曲线积分与曲面积分例题.pptx

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1、会计学 1曲线积分与曲面积分例题作乘积 并作和 如果当各小弧段的长度的最大值 时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 在曲线弧上 L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，其中 叫做被积函数，L 叫做积分弧段。第1 页/共68 页例1 计算，其中L 为圆周，直线 及轴在第二象限内所围成的扇形整个边界。第2 页/共68 页例2 计算，其中 为折线，这里依次为点第3 页/共68 页例计算，其中L 为曲线。第4 页/共68 页例4 计算，其中L 为折线 所围成的区域的整个边界 第5 页/共68 页例5 计算半径为R，中心角为 的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量（设线密度）。第6 页/共68 页11-

2、2 对坐标的曲线积分定义：设 L 为 面内从点 A 到点 B的一条有向光滑曲线弧，函数 上有界，在 L 上沿 L的方向任意插入一点列把 L 分成 n 个有向小弧线段第7 页/共68 页设 为 上任意取定点，如果当各小弧段长度的最大值 时，的极限总存在，则称此极限为函数 在有向曲线弧 L 上对坐标 的曲线积分，记作，类似地，如果 总存在，则称此极限为函数 在有向曲线弧L 上对坐标 的曲线积分，第8 页/共68 页记作其中 叫做被积函数，L 叫做积分弧段。以上两个积分也称为第二类曲线积分。第9 页/共68 页(一)定理：设 在有向曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为，当参数 单调地由变到

3、时，点 从 L 的起点 A沿L 运动到终点 B，第10 页/共68 页 在以 为端点的闭区间上具有一阶连续导数且 则曲线积分 存在，且 第1 1 页/共68 页例1 计算，其中 L 为抛物线 上从点 到点 的一段弧。第12 页/共68 页例2 计算，其中L 为（1）半径为，圆心为原点，按逆时针方向绕行的上半圆周。（2）从点 沿 轴到点 的直线段。第13 页/共68 页例3 计算，其中 L 为（1）抛物线 上从 的一段弧。（2）抛物线 上从 的一段弧。（3）有向折线,这里O,A,B 依次是 点（0，0），（1，0），（1，1）.第14 页/共68 页例4 计算 其中 为椭圆若从 轴正向看去，的方

4、向是顺时针的。第15 页/共68 页例5 设一个质点在 处受到力F 的作用，F 的大小与M 到原点O的距离成正比，F 的方向恒指向原点，此质点由点 沿椭圆 按逆时针方向移动到点，求力F 所做的功W。第16 页/共68 页例6 将对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中L为沿抛物线 从点 到点。第17 页/共68 页11-3 格林公式及其应用例1 求椭圆所围成图形的面积。第18 页/共68 页例2 设 L 是任意一条分段光滑的闭曲线，证明：第19 页/共68 页例3 计算，其中D 是为顶点三角形闭区域。第20 页/共68 页例4 计算，其中 L为一条无重点分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L

5、的方向为逆时针方向。第21 页/共68 页例5 计算其中 L 是曲线及 所围成的区域的边界，按逆时针方向。第22 页/共68 页例6 计算，其中L 是以为顶点的三角形正向边界曲线。第23 页/共68 页例7 计算，其中 L 为（1）圆周 的正向。（2）正方形边界 的正向。第24 页/共68 页例8 计算其中L 为曲线 按 增大的方向。第25 页/共68 页定理2 设区域G 是一个单连通域，函数 在G 内具有一阶连续偏导数，则曲线积分在G 内与路径无关（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是 在G 内恒成立。第26 页/共68 页例9 计算曲线积分 其中L 是以点 为中心，R为半径

6、的圆周 取逆时针方向。第27 页/共68 页定理3 设区域G 是一个单连通域，函数 在G 内具有一阶连续偏导数，则在G 内为某一函数 的全微分的充分必要条件是 在G 内恒成立。第28 页/共68 页推论 设区域G 是一个单连通域，函数 在G 内具有一阶连续偏导数，则曲线积分在G 内与路径无关的充分必要条件是：在G 内存在函数，使第29 页/共68 页例10 验证 在右半平面 内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。第30 页/共68 页例11 验证：在整个 面内，是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。第31 页/共68 页例12 验证：在整个 面内，是某个函数的全微分，并求出一个这样的

7、函数。第32 页/共68 页例13 求解方程第33 页/共68 页11-4 对面积的曲面积分定义 设曲面 是光滑的，函数 在 上有界，把 任意分成 小块（同时也代表第 小块曲面的面积），设 是 上任意取定的一点，作乘积 第34 页/共68 页并作和，如果当各小块曲面的直径的最大值 时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作 即其中 叫做被积函数，叫做积分曲面。第35 页/共68 页例1 计算曲面积分，其中 是球面 被平面 截出的顶部。第36 页/共68 页例2 计算曲面积分 其中 是介于之间的圆柱面。第37 页/共68 页例3 计算，其中 是由平面

8、 及 所围成的四面体的整个边界曲面。第38 页/共68 页例4 计算，其中 是圆锥面 被柱面 所截的部分。第39 页/共68 页例5 设 为椭球面 的上半部分,点（为 在点P 处的切平面）为点 到平面的距离，求第40 页/共68 页11-5 对坐标的曲面积分定义 设 为光滑的有向曲面，函数 在 上有界，把 任意分成 块小曲面（同时又表示第 块小曲面的面积），在 面上的投影为 上任意取定的一点，如果当个小块曲面的直径的最大值 时，第41 页/共68 页总存在，则称此极限为函数 在有向曲面 上对坐标 的曲面积分，记作 即其中 叫做被积函数，叫做积分曲面。第42 页/共68 页 类似地可以定义函数

9、在有向曲面 上对坐标 的曲面积分 及函数 在有向曲面 上对坐标 的曲面积分 分别为第43 页/共68 页以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分。第44 页/共68 页例1 计算曲面积分 其中 是长方体 的整个表面的外侧，第45 页/共68 页例2 计算曲面积分其中 是球面 外侧在 的部分。第46 页/共68 页例3 计算，其中 为锥面 及平面 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。第47 页/共68 页例4 计算曲面积分其中 是旋转抛物面介于平面 之间的部分的下侧。第48 页/共68 页例5 计算其中 是平面在第一卦限部分的上侧。第49 页/共68 页11-6 高斯公式 通量与散度一、高斯公式（

10、一）定理1 设空间闭区域 是由分布光滑的闭曲面 所围成，函数 在 上具有一阶连续偏导数，则有第50 页/共68 页 这里 的整个边界曲面的外侧，处的法向量的方向余弦，上面公式叫做高斯公式。第51 页/共68 页例1 利用高斯公式计算曲面积分其中 为柱面 及平面 所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。第52 页/共68 页例例22利用高斯公式计算曲面积分利用高斯公式计算曲面积分 其中其中 为锥面为锥面 介于平面介于平面 之间的部分的下侧，之间的部分的下侧，在点在点 处处的法向量的方向余弦的法向量的方向余弦。第53 页/共68 页例3 计算曲面积分其中 为上半球面的上侧。第54 页/共68 页例

11、4 设函数 在闭区域 上具有一阶及二阶连续偏导数，证明：其中 是闭区域 的整个边界曲面 为函数 沿 的外法线方向的方向导数，符号 称为拉普拉斯算子，这个公式叫做格林第一公式。第55 页/共68 页二、通量与散度（一）通量定义 设某向量场由给出，其中 具有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，处的单位法向量，则第56 页/共68 页叫做向量场 A 通过曲面 向着指定侧的通量（或流量）第57 页/共68 页例5 求向量场 穿过曲面 流向上侧的通量，其中 为柱面，被平面 截下的有限部分。第58 页/共68 页11-7 斯托克斯公式 环流量与旋度一、斯托克斯公式（一）定理：设 为分段光滑的空间有向闭曲

12、线，是以 为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与 的侧符合右手规则，函数 在曲面（连同边界）上具有一阶连续偏导数，则有第59 页/共68 页上面公式叫做斯托克斯公式。第60 页/共68 页例1 利用斯托克斯公式计算曲线积分 其中 为平面 被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则。第61 页/共68 页例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分其中 是用平面 截立方体 的表面所得的截痕，若从 轴的正向看去取逆时针方向。第62 页/共68 页二、环流量与旋度（一）环流量设有向量场 其中函数 均连续，的定义域内的一条分段光滑的有向闭曲线,处的单位切向量，第63 页/共68 页则积分称为向量场 A 沿有向闭曲线 的环流量，其中 是有向曲线 处的切向量的方向余弦。第64 页/共68 页例3 求向量场沿闭曲线 的环流量，其中 为锥面 和平面 的交线，从 轴正向看 为逆时针方向。第65 页/共68 页例4 计算曲面积分其中 是锥面 在 面上方的部分，单位法向量 指向锥外。第66 页/共68 页例5 设函数（1）求梯度。（2）求向量场 的散度（3）计算向量场 穿过曲面 流向外侧的通量，其中 是由曲 面 所围立体 的表面。第67 页/共68 页