数理方程.精品文稿.ppt

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1、数理方程课件.第1 页，本讲稿共24 页1 求解矩形域的拉普拉斯方程使其满足边界条件解：令代入式(2.2.1)，得(2.2.1)(2.2.2)(2.2.3)(2.2.4)(2.2.5)令可得：第2 页，本讲稿共24 页由边界条件(2.2.3)得：(2.2.6)本征值问题：(2.2.5)(2.2.6)（1）当 时，式(2.2.5)的通解为：由式(2.2.6)有：由此得：即式(2.2.5)、(2.2.6)无非零解。所以第3 页，本讲稿共24 页(2.2.5)(2.2.6)（2）当 时，式(2.2.5)的通解为：从而由 可得：故得（常数）（3）当 时，式(2.2.5)的通解为：从而由 得：由 得：第

2、4 页，本讲稿共24 页故有即综合 和 两种情况，可知：本征值为：本征函数为：将 的值代入式(2.2.4)：解得第5 页，本讲稿共24 页故问题的一般解为：由边界条件 得：第6 页，本讲稿共24 页一个无穷级数等于零，说明各项系数均为零。因此：又由 得：将 展开成Fourier 余弦级数，并比较系数有：由此得：第7 页，本讲稿共24 页解得：代入式(2.2.7)得问题的解为：注意：采用分离变量法求解时，用齐次边界条件构成本征值问题，用非齐次边界条件定叠加系数。第8 页，本讲稿共24 页2 求解圆形域的拉普拉斯方程例：带电云与大地之间的静电场近似匀强静电场，其电场强度 是铅垂的水平架设的输电线处

3、在这个静电场中输电线是导体圆柱柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱附近的静电场也就不再是匀强的了不过，离圆柱“无限远”处的静电场仍保持匀强，现研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场（即讨论导线附近的电场分布）解：导线第9 页，本讲稿共24 页建立如图所示坐标系，Z-轴沿导线。X 轴平行由于导线无限长，可将电场看作沿z 方向不变。只需要研究 x-y 平面的状态，平面问题。真空静电势满足拉普拉斯方程：边界条件从云、地、导线三方面考虑。导线的表面是等势面，取其为电势零点a 为导线半径云、地在无穷远处，静电场仍为，由 有由于X 轴平行，有 所以第10 页，本讲稿共24 页根据导线边界条件，本题应取平面极坐标，

4、坐标原点在导线中心。定解问题：方程定解条件用分离变量法求解。令代入方程，得第1 1 页，本讲稿共24 页两边除以u，乘以 得：令：得到：自然周期边界条件：得：第12 页，本讲稿共24 页本征值问题：微分方程的通解是:不具周期性，所以舍去。1）2）微分方程的通解是:B=0 时具周期性。微分方程的通解是:3）以 为周期，所以取第13 页，本讲稿共24 页本征函数为：本征值为：将这个结果代入到关于R 的方程：Euler 方程本征值问题：得：Euler 方程的一般形式：变系数的线性微分方程，导数的阶数与系数的幂数相同。第14 页，本讲稿共24 页通解为：有：Euler 方程可化为：变回原来的变量，可得

5、：对Euler 方程做变量变换：解法：通过变换化为常系数线性微分方程二阶常系数线性齐次第15 页，本讲稿共24 页所以叠加得到一般解：由边界条件定常数。当 时，有第16 页，本讲稿共24 页由此得：即：以及：即：代入一般解：得：令，略去 和 项后，得：再由边界条件第17 页，本讲稿共24 页比较等式两边的系数，有：于是得到导体周围的电势分布代入上式中间项为原来静电场的电势分布，前面的一项与导体原来的带电量有关，如果导体不带电，则，这时圆柱周围的电势是最后一项当 时可以忽略，它代表在导体附近对匀强电场的修正，是柱面感应电荷的影响。第18 页，本讲稿共24 页注：1.边界条件决定坐标系 2.自然边

6、界条件 3.欧拉方程求解 4.模型应用A、B 两点场强：易击穿！场强大小与半径无关。y 轴上场强：高压电容器极板必须刨得十分光滑！第19 页，本讲稿共24 页n 无初始条件的例子：长为l 的理想传输线，一端接于电动势为 的交流电源，另一端短路，求解线上的稳恒电振荡。解：经历交流电的许多周期后,初始条件所引起的自由振荡衰减到可以认为已经消失，这时的电振荡完全是由交流电源引起的，因此是没有初始条件的问题：为了计算方便，将电动势 写成 最后将得到的解取虚部。第20 页，本讲稿共24 页由于振荡完全由交流电源引起，可以认为振荡的周期与交流电源相同，即令：代入方程得：即：其通解为：因此，方程的一般解为：第21 页，本讲稿共24 页下面由边界条件定常数。由，得：再由，得：解出A 和B，有：第22 页，本讲稿共24 页代入到解的表达式，得：取虚部，并以 代入，得传输线内稳恒的电振荡：第23 页，本讲稿共24 页总结n 边界形状确定坐标系的选取n 矩形域：q 齐次边界条件+非齐次边界条件q 齐次边界条件用来解本征值，非齐次边界条件用来确定一般解的系数n 圆形域：q 采用极坐标系q 自然边界条件用来解本征值问题q 欧拉方程第24 页，本讲稿共24 页