线性代数讲义.pptx

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1、会计学1线性代数讲义线性代数讲义用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组1、二阶行列式、二阶行列式1.二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式第1页/共47页方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.第2页/共47页为便于记忆，引入为便于记忆，引入记号记号 其中，数其中，数称为行列式的元素。称为行列式的元素。该记号为一个数表，横排称为行，竖排称为列，共有两行该记号为一个数表，横排称为行，竖排称为列，共有两行两列，故称之为两列，故称之为二阶行列式二阶行列式。每一元素有两个下标，第一个下标每一元素有两个下标，第一个下标 i 称为称为 行标，表明行标，表明该元素位于行列式

2、的第该元素位于行列式的第 i 行；第二个下标行；第二个下标 j 称为列标，称为列标，表明该元素位于行列式的第表明该元素位于行列式的第 j 列；列；第3页/共47页主对角线主对角线辅对角线辅对角线若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组第4页/共47页则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为第5页/共47页三阶行列式的计算三阶行列式的计算:对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则第6页/共47页2 n阶行列式的定义阶行列式的定义1.全排列与逆序数全排列与逆序数定义定义1 如，1234 和4312 都是4阶排列，而53142 为一个5阶排列。显然，n阶全排列的个数为n！个。定义定义2 第7

3、页/共47页例例1 求下列排列的逆序数 逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.2.n阶行列式的定义阶行列式的定义考察三阶行列式的定义第8页/共47页（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积，其中，行标均按自然顺序排列，列标为3阶排列，当列标取遍所有的3阶排列后，就得到三阶行列 式代数和中的所有项；（3）每项的正负号都取决于三个元素的列标排列的 奇偶性（1）三阶行列式共有6项，即3阶排列的个数；故第9页/共47页定义定义3第10页/共47页例例2 2 计算计算下三角形行列式下三角形行列式解解展开式的一般项为展开式的一般项为不为零的项只有不为零的项只有 第11页/共47

4、页定义定义4 将一个排列中的两个数位置对调称为对换，将一个排列中的两个数位置对调称为对换，将相邻两个数位置对调称为相邻对换。将相邻两个数位置对调称为相邻对换。定理定理1 一次对换改变排列的奇偶性。一次对换改变排列的奇偶性。定理定理2 定理定理3第12页/共47页3 3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质称之为称之为 D 的转置行列式。的转置行列式。记记性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.第13页/共47页性质性质2 2 交换行列式的两行（列）交换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式

5、中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.例如例如推论推论1 1 如果行列式有两行（列）完全相同，如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零则此行列式为零.证明证明第14页/共47页性质性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数k，等于用数等于用数k乘此行列式乘此行列式.推论推论2 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面第15页/共47页推论推论3 行列式中如果有两行（列）元素成比

6、例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零证明证明第16页/共47页性质性质4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如第17页/共47页例例3 第18页/共47页解解第19页/共47页第20页/共47页性质性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变例如例如第21页/共47页1、行列式与其转置行列式的值相等、行列式与其转置行列式的值相

7、等;2、交换行列式的两行或两列、交换行列式的两行或两列,行列式的值变号行列式的值变号;3、用数、用数k乘行列式的某一行乘行列式的某一行(列列),等于以数等于以数k乘此乘此 行列式行列式;5、将行列式某一行（列）的所有元素同乘以、将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数数k后加到另一行的对应元素上，行列式的值后加到另一行的对应元素上，行列式的值不变不变.行列式的性质行列式的性质4、如果行列式的某一列、如果行列式的某一列(行行)的每一个元素都可的每一个元素都可写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和列式的和;第22页/共47页计算行列式常用方法：利用运

8、算把行列计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值例例4 第23页/共47页解解将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得例例5 计算计算n阶行列式阶行列式 第24页/共47页第25页/共47页4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开 余子式与代数余子式行列式按行（列）展开法则第26页/共47页在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，余下来的列划去后，余下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式 例如例如1、

9、余子式与代数余子式余子式与代数余子式 第27页/共47页第28页/共47页2 2、行列式按行（列）展开法则、行列式按行（列）展开法则、行列式按行（列）展开法则、行列式按行（列）展开法则 第29页/共47页例例6定理定理4 4 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即第30页/共47页第31页/共47页推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证相同相同 考察下述行列式考察下述行列

10、式 第32页/共47页同理同理 第33页/共47页关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 第34页/共47页 证证用数学归纳法用数学归纳法例例7证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式第35页/共47页第36页/共47页 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式第37页/共47页例例8 计算计算n+1阶行列式阶行列式第38页/共47页练习：练习：计算计算n阶行列式阶行列式第39页/共47页55 CramerCramer法则法则法则法则 n n非齐次与齐次线性方程组的概念n nCramer法则n n齐次线性方程组的相关定理第40页/共47页设线性方程组设线性方程组则

11、称此方程组为则称此方程组为n元元非非 齐次线性方程组齐次线性方程组;则称方程组为则称方程组为n元元齐次线性方程组齐次线性方程组.1 1、非齐次与齐次线性方程组的概念、非齐次与齐次线性方程组的概念、非齐次与齐次线性方程组的概念、非齐次与齐次线性方程组的概念第41页/共47页2 2、CramerCramer法则法则法则法则定理定理5 如果如果n元线性方程组元线性方程组的系数行列式的系数行列式 第42页/共47页其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为第43页/共47页例例 9 解线性方程组解线性方程组解解第44页/共47页第45页/共47页第46页/共47页