高等数学 重积分.pptx

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1、高等数学 重积分2 2/61/61（一）、重积分常见题目类型1.一般重积分的计算：a.选择坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.b.确定积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.列不等式法(投影穿线)c.写出积分限 累次积分法d.计算要简便充分利用对称性应用换元公式一、关于二重积分计算第1页/共61页3 3/61/612.改变累次积分的积分次序题目要求改变积分次序或按原积分次序积不出来，必须改变积分次序.3.求平面图形D 的面积4.求由曲面所围立体的体积5.用二重积分求曲面的面积第2页/共61页4 4/61/616.重积分性质的应用题（二）、重积分计算的基本技巧

2、分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性简化计算3.消去被积函数绝对值符号4.被积函数为1时巧用其几何意义第3页/共61页5 5/61/61其中函数、在区间 上连续.(三 三)、利用直角坐标系计算二重积分、利用直角坐标系计算二重积分(1)X型域【X型区域的特点】穿过区域内部且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.1.【预备知识及二重积分公式推导】第4页/共61页6 6/61/61若积分区域为X型域：【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求.第5页/共61页7 7/61/61即得公式1第6页/共61页8 8/61/61【几点小结

3、】aboxyDx第7页/共61页9 9/61/61(2)Y型域【Y型区域的特点】穿过区域内部且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.第8页/共61页10 10/61/61公式2第9页/共61页11 11/61/61(3)既非X型域也非Y型域在分割后的三个区域上分别都是X型域(或Y 型域)如图,则必须分割.由二重积分积分区域的可加性得2.【二重积分的计算步骤可归结为】画出积分域的图形，标出边界线方程；根据积分域特征，确定积分次序；根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算.第10页/共61页12 12/61/61(1)使用公式1必须是X型域，公式2必须是Y型域.(2)若积分区域既是X 型

4、区域又是Y 型区域,为计算方便,可选择积分次序,必要时还可交换积分次序.则有(3)若积分域较复杂,X-型域或Y-型域.【说明】可将它分成若干第11页/共61页13 13/61/61【例1】【解】看作X型域1 2oxy y=xy=1DxD既是X 型域又是Y型域法13、【利用直角坐标系计算二重积分题类】第12页/共61页14 14/61/61看作Y型域12oxyx=yx=2Dy1 2法2第13页/共61页15 15/61/61【例2】【解】D既是X 型域又是Y型域法1111xoy=xDxy第14页/共61页16 16/61/61法2注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便111yoy=xD1xy

5、注意两种积分次序的计算效果！第15页/共61页17 17/61/61【例3】【解】D是Y 型域也可以视X 型域先求交点第16页/共61页18 18/61/61法1 视为X 型域（计算较繁）本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！法2（计算简单）第17页/共61页19 19/61/61【例4】【解】X-型第18页/共61页20 20/61/61【例5】【解】先去掉绝对值符号，如图第19页/共61页21 21/61/61【例6】【解】【分析】交换积分次序若直接计算，积分比较困难！（注意被积函数）作业 P152;同济p154第20页/共61页22 22/61/61（四）、利用极坐标系计算二重积分首

6、先分割区域 D两组曲线将 D 分割成许多小区域用1.极坐标系下二重积分表达式第21页/共61页23 23/61/61将典型小区域近似看作矩形（面积=长宽）则 面积元素扇形弧长径向宽度第22页/共61页24 24/61/61则二重积分极坐标表达式可得下式【注意】极坐标系下的面积元素为直角坐标系下的面积元素为区别第23页/共61页25 25/61/612.二重积分化为二次积分的公式区域特征如图（1）极点O 在区域 D 的边界曲线之外时第24页/共61页26 26/61/61若区域特征如图特别地第25页/共61页27 27/61/61（2）极点O 恰在区域 D 的边界曲线之上时区域特征如图（1）的特

7、例第26页/共61页28 28/61/61区域特征如图（3）极点 O 在区域 D 的边界曲线之内时（2）的特例一般在什么情况下利用极坐标计算二重积分呢？第27页/共61页29 29/61/61【解】3、利用极坐标系计算二重积分第28页/共61页30 30/61/61【解】x yo的原函数不是初等函数,故本题无法【注】1.由于用直角坐标计算.第29页/共61页31 31/61/61【解】第30页/共61页32 32/61/61【例4】计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线【解】(1)利用对称性.围成.第31页/共61页33 33/61/61(2)积分域如图:将D 分为 添加辅助线利用对称

8、性,得第32页/共61页34 34/61/61【例6】【解】作业 P153;同济p155!第33页/共61页35 35/61/614.【补充】改变二次积分的积分次序例题【例1】交换下列积分顺序【解】积分域由两部分组成:视为Y型区域,则第34页/共61页36 36/61/61【例2】计算其中 D 是由直线 y=x 及抛物线 y2=x 所围成【解】积不出的积分，无法计算。第35页/共61页37 37/61/61【例3】【解】第36页/共61页38 38/61/61作业 P153;同济p155!第37页/共61页39 39/61/61二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分 以下只限于叙述计算

9、方法1.直角坐标下2.柱面坐标下3.球面坐标下方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(切片法)(“先二后一”)先假设连续函数 最后,推广到一般可积函数的积分计算.-将三重积分化为三次积分第38页/共61页40 40/61/61方法1：投影法【“先一后二”】如图z轴第39页/共61页41 41/61/61得X 型域第40页/共61页42 42/61/61【注意】此式称为先对z、次对y、最后对x的三次积分得计算公式（1）第41页/共61页43 43/61/61（2）若交点多于两个，也可像处理二重积分那样，将分割，化为部分区域上的三重积分之和.（3）也可把投影到yoz面或zox面上，便可 把三

10、重积分化为其它顺序的三次积分.（要求平行于 x 轴或 y 轴且穿过闭区域内部的直线与的边界曲面 S 相交不多于两点）.第42页/共61页44 44/61/61【例1】【解】如图X 型域作直线穿越内部第43页/共61页45 45/61/61故则第44页/共61页46 46/61/61【解】得交线投影区域第45页/共61页47 47/61/61【解】如图第46页/共61页48 48/61/61【例4】【解】如图示第47页/共61页49 49/61/61【方法】截面法 截面法(切片法 切片法)【“先二后一”】【“先二后一”法的一般步骤】第48页/共61页50 50/61/61(?)Dz之面积作业:同

11、济P164:4,5第49页/共61页51 51/61/611.若积分区域为D,三、关于二重积分的应用（一）、立体的体积概念 p138！第50页/共61页52 52/61/61【例1】【解】由对称性其中Flash 动画演示2a2a2.例题第51页/共61页53 53/61/61例例1.1.求球体求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:由对称性可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第52页/共61页54 54/61/61【例2】求两个底圆半径都等于R 的直交圆柱面所围成的立体的体积V.【解】设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为第53页/共61

12、页55 55/61/611.设曲面的方程为：在D上偏导数连续设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 dA 无限积累而成.设它在 D 上的投影为 d,(称为曲面S的面积元素)则（二）、曲面的面积第54页/共61页56 56/61/61故有曲面面积公式即2.若光滑曲面方程为 则有3.若光滑曲面方程为 则有第55页/共61页57 57/61/61【解】动画演示第56页/共61页58 58/61/61aa0第57页/共61页59 59/61/61【例2】计算双曲抛物面被柱面【解】曲面在 xoy 面上投影为则所截出的面积 A.azoxyz=x y.第58页/共61页60 60/61/61【解】解方程组得两曲面的交线为圆周在 平面上的投影域为第59页/共61页61 61/61/61【作业 P141例题;同济p175!】第60页/共61页62 62/61/61感谢您的观看。第61页/共61页