九年级数学下册第二章二次函数7最大面积是多少习题课件北师大版.ppt

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1、7 最大面积是多少 1.1.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题并能够运用二次函数的知识解决实际问题.(.(重点重点)2.2.从几何背景或实际情景中抽象出函数模型从几何背景或实际情景中抽象出函数模型.(.(难点难点)如图，用一条长为如图，用一条长为30 m30 m的绳子围成一个矩形的绳子围成一个矩形ABCD.ABCD.【思考思考】1.1.如果设边如果设边ABAB的长为的长为x m,x m,则则ADAD的长是多少？的长是多少？提示：提示：2.2.设矩形设矩形ABCDABCD的面积为的

2、面积为S S，则，则S S与与x x的关系是什么？的关系是什么？提示：提示：S Sx(15-x)x(15-x)-x-x2 2+15x.+15x.3.3.求出求出S S的最值的最值.提示：提示：当当 时，时，S S的最大值为的最大值为4.4.综上所述，当综上所述，当ABAB的长为的长为_m_m时，围成矩形的面积最大，最时，围成矩形的面积最大，最大面积为大面积为_m_m2 2.【总结总结】利用二次函数求几何图形的最大面积的基本方法：利用二次函数求几何图形的最大面积的基本方法：(1)(1)引入自变量引入自变量.(2)(2)用含自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量用含自变量的代数式分别表示与所

3、求几何图形相关的量.(3)(3)根据几何图形的特征根据几何图形的特征,列出其面积的计算公式列出其面积的计算公式,并且用函数并且用函数表示这个面积表示这个面积.(4)(4)根据函数关系式根据函数关系式,求出最大值及取得最大值时自变量的值求出最大值及取得最大值时自变量的值.(打打“”“”或或“”)”)(1)(1)与最大面积有关的问题只能用二次函数解决与最大面积有关的问题只能用二次函数解决.().()(2)(2)用二次函数只能解决最大面积问题，而不能解决最小面积用二次函数只能解决最大面积问题，而不能解决最小面积问题问题.().()(3)(3)周长一定的矩形，当其为正方形时面积最大周长一定的矩形，当其

4、为正方形时面积最大.().()知识点知识点 最大面积问题最大面积问题【例例】小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为长度为x(x(单位：单位：cm)cm)的边与这条边上的高之和为的边与这条边上的高之和为40 cm40 cm，这个三，这个三角形的面积角形的面积S(S(单位：单位：cmcm2 2)随随x x的变化而变化的变化而变化.(1)(1)请直接写出请直接写出S S与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式(不要求写出自变量不要求写出自变量x x的的取值范围取值范围).).(2)(2)当当x x是多少时，这个三角形面积是多少时，这个

5、三角形面积S S最大？最大面积是多少？最大？最大面积是多少？【思路点拨思路点拨】(1)(1)求出边上的高，代入面积公式即可确定求出边上的高，代入面积公式即可确定S S与与x x的关系的关系.(2)(2)由由(1)(1)得到的关系式，求出函数的最值即可得到的关系式，求出函数的最值即可【自主解答自主解答】(1)(1)(2)S(2)S有最大值，有最大值，当当 时时,S S有最大值为有最大值为 (cm(cm2 2).).当当x x为为20 cm20 cm时，三角形最大面积是时，三角形最大面积是200 cm200 cm2 2.【总结提升总结提升】应用二次函数解决面积最大问题的步骤应用二次函数解决面积最大

6、问题的步骤1.1.分析题中的变量与常量、几何图形的基本性质分析题中的变量与常量、几何图形的基本性质.2.2.找出等量关系，建立函数模型找出等量关系，建立函数模型.3.3.结合函数图象及性质，考虑实际问题中自变量的取值范围，结合函数图象及性质，考虑实际问题中自变量的取值范围，常采用配方法求出，或根据二次函数顶点坐标公式求出面积的常采用配方法求出，或根据二次函数顶点坐标公式求出面积的最大或最小值最大或最小值.题组题组:最大面积问题最大面积问题1.1.在矩形在矩形ABCDABCD的各边的各边AB,BC,CDAB,BC,CD和和DADA上分别选取点上分别选取点E,F,G,H,E,F,G,H,使得使得A

7、E=AH=CF=CG,AE=AH=CF=CG,如果如果AB=60,BC=40,AB=60,BC=40,四边形四边形EFGHEFGH的最大面的最大面积是积是()A.1 350A.1 350B.1 300B.1 300C.1 250C.1 250D.1 200D.1 200【解析解析】选选C.C.设设AE=AH=CF=CG=x,AE=AH=CF=CG=x,四边形四边形EFGHEFGH的面积是的面积是S.S.由题意，由题意，BE=DG=60-x,BF=DH=40-x,BE=DG=60-x,BF=DH=40-x,则则所以四边形所以四边形EFGHEFGH的面积为：的面积为：S=60S=6040-x40-

8、x2 2-(60-x)(40-x)=-(60-x)(40-x)=-2x-2x2 2+(60+40)x=-2(x-25)+(60+40)x=-2(x-25)2 2+1 250(0 x40);+1 250(0 x40);当当x=25x=25时，时，S S最大值最大值=1 250.=1 250.2.2.如图如图,在正方形在正方形ABCDABCD中中,AB=3cm,AB=3cm,动点动点M M自自A A点出发沿点出发沿ABAB方向以每秒方向以每秒1cm1cm的速度运动的速度运动,同时动点同时动点N N自自A A点点出发沿折线出发沿折线ADADDCDCCBCB以每秒以每秒3cm3cm的速度运动的速度运动

9、,到达到达B B点时运动点时运动同时停止同时停止,设设AMNAMN的面积为的面积为y(cmy(cm2 2),),运动时间为运动时间为x(x(秒秒),),则下列则下列图象中能大致反映图象中能大致反映y y与与x x之间的函数关系的是之间的函数关系的是()【解析解析】选选B.B.分三种情况讨论，当分三种情况讨论，当0 x10 x1时，时，当当1x21x2时，时，当当2x32x3时，时，故选故选B.B.3.3.如图如图,在在ABCABC中中,B=90,AB=12cm,BC=24cm,B=90,AB=12cm,BC=24cm,动点动点P P从点从点A A开开始沿始沿ABAB向向B B以以2cm/s2c

10、m/s的速度移动的速度移动(不与点不与点B B重合重合),),动点动点Q Q从点从点B B开始开始沿边沿边BCBC向向C C以以4cm/s4cm/s的速度移动的速度移动(不与点不与点C C重合重合).).如果如果P,QP,Q分别从分别从A,BA,B同时出发同时出发,那么经过那么经过s,BPQs,BPQ的面积最大的面积最大.【解析解析】设运动的时间为设运动的时间为xs,BPQxs,BPQ的面积为的面积为ycmycm2 2,根据题意得根据题意得:=-4(x-3)=-4(x-3)2 2+36.+36.当经过当经过3s3s时时,BPQ,BPQ的面积最大的面积最大.答案答案:3 34.4.如图如图,在梯

11、形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,对角线对角线ACBD,ACBD,若若AD=3,BC=7,AD=3,BC=7,则则梯形梯形ABCDABCD面积的最大值为面积的最大值为.【解析解析】如图，过如图，过D D作作DEACDEAC交交BCBC的延长线于点的延长线于点E.E.则则BDEBDE9090,DE=AC,CE=AD=3,DE=AC,CE=AD=3,在在RtBDERtBDE中，中，BEBE7+37+31010，设，设BDBDx x，则则当当x x2 2=50=50时，时，S S的最大值为的最大值为答案：答案：25255.5.将一根长为将一根长为1616厘米的细铁丝剪成两段厘米的细铁

12、丝剪成两段,并把每段铁丝围成并把每段铁丝围成圆圆,设所得两圆半径分别为设所得两圆半径分别为r r1 1和和r r2 2.(1)(1)求求r r1 1与与r r2 2的关系式的关系式,并写出并写出r r1 1的取值范围的取值范围.(2)(2)将两圆的面积和将两圆的面积和S S表示成表示成r r1 1的函数关系式，求的函数关系式，求S S的最小值的最小值.【解析解析】(1)(1)依题意得依题意得2r2r1 1+2r+2r2 2=16,=16,化简得：化简得：r r1 1+r+r2 2=8,0r=8,0r1 18.8.(2)(2)两圆面积和两圆面积和 即即S S2(r2(r1 1-4)-4)2 2+

13、32,+32,当当r r1 1=4=4时，时，S S有最小值有最小值32.32.6.6.如图，矩形如图，矩形ABCDABCD的两边长的两边长AB=18 cmAB=18 cm，AD=4 cmAD=4 cm，点，点P,QP,Q分别从分别从A,BA,B同时出发，同时出发，P P在边在边ABAB上沿上沿ABAB方向以每秒方向以每秒2 cm2 cm的速度匀速运动，的速度匀速运动，Q Q在边在边BCBC上沿上沿BCBC方向以每秒方向以每秒1 cm1 cm的速度匀速运动设运动时间的速度匀速运动设运动时间为为x x秒，秒，PBQPBQ的面积为的面积为y(cmy(cm2 2).).(1)(1)求求y y关于关于

14、x x的函数关系式，并写出的函数关系式，并写出x x的取值范围的取值范围.(2)(2)求求PBQPBQ的面积的最大值的面积的最大值.【解析解析】(1)(1)PB=ABPB=ABAP=18AP=182x2x，BQ=xBQ=x，即即y=y=x x2 2+9x(0 x4).+9x(0 x4).(2)(2)由由(1)(1)知：知：y=y=x x2 2+9x+9x，当当 时，时，y y随随x x的增大而增大，而的增大而增大，而0 x40 x4，当当x=4x=4时，时，y y最大值最大值=20=20，即即PBQPBQ的最大面积是的最大面积是20 cm20 cm2 2.7.7.如图如图,抛物线抛物线y=ax

15、y=ax2 2+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)与与x x轴交于轴交于A,A,B B两点两点,与与y y轴交于点轴交于点C,C,三个交点坐标分别为三个交点坐标分别为A(-1,0),B(3,0),A(-1,0),B(3,0),C(0,3).C(0,3).(1)(1)求抛物线的表达式及顶点求抛物线的表达式及顶点D D的坐标的坐标.(2)(2)若点若点P P为线段为线段BDBD上的一个动点上的一个动点,过点过点P P作作PMxPMx轴于点轴于点M,M,求四求四边形边形PMACPMAC的面积的最大值和此时点的面积的最大值和此时点P P的坐标的坐标.【解析解析】(1

16、)(1)抛物线抛物线y yaxax2 2bxbxc c过点过点A(A(1 1，0)0)，B(3B(3，0)0)，C(0,3)C(0,3)，yyx x2 22x2x3.3.又又y yx x2 22x2x3=3=(x(x1)1)2 2+4.+4.顶点顶点D D的坐标是的坐标是(1,4).(1,4).(2)(2)设直线设直线BDBD的表达式为的表达式为y=kx+n(k0).y=kx+n(k0).直线直线y=kx+ny=kx+n过点过点B(3,0)B(3,0)，D(1,4)D(1,4)，直线直线BDBD的表达式为：的表达式为：y=y=2x+6.2x+6.PP点在线段点在线段BDBD上，因此，设上，因此

17、，设P P点的坐标为点的坐标为(m(m，2m+6).2m+6).又又PMxPMx轴于点轴于点M M，PM=PM=2m+62m+6，OM=m.OM=m.又又A(A(1 1，0)0)，C(0C(0，3)3)，OA=1OA=1，OC=3.OC=3.设四边形设四边形PMACPMAC的面积为的面积为S S，则，则 当当 时，四边形时，四边形PMACPMAC的最大面积为的最大面积为此时，此时，P P点的坐标是点的坐标是【想一想错在哪？想一想错在哪？】正方形正方形ABCDABCD边长为边长为4 4，M M，N N分别是分别是BCBC，CDCD上的两个动点，当点上的两个动点，当点M M在在BCBC上运动时，保持上运动时，保持AMAM和和MNMN垂直，当点垂直，当点M M在什么位置时，在什么位置时，ADNADN的面积最大或最小，并求出最大或最小的面积最大或最小，并求出最大或最小面积面积提示提示:在解决实际问题中的最值问题时在解决实际问题中的最值问题时,要在自变量的取值范围要在自变量的取值范围内确定最值内确定最值,本题不仅有最小值本题不仅有最小值,也有最大值也有最大值.