工程力学弯曲强度1(剪力图与弯矩图(PPT46页)6701.ppt

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1、Nanjing University of Technology第七章A 剪力图与弯矩图 杆杆件件承承受受横横向向力力或或面面内内力力偶偶作作用用时时，其其轴轴线线将将弯弯曲曲成成曲曲线线，这这种种变变形形形形式式称称为为弯弯曲曲。主主要要承承受受弯弯曲的杆件称为曲的杆件称为梁梁。梁的横截面上将产生梁的横截面上将产生剪力剪力和和弯矩弯矩两种内力。两种内力。梁梁横横截截面面上上应应力力非非均均匀匀分分布布，强强度度失失效效最最先先从从应应力力最最大大点点处处发发生生。其其强强度度计计算算不不仅仅要要考考虑虑内内力力最最大大的的“危危险险截截面面”，而而且且要要考考虑虑应应力力最最大大的的“危危险

2、险点点”绝绝大大多多数数细细长长梁梁的的失失效效，主主要要与与正正应应力力有有关关，剪应力的影响是次要的。剪应力的影响是次要的。建立剪力方程和弯矩方程；建立剪力方程和弯矩方程；绘制剪力图与弯矩图，绘制剪力图与弯矩图，推导弯曲应力和变形公式；推导弯曲应力和变形公式；建立弯曲强度和刚度设计方法。建立弯曲强度和刚度设计方法。工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的:桥式吊车的大梁可 桥式吊车的大梁可以简化为两端铰支 以简化为两端铰支的简支梁 的简支梁直立式反应塔可以简化 直立式反应塔可以简化为一悬臂梁 为一悬臂梁火车轮轴可以简化为两端 火车轮轴可以简化为两端外伸梁 外伸梁 弯曲梁

3、的内力 弯曲变形的内力请思考：弯曲变形有请思考：弯曲变形有几个内力参数？几个内力参数？Q Q Q Q11、求支反力、求支反力22、1-11-1面上的内力面上的内力 自左向右计算 自左向右计算 自右向左计算又如何？自右向左计算又如何？截面法，平衡分析；截面法，平衡分析；刚 刚体 体平 平衡 衡概 概念 念的 的扩 扩展 展和 和延 延伸 伸：总 总体 体平 平衡 衡，则 则其 其任 任何 何局部也必然是平衡的。局部也必然是平衡的。弯曲变形有两个内力参数：剪力Q和弯矩M剪力符号规定：剪力符号规定：弯矩符号规定：弯矩符号规定：左上右下为正左上右下为正下侧受拉下侧受拉(上凹下凸、左顺右逆上凹下凸、左顺

4、右逆)为正为正或使该段梁顺时针或使该段梁顺时针转动为正转动为正MMMMMMMMQ QQ QQ QQ Q 弯曲变形的内力 左和右指什么，左和右指什么，上和下又指 上和下又指什么？什么？左右、上下的 左右、上下的两种解释 两种解释 左和右指什么，左和右指什么，顺和逆又指 顺和逆又指什么？什么？左右、顺逆的 左右、顺逆的两种解释 两种解释 根据支座对梁在载荷平面内的约束情况，一般可根据支座对梁在载荷平面内的约束情况，一般可以简化为三种基本形式：以简化为三种基本形式：11、固定铰支座固定铰支座2.2.可动铰支座可动铰支座3.3.固定端支座固定端支座 支座的分类11、简支梁、简支梁22、外伸梁、外伸梁3

5、3、悬臂梁、悬臂梁 梁的类型 指定横截面上弯矩和剪力的确定 FPl l例 题ABCD 一一端端固固定定另另一一端端自自由由的的梁梁，称称为为悬悬臂臂梁梁。梁梁承承受受集集中中力力FFPP及及集集中中力力偶偶MMOO的作用。的作用。MO=2FPl 试试确确定定:截截面面CC及及截截面面DD上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩。CC、DD截面与加力点无限接近。截面与加力点无限接近。用用假假想想横横截截面面从从指指定定横横截截面面处处将将梁梁一一分分为为二二。考考察察其其中中任任意意一一部部分分的的受受力力，由由平平衡衡条条件件，即即可可得得到该截面上的剪力和弯矩。到该截面上的剪力和弯矩。FPFPl lAB

6、CDMO=2FPl 解：11、应应用用静静力力学学平平衡衡方方程程确确定定固固定定端端的的约约束束力。力。22、应应用用截截面面法法确确定定CC截面上的内力分量截面上的内力分量 用用假假想想截截面面将将梁梁CC截截面面处处截截开开，以以左左边边部部分分为为平衡对象平衡对象 横横截截面面上上没没有有轴轴力力和和扭扭矩矩，只只有有剪剪力力和和弯弯矩矩两两种种内力分量内力分量MA0AClFPMA0FQCMCFPMA0FPl lABCDMO=2FPl2.2.应应用用截截面面法法确确定定CC截截面面上上的内力分量的内力分量CAFP lMA0 假假设设截截开开横横截截面面上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩均均为

7、为正正方方向向。根根据据截截开开的的局局部部平平衡衡建建立立平平衡衡方方程：程：结结果果均均为为正正值值表表明明所所假假设设的的CC截截面面上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩的的正方向是正确的。正方向是正确的。FPMA0FPl lABCDMO=2FPl33、应应用用截截面面法法确确定定DD截截面面上的内力分量上的内力分量 假假设设截截开开横横截截面面上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩均均为为正正方方向向。根根据据截截开开的的局局部部平平衡衡建建立立平衡方程：平衡方程：MDFQDAFPMA0l lMO=2FPlD 本本例例中中所所选选择择的的研研究究对对象象都都是是CC、DD截截面面以以左左部部分分梁梁，如

8、如果果以以CC、DD截截面面以以右右部部分分梁梁作作为为平平衡对象，会如何？衡对象，会如何？求图示梁求图示梁1-11-1、2-22-2、3-33-3、4-44-4截面上的截面上的剪力和弯矩。剪力和弯矩。例题B BA AP=qP=q1 11 12 22 23 33 34 44 4qqB BA AP=q P=qQ Q3 3M M3 3A AP=q P=q Q Q2 2M M2 2M M1 1Q Q1 1A AR RA AQ Q4 4M M4 4q qR RB BQ1RqaA54=Q2R qaqaA4=-=Q3=Q4qa RqaB34=-=-B A P=q P=q q q1 21 23344R RB

9、 B R RA A将将QQ22与与QQ11相比，观察相比，观察剪力的跳跃问题剪力的跳跃问题R RA AR RA A通过上述计算可以看出，截面上的内力与该截面一侧杆上 通过上述计算可以看出，截面上的内力与该截面一侧杆上的外力相平衡，因而可以直接通过一侧杆段上的外力直接 的外力相平衡，因而可以直接通过一侧杆段上的外力直接求得截面上的内力 求得截面上的内力.可可以以直直接接通通过过截截面面一一侧侧杆杆段段上上的的横横向向力力的的代代数数和和直直接接求求得得截截面面上上的的剪剪力力，通通过过一一侧侧杆杆段段上上横横向向力力对对截截面面的的力矩以及力偶之代数和力矩以及力偶之代数和求得截面上的弯矩求得截面

10、上的弯矩 必须注意求代数和时各项的必须注意求代数和时各项的正负号正负号 求求剪剪力力时时的的横横向向力力为为“左左上上右右下下为为正正，左左下下右右上为负上为负”求求弯弯矩矩时时的的横横向向力力对对截截面面形形心心的的力力矩矩以以及及一一侧侧杆杆段段上上的的力力偶偶为为“左左顺顺右右逆逆为为正正，左左逆逆右右顺顺为为负负”注注意意上上述述规规定定均均基基于于xx轴轴正正向向位位于于右右手手侧侧，若若相反则规定相反相反则规定相反ll:力的作用线至所求截面的距离力的作用线至所求截面的距离M MQ QM MQ Qm mm mQ Q=-Q Q=-轴向集中力作用面两侧轴力分量会跳跃；轴向集中力作用面两侧

11、轴力分量会跳跃；集中扭矩作用面两侧扭矩内力分量会跳跃；集中扭矩作用面两侧扭矩内力分量会跳跃；横向集中力作用面两侧剪力发生跳跃；横向集中力作用面两侧剪力发生跳跃；那么什么力作用面两侧弯矩会发生跳跃？11112 22 21.5m 1.5m1.5m3m2mP P=8KN=8KNq q=12KN/m=12KN/mAABB例题例题 求图示简支梁求图示简支梁1-11-1、2-22-2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。RRAA RRBB RRAA=15kN=15kNRRBB=29kN=29kN根据根据1-11-1截面截面左左侧的外力计算侧的外力计算QQ11、MM11 Q1=+RAP=158=7kN MM1

12、 1=+=+RRAA22PP(2(21.5)=1521.5)=15280.5=26 80.5=26 kNkNmm解：解：若根据若根据1-11-1截面截面右右侧的外力计算侧的外力计算QQ11、MM11QQ11=+(=+(qq3)3)RRBB=123=12329=7kN29=7kNMM1 1=-(=-(qq3)2.5+3)2.5+RRBB4=4=(123)2.5+294=26(123)2.5+294=26 kNmkNmRRAA=15kN=15kNRRBB=29kN=29kN根据根据2-22-2截面截面右右侧的外力计算侧的外力计算QQ22、MM22QQ2 2=+(=+(qq1.5)1.5)RRBB=

13、121.5=121.529=29=11kN11kNMM2 2=(qq1.5)1.5/2+1.5)1.5/2+RRBB1.5 1.5=(121.5)1.5/2+291.5=30 kNm(121.5)1.5/2+291.5=30 kNm根据2-2截面左侧外力计算Q2、M2,请自己完成!1 11 12 22 21.5m1.5m1.5m3m2mP=8KNq=12KN/mA AB BR RA A R RB B 梁的内力方程 内力图 建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所介绍的确定指定横截面上的剪力和际上与前面所介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过

14、程是相似的，所不同的，现在的弯矩的方法和过程是相似的，所不同的，现在的指定横截面是坐标为指定横截面是坐标为xx的横截面的横截面。需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量，而 Q(x)和 M(x)则是 x的函数。例题例题 悬悬臂臂梁梁在在BB、CC两两处处分分别别承承受受集集中中力力FFPP和和集集中中力力偶偶MM22FFPPl l 的的作作用用。梁梁的的全全长长为为22ll。试试求求梁梁的的剪剪力力和和弯弯矩方程。矩方程。FPl lABC CMO=2FPl 解：解：由载荷分布可知需要分为由载荷分布可知需要分为ACAC和和CBCB两段分析。两段分析。Oyx 以梁的左端以梁的左端AA为坐

15、标原点，建立为坐标原点，建立OxyOxy坐标系。坐标系。x1x2 在在ACAC和和CBCB两两段段分分别别以以坐坐标标为为xx11和和xx22的的横横截截面面将将梁梁截截开开，然然后后考考察察截截开开的的右右边边部部分分梁梁的的平平衡衡，由由平平衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。FQ(x)M(x)对对于于ACAC段段梁梁的的剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，在在xx11处处截截开开后后，考考察右边部分的平衡。察右边部分的平衡。FPl lABMO=2FPlOyxCFPMO=2FPll2l x1CB 根据平衡方程根据平衡方程 x1得得到到ACAC段段的

16、的剪剪力力方方程程与与弯弯矩方程：矩方程：FQ(x2)M(x2)得得到到CBCB段段的的剪剪力力方方程程与与弯弯矩方程：矩方程：FPl lABMO=2FPlOyxCFP2l x2B 对对于于CBCB段段梁梁的的剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，在在xx22处处截截开开后后，考考察右边部分的平衡。察右边部分的平衡。根据平衡方程根据平衡方程 x2 上上述述结结果果表表明明，ACAC段段和和CBCB段段的的剪剪力力方方程程是是相相同的；弯矩方程不同，但都是同的；弯矩方程不同，但都是xx的线性函数。的线性函数。注意：C截面两侧弯矩的跳跃情况！如如图图简简支支梁梁，梁梁上上承承受受集集度度为为qq的的均均布

17、布载载荷荷作作用用，梁梁的的长长度度为为22ll。试试求求梁的剪力和弯矩方程。梁的剪力和弯矩方程。ql l l lBAC例题例题根据平衡条件不难求得：根据平衡条件不难求得：FRBFRAOyx建立建立OxyOxy坐标系如图。此梁不需分段分析。坐标系如图。此梁不需分段分析。xFRAFQ(x)M(x)以以AA、BB之之间间坐坐标标为为xx的的任任意意截截面面为为假假想想截截面面，将将梁梁截截开开，取取左左段段为研究对象。为研究对象。xxFRAFQ(x)M(x)xOyxl lBACqFRBFRA由左段梁的平衡条件由左段梁的平衡条件 得得到到梁梁的的剪剪力力方方程程和和弯弯矩矩方程分别为方程分别为 这一

18、结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；弯矩方程是x的二次函数。例例题题Q QQ(xR qxq lqxA)=-=-2例题例题Q(x RP blA)=Q(x RP alB)=-=-Q Q例题例题Q QM MA AB BM Ma bC C注意：集中力偶M作用点C处弯矩的跳跃)()()()()(:22x LLMx L R x MLMR xQl x a CBBB-=-=例题P PB BA AL Lxx简支梁受移动荷载简支梁受移动荷载PP作用，试求梁的最作用，试求梁的最大弯矩为极大时荷载大弯矩为极大时荷载PP的位置。的位置。解：荷载荷载PP移至移至xx截面处，截面处，Mmax(x)=Px(L-x)/L位

19、置：位置：xx截面截面令dMc dx=0 x=L/2时，Mmax=P L/4跨中为最不利位置例题作图示平面刚架的内力图作图示平面刚架的内力图.BCA20kN 20kN10kN 10kN3m 3m2m 2m解：x xBCBC段段FN=0 Q=10kNM=-10 x kNm(0 x2)BABA段段x xFN=-10kNQ=20kNM=-20-20 x kNm(0 x3)一般将竖直杆的下端看作左端10kN轴 轴力 力图 图剪 剪力 力图 图10kN 10kN20kN 20kN弯 弯矩 矩图 图20kNm 20kNm20kNm 20kNm80kNm 80kNm 轴力正值画在外侧，负值画在内侧。轴力正值

20、画在外侧，负值画在内侧。剪力正值画在外侧，负值画在内侧。剪力正值画在外侧，负值画在内侧。弯矩正值画在受压侧。弯矩正值画在受压侧。载荷集度、剪力、弯矩之间的 微分关系 dxxFQFQ+dFQM M+d Mq(x)考察 dx 微段的受力与平衡 剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明 OxydxFy=0:MC=0:C略去高阶项，得到略去高阶项，得到11、梁上无分布荷载作用：、梁上无分布荷载作用：q(x)=0剪力图斜率为零，为平行于剪力图斜率为零，为平行于xx轴的直线轴的直线QC0C0 C C022、梁上作用有均布荷载、梁上作用有均布荷载:q(x)=C由：由：)()()常量 常量 C x Q(x qd

21、xx dQ(=由：由：D Cx x M C x Q(xx M+=)()d)(d由：由：D Cx x Q(C x qdxx dQ(+=)()根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力知内力Q Q、M M 的变化规律。的变化规律。剪力图为斜率为剪力图为斜率为CC的斜直线的斜直线（弯矩图为二次抛物线）（弯矩图为二次抛物线）顶点（极值点）：0有极小值0有极大值注意坐标方向注意坐标方向不同，曲线开不同，曲线开口方向不同口方向不同Qq0 q0q0q0M M由：由：E Dx Cx x MD Cx x Q(xx M+=+=221)()d)(d求出令令0)d)(d=x

22、 Q(xx M 实际上，除了在剪力为 实际上，除了在剪力为0 0的 的截面上存在弯矩的极值外，在 截面上存在弯矩的极值外，在集中力偶和横向集中力作用截 集中力偶和横向集中力作用截面处，也有可能获得弯矩的极 面处，也有可能获得弯矩的极值。值。为何？另另外外，除除非非有有横横向向集集中中力力作作用用，否否则则杆杆件件端端截截面面处处的的剪剪力力一一定定为零为零另另外外，除除非非有有集集中中力力偶偶作作用用，否否则则杆杆件件端端截截面面处处的的弯弯矩矩一一定定为为零零 各种形式荷载作用下的剪力、弯矩图CC尖角 尖角突变 突变PC无变化 无变化突变 突变m mQ 0Q 0Q 0Q 0q0q0q0q0剪

23、力图与弯矩图的绘制方法 根根据据载载荷荷及及约约束束力力情情况况对对杆杆件件分分段段，且且确确定定关关键面。键面。应用截面法确定关键面上的剪力和弯矩数值应用截面法确定关键面上的剪力和弯矩数值（假定剪力和弯矩都为正方向）。（假定剪力和弯矩都为正方向）。建建立立QQxx和和MMxx坐坐标标系系，并并将将关关键键面面上上的的剪剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。力和弯矩值标在相应的坐标系中。应应用用平平衡衡微微分分方方程程确确定定各各段段关关键键面面之之间间的的剪剪力力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。FA简简支支梁梁受受力力的的大大小小和和方方向向如如

24、图图所所示示。试试画画出出：其其剪剪力力图图和和弯弯矩矩图图，并并确确定定剪剪力力和和弯弯矩矩绝绝对对值值的最大值。的最大值。例 题1kN.m2kN 2kN1.5m 1.5m 1.5mFRAFRF求得求得AA、BB 两处的约束力两处的约束力 FFRRAA0.89 kN,0.89 kN,FFRRFF1.11 kN1.11 kN 根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 因 因为 为梁 梁上 上无 无分 分布 布载 载荷 荷作 作用 用，所 所以 以剪 剪力 力 Q Q图 图形 形均 均为 为平行于 平行于x x轴的直线。轴的直线。xQ/kNOxM/kN.mO确 确定 定关 关键 键面 面两 两侧 侧的

25、的剪 剪力 力和 和弯 弯矩 矩值 值，并 并将 将其 其标 标在 在坐 坐标 标系中。系中。1.11f0.89d d,e 1.665f0b1.3351.11eb 0.89,ca0a0.89FA1kN.m2kN1.5m 1.5m 1.5mFRFBCD EFRA 弯 弯矩 矩M M图 图形 形均 均为 为斜 斜直 直线 线。顺 顺序 序连 连接 接Q Q x x和 和M M x x坐 坐标 标系 系中 中各 各点 点，得 得到 到剪 剪力 力图 图与 与弯矩图。弯矩图。c0.335建立 建立Q-x Q-x和 和M-x M-x坐标系。坐标系。(发生在 发生在EF EF段 段)(发生在 发生在D D

26、、E E截面上 截面上)始终要注意剪力、始终要注意剪力、弯矩的跳跃问题！弯矩的跳跃问题！例 题qBADa 4aqaFAyFBy 外外伸伸梁梁的的受受力力以以及及各各部部分分尺尺寸寸如如图图所所示示。试试画画出出其其剪剪力力图图和和弯弯矩矩图图，并并确确定定剪剪力力和和弯弯矩矩绝对值的最大值。绝对值的最大值。根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 求得：求得：qBADa 4aqaFAyFByCOxQOxM 建 建立 立Q Q x x和 和M M x x坐标系。坐标系。9qa/4a7qa/4bdqacqaab,cqa2d 确 确定 定关 关键 键面 面上 上的 的剪 剪力 力和 和弯 弯矩 矩值

27、 值，并将其标在 并将其标在Q Q x x和 和M M x x坐标系中。坐标系中。在 在 AB AB段 段上 上，因 因有 有均 均布 布载 载荷 荷作 作用 用，剪 剪力 力图 图为 为一 一斜 斜直 直线 线；在 在CD CD段 段，因 因无 无分 分布 布载 载荷 荷作 作用 用，故 故剪 剪力 力图 图为 为平 平行 行于 于 x x轴 轴的 的直线。直线。在 在 AB AB段 段上 上，因 因有 有均 均布 布载 载荷 荷作 作用 用，弯 弯矩 矩图 图为 为二 二次 次抛 抛物 物线 线。且 且因 因q q向 向下 下为 为负 负，为 为上 上凸 凸抛 抛物 物线 线。从 从剪 剪

28、力 力图 图可 可知 知在 在 e e点 点剪 剪力 力为 为零 零，故 故此 此处 处有 有弯矩极值。弯矩极值。极值点的位置 极值点的位置可由几何关系 可由几何关系求得 求得 从 从图 图中 中不 不难 难得 得到 到剪 剪力 力与 与弯 弯矩 矩的 的绝 绝对 对值 值的 的最 最大 大值 值分 分别为 别为 例题4m 4m 4m3mAB CDEM Mq q解：求支反力求支反力作剪力图作剪力图Q Q7331kN q R QkN R QACA CA A3 47:=-=-+斜直线 斜直线段kN P q R FskN P q R FsCDA DA C3 81 4:11-=-=-=+斜直线 斜直线

29、段4m 4m 4m3mAB CDEM Mq qQ Q7313BD BD：水平直线 水平直线BE BE：水平直线：水平直线2作弯矩图作弯矩图M M 2020.516xx mkN QB3-=-kN P QB22=+mqP RxP qx R x)Q(CD CDAA50:11=-=-=令抛物线 抛物线4m 4m 4m3mAB CDEM Mq qQ Q73132M M 2020.51666x例题一般作剪力图时，从左往右，随力的方向走。例题Q例题Q谢谢观看/欢迎下载BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES.BY FAITH I BY FAITH