数学方法论ch1绪论ppt课件.ppt

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1、病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第一章 绪论方法论部分l 1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 l 问题是数学的心脏；问题解决是数学教育的核心。作为数学教育工作者，如何把握解决数学问题的钥匙，这是他必须关心的重要问题。我国古代的思想家孔子就有“工欲善其事，必先利其器”的说法。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 l 当代最著名的数学教育家波利亚（G.Polya）强调指出：“中学教学的首要任务就是加强

2、解题训练。”他还说过：“掌握数学意味着什么呢？这就是说善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题。”病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 l 解题毕竟是一种复杂的智力劳动，但它是具有创造性特征的。对于解决数学问题，特别是解决中学数学问题来说，依靠经验性的知识积累的状况是难以令人满意的，我们认为重要的是掌握数学思想方法。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程

3、 1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 1、什么是数学方法 l 实际上不同的人们对它有不同的理解。l 在不同的场合中，人们是从两种既有区别又有密切联系的涵义来运用“数学方法”这个词。l 一是徐利治教授 在数学方法论选讲中认为数学方法具有“主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则”的表征。l 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 l 二是年出版的中国大百科全书中对数学方法给出了如下定义“用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演

4、算和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法。”l 对数学方法的不同理解反映了数学这一科学门类应用广泛的特征。数学方法体系同数学科学本身一样是极为多样的，与此相应的是大量不同的关于的分类。l 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 l 在人们的实际活动的各个层次上都需要用到数学方法，和这种层次相对应，数学方法也可以分为四个层次：（）数学发展和创新的方法；（）运用数学理论研究和表述事物的内在联系和运动规律的方法；（）具有一般意义的数学解题的方法；（）特殊的数学解题方法。病原体侵入机

5、体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 l 徐利治教授在数学方法论选讲中提出了关于“宏观的数学方法论”与“微观的数学方法论”的区别：关于数学发展规律的研究（如果撇开数学内在因素不提）属于宏观的数学方法论，关于数学思想方法以及对数学中的发现、发明与创新等法则的研究则属于微观的数学方法论。l 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 2、什么是数学问题 l 数学是研究客观世界和空间形式的

6、科学。当人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时，就形成了数学问题。l 以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题。l 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 l 数学发展史就是一部数学问题解决的历史，而数学方法的产生和发展也是和数学问题的解决紧紧相伴的。l 伟大的数学家希尔伯特说过：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止。正如人类的每项事业

7、都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。”病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 l 数学问题一般具有几个特性：（1）它 包 含 着 有 关 数 学 的 疑 问 因 素 和 未 知 方面；（2）问 题 的 出 现 表 明 主 体 的 思 维 水 平 和 当 时的 状 况 之 间 失 去 了 平 衡 和 协 调，主 体 的 数 学 思 维产生了隙缝和空缺；（3）主 体 为 填 补 一

8、 定 的 数 学 问 题 带 来 的 隙 缝和空缺，就引起紧张，激发思维活动的进行。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 l 在数学教学中，问题解决是一切活动的核心。不同的是，在教学中所要解决的问题并不是那些尚未解决的数学科学问题，而是前人已有的数学知识的再发现。l 在 数 学 教 学 中，只 有 提 出 问 题，让 学 生 明 了产 生 问 题 的 情 景，并 留 给 学 生 必 要 的 时 间，才 能引起学生有目的的思考。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对

9、稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法论 l 在数学教学中，若能使学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使学生的思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击其头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构，最后引起自身行为的改变数学学习。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.2研究数学方法论的意义和目的l 希尔伯特说：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有

10、的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。”通过一些数学史料的学习，使我们明了数学上的发现、发明主要是方法上的创新。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.2研究数学方法论的意义和目的l 有了方法才获得了“钥匙”，数学的发展绝不仅仅是材料，事实，知识的积累和增加，而必须有新的思想方法的参与，才会有创新，才会有发现和发明。因此，从宏观意义上来说，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力，也就是说，对于数学发展规律的研究及明确的认识，显然可以帮助我们去努力创造有利于数学发展的良好环境。l 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏

11、机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.2研究数学方法论的意义和目的l 从 数 学 的 教 学 工 作 而 言，数 学 方 法 论 事 实 上是 对 我 们 的 数 学 教 师 提 出 了 更 高 的 要 求，即 我 们不 仅 应 当 注 意 具 体 的 数 学 知 识 的 传 授，而 且 也 应注意数学方法论方面的训练和培养。l 只 有 注 意 数 学 思 想 方 法 的 分 析，我 们 才 能 把数学课讲活，讲懂，讲深。l 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.2研究数学方法

12、论的意义和目的l 所 谓“讲 活”就 是 让 学 生 看 到 活 生 生 的 数 学 研 究 工 作，而不是死的数学知识。l 所 谓“讲 懂”，就 是 让 学 生 真 正 理 解 有 关 的 数 学 内 容，而不是囫囵吞枣、死记硬背。l 所 谓“讲 深”，则 是 指 使 学 生 不 仅 能 掌 握 具 体 的 数 学 知识，而且也能领会内在的思想方法。l 总 之，学 习 和 研 究 数 学 方 法 论 将 对 提 高 数 学 教 学 质 量、提高教师的数学教学学术水平起到积极的作用。l l 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生

13、理过程 1.2研究数学方法论的意义和目的l 从 更 为 基 本 的 意 义 上 说，数 学 学 习 不 仅 仅 是指 具 体 的 数 学 知 识 的 学 习，而 且 也 是 指 数 学 方 法的 学 习。应 充 分 肯 定 对 数 学 方 法 论 的 研 究 对 数 学学习者的重要意义。l 数 学 的 思 想 方 法 是 处 理 数 学 问 题或实际问题的 指 导 思 想 和 基 本 策 略，是 数 学 的 灵 魂。学习和研究数学方法论，能帮助人们真正认识数学科学的价值。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1.2研究数学

14、方法论的意义和目的 l 数 学 作 为 一 种 科 学 语 言 及 工 具，将 同 语 言、宗教和艺术一样，是人类文化影响全局的部分。l 数 学 在 自 然 科 学、社 会 科 学、行 为 科 学 等 方面 的 广 泛 应 用，使 得 现 代 科 学 的 任 何 部 分 几 乎 都已带上了抹不掉的数学印记。l 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1.2研究数学方法论的意义和目的 l 数学文化作为当代文化的重要组成部分，其思 想 方 法，是 铭 记 在 人 们 头 脑 中 起 永 恒 作 用 的 数学 观 念 和 文 化，

15、数 学 的 精 神 和 态 度，它 使 人 思 维敏 捷、表 达 清 楚、工 作 有 条 理；使 人 善 于 处 世 和做 事，使 人 实 事 求 是，锲 而 不 舍；使 人 得 到 文 化方 面 的 修 养，从 而 更 好 地 理 解、领 略 和 创 造 现 代社 会 的 文 明；数学的思想方法对提高人的整体素质和文化修养有着重要意义。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.2研究数学方法论的意义和目的l 有关数学方法的研究，特别是早期研究中，存在一个明显的特点是，企图找到这样一种“万能的方法”，以便一劳永逸地解决一

16、切数学问题，或者使科学的发明创造可以循规蹈矩地进行。笛卡儿在它未完成的著作思维的法则里，设计了一种能解各种问题的万能方法，即 首先，把任何问题化为数学问题；其次，把任何数学问题化为一个代数问题；第三，把任何代数问题归结到一个解方程问题。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.2研究数学方法论的意义和目的 1922年，希尔伯特也提出了他的证明论（或称元数学），试图找到一种方法绝对的证明数学理论的无矛盾性，这一想法被人们称为希尔伯特规划。这一规划的内容包括：（1）把数学理论公理化，把所得的公理化理论和所用的逻辑彻底地形式化

17、，从而组成形式系统；（2）用有穷方法证明这一系统的无矛盾性。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.2研究数学方法论的意义和目的l 希尔伯特曾经满怀信心地认为：那种用自然语言来表述的具有内容的数学知识在内容上的推理可以为由数学和逻辑的符号所组成的形式系统的规划所代替。历史的发展告诉我们，笛卡儿的万能方法和希尔伯特规划都被证明是行不同的。但它们仍不失为一个伟大的设想，因为不论是笛卡儿的万能方法还是希尔伯特规划，都确实存在深刻的道理。l 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引

18、起不同程度的病理生理过程 1.2研究数学方法论的意义和目的l 人们意识到，研究数学方法的任务，不是去发现那种一劳永逸地解决一切数学问题的万能方法，而是通过活生生的解决数学问题的经验，使人们正确地认识数学，有效地运用数学，并且创造性地发展数学。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.2研究数学方法论的意义和目的l 当人们从发明万能方法的梦幻中醒悟之后，又是怎样对待数学方法的研究呢？郑毓信分析到：“就现代而言，人们在这一方面的研究工作，却又受到逻辑实证主义这一20世纪上半叶在西方学术占据主导地位的哲学思想的极大影响。”“逻

19、辑实证主义者明确地提出了发现与检验（证明）的区分，并认为科学哲学与科学方法论的研究应当局限于检验的范围，而发现问题则完全从属于心理学的研究范围对此不需要，也不可能作出逻辑的分析，从而，也就不存在任何意义的发现方法。”病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.2研究数学方法论的意义和目的l 于是，“人们事实上就从一个极端走向了另一个极端，即由对万能方法的追求而转向对数学方法论的实际否定。”l 20世纪下半叶，在国际上以波利亚的三部名著怎样解题（1944）、数学与猜想（1954）、数学的发现（1961）的出版为契机，一股重视

20、数学方法和数学解题的潮流又悄然兴起。人们以波利亚的以下论述作为指南：“合理的探索法不能以万灵规律为目标，但它可以努力研究在解题中典型有用的做法。这种做法是每一个对他的问题很感兴趣的正常人所经验过的。”l 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.2研究数学方法论的意义和目的l 1980年，美国全国数学教师协会（NCTM）在第四届国际数学教育大会（ICME-4）上提出：“问题解决是80年代学校数学教育的核心。”这一口号提出至今，一直被人们广泛接受，直到现在，“问题解决”依然是数学教育的中心课题，这说明在数学教育中重视数学方

21、法和解题研究乃是符合时代潮流的历史必然。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.2研究数学方法论的意义和目的l“问题解决”是在科学技术迅猛发展、知识量急剧增长的时代，以提高能力为教学的主要目标的背景下提出来的。l 当代学校教育能为学生今后的生活和工作所做的准备主要有两个方面，一是科学知识，一是科学方法，这两者的有机结合便形成能力，与一般知识相比，科学方法具有更广泛的迁移作用，其有效性更长些，因此在当代的学校教育中，科学方法的作用被提到更重要的地位上来。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一

22、定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.2研究数学方法论的意义和目的 对于“问题解决”，各国研究工作的注意点是：（1）给学生提供一种轻松愉快的气氛和生动活泼的环境；（2）寻求好的问题，从学生迫切追求的愿望，将学生置于一种主动参与的地位；（3）大胆鼓励学生运用直觉去寻求解提策略；（4）讨论各种成功的策略，如果可能的话，和以前的问题联系起来，对问题进行推广，概括出一般原理。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.2研究数学方法论的意义和目的l 数学方法和解题研究的现代复兴的又一标志是，20世纪70年代以来，数学建模

23、已成为国际上的热点。近半个世纪以来，计算机科学技术的迅猛发展，在某种意义上说，计算机各种应用的桥梁正是数学建模，这样，数学建模就发展成为一个与多种学科相互作用的新的数学领域。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.2研究数学方法论的意义和目的l 数学建模是实际问题数学化的产物，它是一种解决问题的强有力的数学方法。数学建模的迅速发展使得数学不再被局限于作为一门基础科学的范围之内，在计算机的辅助下，数学已成为解决问题的一种技术。美国爱克逊研究和发展部总裁戴维（E.E.David）曾说过:“很少有人认识到被如此称颂的高技术本

24、质上是一种数学技术。”病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.2研究数学方法论的意义和目的l 在数学教育中，对数学建模方法的研究，以及在大学、高中、初中怎样开设好数学建模课程也成为当今数学教育改革的重要方向。我们可以说，对数学建模的重视的确是数学方法和解题研究的复兴中的一个举世瞩目的现象。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生l 数 学 方 法 起 源 于 实 践 活 动，它 是 伴 随 数 学 问题 的 解

25、 决 而 产 生 的。人 类 解 决 数 学 问 题 的 实 践 主要 有 两 方 面：一 是 生 产 实 践 和 社 会 实 践；二 是 科学研究，特别是数学研究的实践。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生l 由 于 生 产 实 践、社 会 实 践 和 数 学 发 展 本 身 的需 要，人 们 提 出 了 许 多 数 学 问 题，这 些 数 学 问 题或 是 一 个 个 地 被 解 决，或 是 因 无 裨 益 而 被 弃 置 并代 之 以 新 的 问 题。在 解 决 这 些 层

26、出 不 穷 的 数 学 问题的过程中，绚丽多彩的数学方法就诞生了。l 考 察 数 学 问 题 的 源 泉，在 每 个 数 学 分 支 中，那 些 最 初、最 老 的 问 题 肯 定 是 起 源 于 经 验，是 由外部世界所提出的。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生l 公 元 前3000年 的 埃 及 尼 罗 河 流 域，美 索 不 达米 亚 的 底 格 里 斯 河 等 流 域，以 及 稍 晚 一 些 的 中 国黄 河 流 域、印 度 恒 河 流 域，原 始 阶 段 都 已 结 束

27、，在 这 些 大 河 流 域 文 明 中，整 数 运 算 法 则 在 人 们 的生产实践和彼此的交往中都已经被发现。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生l 当原始的经济逐渐被农业所代替，由于修建灌溉系统，排水设施以及管理的需要，测量耕地，计算收获物，征收赋税及营造建筑物的需要，观测天体，确定季节的需要，一些几何问题、比例问题、分数问题等就被提了出来。l 巴 比 仑 人 可 能 是 在 天 文 观 察、土 地 丈 量 和 贸 易 中 形 成了 位 值 观 念 和 六 十 进 制 数

28、系，为 了 计 算 快 速、方 便，他们 制 作 大 量 数 表，其 中 包 括 倒 数 表、平 方 表、平 方 根 表和 立 方 表，形 成 了 用 表 格 进 行 数 学 计 算 的 相 当 先 进 的 数学方法。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生l 如 目 前 保 存 在 英 国 大 不 列 颠 博 物 馆 的BMB901号 泥 板，就 记 载 着24 个 数 学 问 题，其 中 有 解 一 元 二 次 方 程 的 问 题，从 这 里 我 们 可 以 看 到 人 类 最 早

29、 的 数 学 模 型 方 法 思 想 的 萌芽。l 早 在 公 元 前5世 纪，希 腊 人 已 经 形 成 了 三 个 几 何 作 图问 题，被 称 为 几 何 三 大 问 题：（1）倍 立 方 问 题，求 作 一立 方 体，使 它 的 体 积 等 于 一 已 知 立 方 体；（2）三 等 分 角问 题，求 三 等 分 一 已 知 角；（3）化 园 为 方 问 题，求 作 一正方形，使它的面积等于一已知园的面积。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生l 集 古 代 数 学 问 题 之

30、 大 成 的，要 数 成 书 于 公 元1世 纪 前 后 的 我 国 辉 煌 的 数 学 文 献 九 章 算 术，九 章 算 术 中 收 集 了 方 田（各 种 形 状 的 田 地 面积 计 算）、粟 米（各 种 粮 食 谷 物 间 的 按 比 例 交 换）、商 功（体 积 计 算）、均 输（按 比 例 摊 派 赋 税 和徭 投）、盈 不 足（根 据 两 次 假 设 产 生 过 剩 或 不 足来 求 解 的 问 题）、方 程（求 解 一 次 方 程 组）、勾股（有 关 勾 股 测 量 的 各 种 问 题）共 九 章 计246个问题，几乎包括了当时社会生活的各个方面。病原体侵入机体，消弱机体防御

31、机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生l 九 章 算 术 中 的 数 学 问 题 包 括“题”、“答”和“术”三 个 部 分。所 谓“术”即 是 解 决 数 学 问 题 的数 学 方 法，它 常 常 包 含 着 解 决 数 学 问 题 所 应 用 的公 式，定 理 或 原 理 的 叙 述。处 理 方 法 上 有 一 题 一术，一 题 多 术 与 多 题 一 术 的 不 同，通 过246个 数学 问 题 共 介 绍202个 术，可 以 说 九章 算 术 的全 部 理 论 是 以 寻 求 各 种 应 用 问 题 的

32、 普 遍 解 决 为 中心课题。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生l 九 章 算 术 是 我 国 古 代 传 统 数 学 中 影 响 最深 远 的 一 部 著 作，从 中 我 们 可 以 看 到 我 国 古 代 数学，是 怎 样 从 实 际 生 活 中 分 析 出 数 量 关 系，建 立数 学 模 型，又 怎 样 从 研 究 具 体 的 数 学 问 题 入 手，通过抽象与归纳问题而得到解决问题的数学方法。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生

33、长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 l 古 希 腊 欧 几 里 得 几 何 所 追 求 的 是 逻 辑 的 完 美。成 书 于 公 元 前300年 的 欧 几 里 得 几何 原 本 实际 上 总 结 了 公 元 前600年 前 到 公 元 前300年 间 流 行在 希 腊 帝 国 的 很 多 几 何 学 方 面 的 成 果。几何 原本 是 一 部 在 定 义、公 设 和 公 理 基 础 上 按 演 绎 方法 建 立 起 来 的 命 题 系 统，它 包 含23个 预 备 性 定 义，5个公设，5条公理和465个命题。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体

34、内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生l 欧 几 里 得 原 本 的 出 现，标 志 着 一 种 重 要的 数 学 方 法公 理 化 方 法 的 形 成，2000多 年 来，公 理 化 方 法 对 整 个 数 学 的 发 展 乃 至 物 理 学，现 代理 论 力 学 及 各 门 自 然 科 学 的 发 展 都 带 来 深 远 的 影响。人 们 通 过 欧 几 里 得 几 何 的 学 习，受 到 了 公 理化方法的训练，从而迈入科学的殿堂。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起

35、不同程度的病理生理过程1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 l 爱因斯坦就说过：“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步一步推进，以至它的每一个命题都是绝对不容置疑的我这里说的是欧几里得几何。推论的这种可赞叹的胜利，使人类的理智获得了为取得以后的成就所必需的信心。”病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生l 17世 纪 以 后，欧 洲 的 数 学 摆 脱 了 发 展 缓 慢 的状 态，这 一“数 学 中 的 转 折 点 是 笛 卡 尔 的 变 数，有 了 变

36、数，运 动 进 入 数 学，有 了 变 数，辩 证 法 进入 了 数 学。”（恩 格 斯 语）在 笛 卡 尔 的 解 析 几 何中“曲 线 是 任 何 具 体 代 数 方 程 的 轨 迹”，这 不 仅 一下 子 扩 充 了 数 学 的 范 围，而 且 为 代 数 方 法 运 用 到几何乃至整个数学铺平了道路。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生l 1637年，笛 卡 尔 的 解 析 几 何 作 为“附 录”发 表在 他 的 哲 学 著 作 方 法 谈 之 中，这 对 笛 卡 尔 来

37、说 并 非 是 一 种 偶 然 的 安 排，因 为 在 他 看 来，解 析几 何 与 其 说 是 数 学 研 究 的 新 成 果，还 不 如 说 是 科学方法论的产物。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 l 数 学 的 发 展 一 方 面 是 由 于 对 生 产 和 社 会 生 活中 所 提 出 的 数 学 问 题 的 研 究 和 解 决，如 航 海、机械、力 学、天 文 学 的 发 展，促 使 牛 顿 在 考 察 变 速运 动 中 的 位 置、速 度、加 速 度 的 关 系 而

38、创 立 微 积分，从而导致函数研究中极限方法的完善。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生l 从 研 究 博 奕 问 题 开 始，经 历 了 两 个 世 纪，雅各 布伯 努 利 终 于 将 概 率 论 发 展 成 为 数 学 的 一 个分 支，为 自 然 科 学 和 社 会 科 学 的 研 究 提 供 了 全 新的或然方法。l 泰 勒、丹 尼 尔伯 努 利、欧 拉 等 对 声 学、尤其 是 对 音 乐 乐 声 的 弦 振 动、声 音 传 播 问 题 的 研 究，极 大 地 刺 激 了

39、 微 分 方 程 的 发 展，至 今 微 分 方 程 反过来又成为研究孤立等重大物理现象的工具。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 l 由 于 数 学 发 展 内 部 矛 盾 运 动 中 提 出 的 问 题 的研 究 和 解 决，更 发 展 了 抽 象 的 数 学 方 法，使 数 学成 为 脱 离 现 实 世 界 的 高 度 抽 象 的 形 式 化 的 事 物，其 中 典 型 的 例 子 是，伽 罗 瓦（E.Galois）关 于 代数 方 程 可 解 性 的 研 究，引 进 了 群

40、 和 域 的 概 念，进一步导致抽象代数的建立。l 关 于 欧 几 里 得 几何 原 本 第 五 公 设 的 独 立性的 研 究，罗 巴 切 夫 斯 基、黎 曼 相 继 建 立 了 不 同的非欧几何理论。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 l 关 于 复 数 运 算 的 研 究，导 致1843年 哈 密 尔 顿建立四元数代数，进一步发展为超复数理论。l 希尔伯特说：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法和发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈

41、旧的、复杂的东西抛到一边。”病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生l 在 人 们 探 索 的 众 多 的 数 学 问 题 中，一个著名的例子是费马定理：方程 对于不等于零的正整数，当 时无解。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程l 300多年以来，这个问题引无数英雄竞折腰。在寻求这个问题的结论的证明过程中，涉及到L-函数，群论，伽罗瓦表示，形变理论等现代数学理论，远远地超出了费马大定理本身所在的初等数论的范畴，

42、特别是在数论方面得出许多新的数学方法，从而丰富和发展了代数数论。无怪希尔伯特风趣地说：“我们应当更加注意，不要杀掉这个经常为我们生出金蛋的母鸡。”1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生l 在 数 学 的 迅 速 发 展 之 中，出 现 了 不 少 在 数 学方 法 方 面 有 研 究 的 著 名 学 者，如 笛 卡 尔，莱 布 尼兹、欧 拉、高 斯、庞 加 莱、克 莱 因 和 希 尔 伯 特 等，他 们 或 发 表 过 有 关 数 学 方 法 的

43、 精 辟 见 解，或 有 专门论著。l 下 面 以 欧 拉 所 解 决 的 两 个 数 学 问 题 为 例，说明这些著名学者是如何运用并发展数学方法的。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生l 问题1、自然数平方的倒数和 求 l 这 是 一 个 曾 使 雅 各 布伯 努 利 感 到 无 能 为 力的 数 学 问 题，他 曾 经 写 道：“假 如 有 人 能 够 求 出这 个 我 们 直 到 现 在 还 未 求 出 的 和，并 能 把 它 通知我们，我们将会感谢他。”病原体侵入机体，消

44、弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生l 对于这个问题，欧拉发现了各式各样的表达式（定积分，级数），但没有一个能使他满意，他用这些表达式之一，算出了一个有七位有效数字的和（1.644934），但这仅是一个近似值，而欧拉的目的是求出准确值。最后他发现了它，是类比方法帮助他得到了精彩的结果。l 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 l 设一个2n次代数方程（）无零根，将这个方程变形为 令这个方程

45、的根为 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 则有 即 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 与方程（*）比较x2项的系数，有 考虑方程 即(*)病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 这个方程有无穷个根：，-，2，-2，3，-3，,n，-n,。方程化为 比较这个方

46、程与方程（*）x2项的系数，得出 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 于是有 对于这个结果，欧拉写道：“这种方法是新的并且还来没有这样用过。”欧 拉 又 用 这 种 方 法 重 新 发 现 了 著 名 的 莱 布 尼兹级数的和：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 l 波 利 亚（G.Polya）在1953年 对 此 曾 作 出如 下 评 论：“欧 拉 成 功 的 决 定

47、 性 因 素 是 大 胆，从 严 格 逻 辑 角 度 来 回 顾，他 的 做 法 是 荒 谬 的。他 把 对 某 种 情 况 来 说 尚 未 发 明 的 法 则 应 用 到 这种 情 况 上 了，即 把 关 于 一 个 代 数 方 程 的 法 则 应用 到 一 个 非 代 数 方 程 的 情 况 中 去。在 严 格 的 逻辑 意 义 下 欧 拉 的 步 骤 是 不 允 许 采 取 的，但 是 他用 了 一 门 新 兴 科 学 中 最 好 的 成 就 来 做 类 比，而类 比 告 诉 他 可 以 这 样 做。这 门 新 科 学，在 几 年以后，他自己把它称为无穷分析。”病原体侵入机体，消弱机体防

48、御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 问题2、哥尼斯堡七桥问题 一条小河从东普鲁士的小城镇哥尼斯堡市中心穿过，河中有小岛A和B，河上有七座桥连接这两个岛的两岸 C、D。问一个人能否从某地出发经过每一座桥而不重复地返回原地？病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 为了解决这个问题，欧拉并没有亲自到哥尼 斯堡去，而是运用他的 智慧，把问题作抽象化，数学化的处理：将两岸和 小岛都缩成一点，将桥化 为边，两个

49、点之间有边连接，即表示这两点 代表的地区有桥相连接。于是这个问题就相当 上图能否一笔画成。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 l 欧 拉通过拓扑变换，把七桥问题抽象为线路拓扑一笔画问题，即：如 前 图，已 知A、B、C、D四 点 和 连 接 这 四点 的 七 条 线，问，从 某 一 点 出 发，通 过 七 条 线，且 只 经 过 每 条 线 一 次 而 到 达 终 点，这 能 否 做 到？病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程

50、度的病理生理过程1.3数学方法伴随数学问题的解决而产生 l 1736年，欧 拉 写 了 一 篇 名 为 哥 尼 斯 堡的 七 座 桥 的 文 章，以 否 定 的 方 式 漂 亮 地 解 决了 这 个 问 题。在 这 篇 文 章 里 欧 拉 写 道，如 果 从某 一 点 出 发，到 某 一 点 终 止，全 图 可 以 一 笔 画出，那 么 中 间 每 经 过 一 点，总 有 画 进 那 点 去 的一 条 线 和 从 那 点 画 出 来 的 一 条 线，所 以 除 了 起点 和 终 点 这 两 点 以 外，图 中 的 每 个 点 都 应 该 和偶 数 条 线 相 连。然 而，现 在 图 形 中 的