题型六-新定义阅读理解题.doc

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1、题型六 新定义阅读理解题1. (2016重庆B卷)我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：npq(p，q是正整数，且pq)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称pq是n的最佳分解，并规定：F(n).例如12可以分解成112，26或34，因为1216243，所以34是12的最佳分解，所以F(12).(1)如果一个正整数a是另外个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)1；(2)如果一个两位正整数t，t10xy(1xy9，x，y是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18.那么我

2、们称这个数t为“吉祥数”求所有“吉祥数”中F(t)的最大值2. (2017重庆A卷)对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)例如n123.对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213 321132 666，6661116，所以，F(123) 6.(1)计算：F(243)，F(617)；(2)若s，t都是“相异数”，其中s100x32，t150y(1x

3、9，1y9，x，y都是正整数)，规定：k.当F(s)F(t)18时，求k的最大值3. (2015重庆A卷)如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”再如22，545，3883 ，345543，都是“和谐数”(1)请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；(2)已知一个能被11整除的三

4、位“和谐数”，设其个位上的数字为x(1x4，x为自然数)，十位上的数字为y，求y与x的函数关系式4. (2017张家界)阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于1，记为i21，这个数i叫做虚数单位，把形如abi(a，b为实数)的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似例如计算：(2i)(53i)(25)(13)i72i；(1i)(2i)12i2ii22(12)i13i；根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：i3_，i4_；(2)计算：(1i)(34i)；(3)计算：ii2i3i2017.5. (2018原创)若整数m是8的倍数，那

5、么称整数m为“发达数”例如，因为16是8的倍数，所以16是“发达数”(1)已知整数m等于某个奇数的平方减1，求证：m是“发达数”(2)已知两位正整数t10xy(1xy9，其中x，y为自然数)，交换其个位上的数字和十位上的数字得到新数s，如果s加上t的和是“发达数”，求所有符合条件的两位正整数t.6. (2017重庆南开模拟)若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b.定义：若数Ka2b2ab，则称数K为“尼尔数”例如：若P所表示的数为3，则a2，b4，那么K22422412；若P所表示的数为12，则a11，b

6、13，那么K1321121311147，所以12，147是“尼尔数”(1)请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；(2)已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”7. (2017重庆一外一模)若一个三位数tabc(其中a，b，c不全相等且都不为0)，重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为T(t)例如，357的差数T(357)753357396.(1)已知一个三位数a1b(其中ab1)的差数T(a1b)792，且各数位上的数字之和为一个完全平方数，求这个三位数(2)若一个三位数ab2(其中a、b都不

7、为0)能被4整除，将个位上的数字移到百位得到一个新数2ab被4除余1，再将新数的个位数字移到百位得到另一个新数b2a被4除余2，则称原数为4的“闺蜜数”例如：因为6124153，2614651，1264312，所以612是4的一个闺蜜数求所有小于500的4的“闺蜜数”t，并求T(t)的最大值8. (2017重庆八中一模)一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等，若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和

8、为M的“团结数”，如：123的“团结数”为121321233132132.(1)求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等(a0, b0)若N的“团结数”与N之差为24，求N的值9. (2017重庆大渡口区模拟)我们知道：一个整数的个位数是偶数，则它一定能被2整除；一个整数的各位数字之和能被3整除，则它一定能被3整除若一个整数既能被2整除又能被3整除，那么这个整数一定能被6整除数字6象征顺利、吉祥，我们规定，能被6整除的四位正整数abcd(千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d)是“吉祥数”请

9、解答下面几个问题：(1)已知785x是“吉祥数”，则x_.(2)若正整数abcd是“吉祥数”，试说明：d4(abc)能被2整除(3)小明完成第(2)问后认为：四位正整数abcd是“吉祥数”，那么d4(abc)也能被6整除你认为他说得对吗？请说明理由10. 个正整数，由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“精巧数”如：123的第位“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，则123是一个“精巧数”(1)若四位数123k是一个“精巧数”，求k的值；(2)若一个三位“精巧数”

10、2ab各位数字之和为个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“精巧数”11. (2017重庆巴蜀模拟)阅读材料：欢喜数若一个四位数的前2位数是后2位数的2倍，则称该数为“欢喜数”，如1005、2211等都是欢喜数；半和数一个数，若各个数位上的数字之和等于十位上的数字的2倍，则称该数为“半和数”，如132等都是半和数；平方差数一个三位数字，若十位上数字等于百位数字与个位数字的平方差，则称该数为“平方差数”根据上面的材料，回答下列问题：(1)证明所有的三位“半和数”均能被11整除；(2)若一个四位正整数abbc是欢喜数，bmc既是半和数又是平方差数，求m的值12. 一个三位自然数m，将它任意两个数位

11、上的数字对调后得一个首位不为0的新三位自然数m(m可以与m相同)，记mabc，在m所有的可能情况中，当|a2bc|最小时，我们称此时的m是m的“幸福美满数”，并规定K(m)a22b2c2.例如：318按上述方法可得新数有：381、813、138；因为|3281|18，|8213|7，|1238|1，1718，所以138是318的“幸福美满数”，K(318)122328245.(1)若三位自然数t的百位上的数字与十位上的数字都为n(1n9，n为自然数)，个位上的数字为0，求证：K(t)0；(2)设三位自然数s10010xy(1x9，1y9，x，y为自然数)，且xy.交换其个位与十位上的数字得到新

12、数s，若19s8s3888，那么我们称s为“梦想成真数”，求所有“梦想成真数”中K(s)的最大值13. (2018原创)如果一个自然数从高位到个位是由一个数字或几个数字重复出现组成，那么我们把这样的自然数叫循环数，被重复的一个或几个数字称为“循环节”，我们把“循环节”的数字个数叫做循环数的阶数，例如：252525，它由“25”依次重复出现组成，所以252525是循环数它是2阶6位循环数；再如：11是1阶2位循环数，789789789是3阶9位循环数，345634563456是4阶12位循环数.(1)请你直接写出3个2阶6位循环数，猜想任意一个2阶6位循环数能否被7整除，并说明理由；(2)已知一

13、个能被13整除的2阶4位循环数，设循环节为xy，(0x33，所以333是9的最优拆分，且P(9)0.(1)由上述条件，可得：P(11)_；若P(n)1，则n_；若P(n)0，证明n必定能被3整除；(2)t是一个两位正整数，且t的十位数字、个位数字分别为x、y(1xy9，x、y为整数)若t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，则我们称这个数t为“期盼数”，求所有“期盼数”中P(t)的最大值18. 对于一个大于100的整数，若将它的后两位之前的数移到个位之后，重新得到一个新数，称之为原数的“兄弟数”. 比如：2017的兄弟数为1720, 168的兄弟数为681.根据以上阅读材料，回答下

14、列问题(1)求证：个三位数与其兄弟数之差一定能被9整除；(2)已知一个六位数的兄弟数恰好是原六位数的4倍，求满足条件的原六位数19. (2017重庆南开模拟)一个自然数m，若将其数字重新排列可得个新的自然数n，如果m3n，我们称m是一个“希望数”，例如：310531035，71253323751，3712503123750.(1)请说明41不是希望数，并证明任意两位数都不可能是“希望数”；(2)一个四位“希望数”M记为abcd，已知abcd3cbad，且c2，请求出这个四位“希望数”20. (2017重庆西大附中月考)一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若从它的百位、十位、个

15、位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数N为“公主数”例如：132，选择百位数字1和十位效字3所组成的两位数为：13和31，选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：12和21，选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23，因为133112213223132，所以132是“公主数”个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数为“伯伯数”(1)判断123是不是“公主数”？请说明理由(2)证明：当一个“伯伯数”xyz是“公主数”时，则z2x.(3)若一个“伯伯数”与132的和能被13整除，求满足条件的所有“

16、伯伯数”21. (2018原创)若实数a可以表示成两个连续自然数的倒数差，即a，那么我们称a为第n个“1阶倒差数”，例如1，是第1个“1阶倒差数”，是第2个“1阶倒差数”同理，若b，那么，我们称b为第n个“2阶倒差数”(1)判断是否为“1阶倒差数”；直接写出第5个“2阶倒差数”；(2)若c，d均是由两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，且22，求c，d的值22. (2017重庆八中二模)若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字2，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“诚勤数”，如34的“诚勤数”为324；若将个两位正整数M加2后得到一个新数，我们称这个新数为M的“立达数”，如34

17、的“立达数”为36.(1)求证：对任意一个两位正整数A，其“诚勤数”与”立达数”之差能被6整除；(2)若一个两位正整数B的“立达数”的各位数字之和是B的各位数字之和的一半，求B的值23. (2017重庆南岸区二模)若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”(1)求证：对任意“好数”m，m264一定为20的倍数；(2)若mp2q2，且p，q为正整数，则称数对(p，q)为“友好数对”规定：H(m).例如68182162，称数对(18，16)为“友好数对”，则H(68).求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值24. (2018原创)定义，对于一个多位自然数a，若其从左向右各

18、个数位上的数恰好是前一数位数字加1，我们称自然数a是“格调数”例如，12，123，1234等都是“格调数”根据数的特点，我们可以发现，最小的“格调数”是12，最大的“格调数”是123456789.而如果一个“格调数”有七位时，第一位上的数字最大只能是3，这样的“格调数”是3456789.(1)已知四位“格调数”m和n，若mn3333，求m的值；(2)规定：任意一个能被18整除的数，称为“发财数”对于任意一个三位“格调数”t100a10(a1)(a2)，交换其个位和百位上的数字，得到新的三位数k，令qkt，猜想q是否为“发财数”，请说明理由25. (2017重庆一中一模)人和人之间讲友情，有趣的

19、是，数与数之间也有相类似的关系，若两个不同的自然数的所有真因数(即除了自身以外的正因数)之和相等，我们称这两个数为“亲和数”例如：18的正因数有1、2、3、6、9、18，它的真因数之和为1236921；51的正因数有1、3、17、51，它的真因数之和为131721，所以称18和51为“亲和数”数还可以与动物形象地联系起来，我们称一个两头(首位与末位)都是1的数为“两头蛇数”例如：121、1351等(1)8的真因数之和为_；求证：一个四位的“两头蛇数”与它去掉两头后得到的两位数的3倍的差，能被7整除；(2)一个百位上的数为4的五位“两头蛇数”能被16的“亲和数”整除，若这个五位“两头蛇数”的千位

20、上的数字小于十位上的数字，求满足条件的五位“两头蛇数”26. (2018原创)依次排列的几个数，如：a，b，c，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，并将所得的差写在这两个数之间，从而产生一个新数串：a，ba，b，cb，c，我们称这样的一次操作为“差变增数列”例如，对于依次排列的两个数，1，2，做一次“差变增数列”所得数串为1，1，2；再做一次“差变增数列”所得数串为1，0，1，1，2.(1)已知依次排列的3个数：2，8，7，做一次“差变增数列”，所得新数串所有数字的和是_；做m次“差变增数列”后，所得新数串所有数字的和为_(用含m的代数式表示)；(2)若依次排列的3个数：x，8，y；

21、其中，0x，“吉祥数”中F(t)的最大值为F(35).2. 解：(1)F(243)(423342234)1119，F(617)(167716671)11114；(2)s，t都是相异数F(s)(30210x230x100x23)111x5，F(t)(510y100y5110510y)111y6，F(s)F(t)18，x5y6xy1118，xy7，1x9，1y9，且x，y都是正整数或或或或或，s是相异数，x2，x3，t是相异数，y1，y5，满足条件的有或或，或或，k或k1或k，1，k的最大值为.3. 解：(1)1331，2442，1001；猜想：任意一个四位“和谐数”能被11整除理由：设一个四位“

22、和谐数”记为xyyx，用十进制表示为：1000x100y10yx1001x110y11(91x10y)，x、y是09之间的整数，11(91x10y)能被11整除；任意一个四位“和谐数”能被11整除；(2)设这个三位的“和谐数”为xyx，用十进制表示为：100x10yx101x10y，它是11的倍数，为整数，9xy，x，y是09之间的整数，是整数又1x4，0y9，22x8，9y0，72xy8，要使是整数，则2xy只能是0，2xy0，即y2x，y与x之间的函数关系式是y2x(1x4，x为自然数)4. 解：(1)i；1；【解法提示】i21，i3i2ii，i4i2i2(1)(1)1.(2)原式34i3

23、i4i23i47i；(3)根据题意可得ii，i21，i3i，i41，i5i，i61，i20161，i2017i，ii2i3i40，20164504，ii2i3i4i2017i2017i.5. 解：(1)设这个奇数为2n1，n为任意整数，由题意知m(2n1)214n24n114n(n1)，是整数，即4n(n1)是8的倍数，m是“发达数”；(2)由题意知s10yx，st10yx10xy11x11y11(xy)，又1xy9，2xy18，要使11(xy)是发达数，则xy是发达数，xy8或xy16，当xy8时，x1，y7，t17，x2，y6，t26，x3，y5，t35，x4，y4，t44，当xy16时，

24、x7，y9，t79，x8，y8，t88，故所有符合条件的两位正整数t有17，26，35，44，79，88.6. 解：(1)6不是尼尔数，39是尼尔数证明：设P表示的数为3m，则a(3m1)，b(3m1)，K(3m1)2(3m1)2(3m1)(3m1)9m23，m为整数，m2为整数，9m23被9除余3；(2)设这两个尼尔数分别是K1，K2，将P1，P2分别记为3m1，3m2.K1K29m129m22189，m12m2221，m1，m2都是整数，m1m27，m1m23，.7. 解：(1)一个三位数a1b(其中ab1)的差数T(a1b)792，a9，三位数a1b(其中ab1)的各数位上的数字之和为一

25、个完全平方数，1abn2，101ab19，n4，b16916，这个三位数是916；(2)一个三位数ab2(其中a、b都不为0)能被4整除，b1或3或5或7或9，将新数个位数字移到百位得到另一个新数b2a被4除余2并且a5，a2，所有小于500的4的“闺蜜数”t是212，232，252，272，292，T(t)的最大值是922229693.8. (1)证明：设Mxyz(xyz0)，则M的友谊数是yxz，xyzyxz(100x10yz)(100y10xz)90x90y90(xy)156(xy)，6(xy)是整数，xyzyxz能被15整除故M与其“友谊数”的差能被15整除；(2)解：由团结数定义可知

26、，N的团结数为：(20a)(20b)(10a2)(10ab)(10b2)(10ba)22a22b44，N的团结数与N之差为24，(22a22b44)(20010ab)24，即a15b，a、b为整数，1a9，1b9，ab，或，N284或218.9. 解：(1)4；(2)正整数abcd能被6整除，d能被2整除设d2k( k为自然数)，则d4(abc)2k4(abc)2k2(abc)d4(abc)能被2整除；(3)小明的说法正确理由如下：四位正整数abcd能被6整除，abcd能被3整除设abcd3m(m为自然数)，则d4(abc)(abcd)3(abc)3m3(abc)d4(abc)既能被2整除，也

27、能被3整除，也能被6整除10. 解：(1)根据精巧数的定义，得123k能被4整除，则1230k能被4整除，1230k1228(2k)，2k能被4整除，又0k9，且k为整数，k2或6；(2)2ab是“精巧数”，a为偶数，且2ab是3的倍数，a10，b10，2ab22，2ab各位数字之和为一个完全平方数，2ab329，当a0时，b7，当a2时，b5，当a4时，b3，当a6时，b1，所有满足条件的三位“精巧数”有：207，225，243，261.11. (1)证明：设三位数abc是一个半和数，则abc2b，acb.这个三位数为100a10bc100a10(ac)c110a11c11(10ac)，且1

28、0ac为整数，这个三位数是11的倍数，能被11整除(2)解：四位数abbc是欢喜数，10ab2(10bc)，10a19b2c0.bmc是半和数，bcm.bmc是平方差数，mb2c2(bc)(bc)，bc1，b1c ，代入得a，a是19的正整数，c1，b2，m213.12. (1)证明：由题意得，t按上述方法可得新数：n0n，nn0，|n20n|0，|n2n0|3n，03n，n0n是t的“幸福美满数”，K(t)n2202n20；(2)解：s10010xy，s10010yx，19s8s3888，即19(10010xy)8(10010yx)3888.得到2xy12，xy，且均为自然数，或，“梦想成真

29、数”为128或136，通过计算，K(128)55，K(136)17或25，又552517，K(s)的最大值为17.13. 解：(1)依照2阶6位循环数的定义，可任意写出3个2阶6位循环数：131313；272727；868686.任意一个2阶6位循环数能被7整除，理由如下：结合数字的特点可得知：2阶6位循环数为任意的一个两位数10101得出的101017 1443.任意一个2阶6位循环数能被7整除；(2)结合(1)的规律可知：2阶4位循环数为任意的一个两位数101得出的101为质数xy为13的倍数，又0x5，y3x.当x4时，y3412，当x5时，y3515均不符合题意0x4，且x为整数，y与

30、x之间的函数关系为y3x(x1，2，3)14. 解：(1)根据题意知t100(xy)10yx，h100y10xxy，qth(100x100y10yx)(100y10xxy)90x9y，f(m)10xy.0不能在百位，t的十位和百位均不可以为0，x的最小值为0，y的最小值为1，f(m)的最小值为1，此时“加成数”t为110；(2)f(m)是24的倍数，10xy24n(n1，2，3，)，0x8，1y9，且1xy9，当n1时，10xy24，x2，y4，当n3时，10xy72，x7，y2；综上，这样的“节气数”有2个，分别为24，72.15. (1)证明：三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位

31、上的数字的平均数，重新排序后，其中两个数位上数字的和是另一个数位上的数字的2倍， ac2b0，F(t)0；(2)解：m20010xy是“善雅数”，x为偶数，且2xy是3的倍数，x10，y10，2xy30，m的各位数字之和为一个完全平方数，2xy329，当x0时，y7，当x2时，y5，当x4时，y3，当x6时，y1，所有符合条件的“善雅数”有：207，225，243，261，所有符合条件的“善雅数”中F(m)的最大值是|23|34|0.16. (1)解：是理由如下：()2()2，是有理数；()()22，是有理数(，)是“完美数对”；(2)证明：(a，b)是“完美数对”，a2b与ab2都是有理数，

32、(a2b)(ab2)(ab)(ab1)是有理数设t(ab)(ab1)(ab)(21)ab，tab是有理数解，得，t是有理数，a，b都是有理数17. 解：(1)2；8；证明：假设P(n)的质数为a，b，c，由P(n)0可知，abc，P(n)aaa3a，3a3a，为整数，若P(n)0，n必定能被3整除；(2)(xy)810xy99，2xy11；1xy9，期盼数：35，27，19，35111113；277713；19775；P(35)2，P(27)6，P(19)2，P(t)max6.18. (1)证明：设原来的三位数为：100a10bc，其兄弟数为：100b10ca，则(100a10bc)(100b10ca)99a90b9c9(11a10bc)，(11a10bc)为整数，一个三位数与其兄弟数之差一定可以被9整除(2)解：设这个六位数的前4位是M，后2位是N，则这个数可表示为：(100MN)，其兄弟数可表示为：(10000NM)，4(100MN)10000NM，化简得19M476N，N一定是19的倍数，N是2位数，满足条件的N19，38，57，76，95；又M是4位数，N19，38都不满足条件，舍去；N57，76，95，相应的：M1