方程组第33页/共76页向向量量方方程程齐次线性方程组齐次线性方程组第34页/共76页第35页/共76页解解向向量量第36页/共76页解解向向量量的的性性质质性性质质性性质质定定义义第37页/共76页定定理理定定义义第38页/共76页向向量量方方程程2非齐次线性方程组非齐次线性方程组第39页/共76页解解向向量量的的性性质质性性质质性性质质解解向向量量向向量量方方程程 的的解解就就是是方方程程组组 的的解解向向量量第40页/共76页（）求求齐齐次次线线性性方方程程组组的的基基础础解解系系3线性方程组的解法线性方程组的解法第41页/共76页第第一一步步：对对系系数数矩矩阵

7、阵进进行行初初等等行行变变换换，使使其其变变成成行行最最简简形形矩矩阵阵第42页/共76页第43页/共76页第第三三步步：将将其其余余 个个分分量量依依次次组组成成 阶阶单单位位矩矩阵阵，于于是是得得齐齐次次线线性性方方程程组组的的一一个个基基础础解解系系第44页/共76页（）求求非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的特特解解第45页/共76页将将上上述述矩矩阵阵中中最最后后一一列列的的前前 个个分分量量依依次次作作为为特特解解的的第第 个个分分量量，其其余余 个个分分量量全全部部取取零零，于于是是得得第46页/共76页即即为为所所求求非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的一一个个特特解解第47页

8、/共76页定理定理定理定理4线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理第48页/共76页齐次线性方程组齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解矩阵，写出通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解通解5线性方程组的解法线性方程组的解法第49页/共76页方阵的特征值和特征向方阵的特征值和特征向量量第50页/共76页定义定义1方阵的特征值和特征向量方阵的特

9、征值和特征向量第51页/共76页第52页/共76页2有关特征值的一些结论有关特征值的一些结论第53页/共76页定理定理定理定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量3有关特征向量的一些结论有关特征向量的一些结论第54页/共76页定义定义矩阵之间的相似具有矩阵之间的相似具有(1)(1)自反性；自反性；(2)(2)对称性；对称性；(3)(3)传递性传递性4相似矩阵相似矩阵第55页/共76页5有关相似矩阵的性质有关相似矩阵的性质若与相似，则与的特征多项式若与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦

10、相同相同，从而与的特征值亦相同第56页/共76页(4)(4)能对角化的充分必要条件是有个线能对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量性无关的特征向量(5)(5)有有 个互异的特征值，则个互异的特征值，则 与对角阵相似与对角阵相似第57页/共76页6实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相似矩阵第58页/共76页定义定义第六章二次型第六章二次型第59页/共76页二次型与它的矩阵是一一对应的二次型与它的矩阵是一一对应的第60页/共76页定义定义1二次型的标准形二次型的标准形第61页/共76页2化二次型为标准形化二次型为标准形第62页/共76页第63页/共76页定义定义3正定二次型正定二次型第64页/共76页4惯性定理惯性定理第65页/共76页注意注意第66页/共76页5正定二次型的判定正定二次型的判定第67页/共76页第68页/共76页例题：化二次型为标准形例题：化二次型为标准形解解第一步将表成矩阵形式第一步将表成矩阵形式第69页/共76页第70页/共76页第71页/共76页第72页/共76页解解第73页/共76页第74页/共76页第75页/共76页