二次函数经典例题及解答(共12页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上二次函数一、中考导航图1.二次函数的意义;2.二次函数的图象;3.二次函数的性质 顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)4.二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式：y=ax2+bx+c(a0) 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)5.二次函数与一元二次方程的关系。6.抛物线y=ax2+bx+c的图象与a、b、c之间的关系。 三、中考知识梳理 1.二次函数的图象 在画二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+)2+ 的形式,先确定顶点(-,),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质

2、 抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-时,y最小值=;反之当a0时,抛物线开口向上;当a0时,抛物线交y轴于正半轴;当c0. bc0. 点M(a,bc)在第一象限. 答案:A. 点评:本题主要考查由抛物线图象会确定a、b、c的符号.例3 (2003岳阳)已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ). 分析:一次函数y=ax+c,当a0时,图象过一、三象限;当a0时,直线交y轴于正半轴;当c0时,二次函数y=ax2+bx+c的开口向上,而一次

3、函数y=ax+c应过一、三象限,故排除C;当a0即可.(2)根据二次函数的图象与x轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出k的值,可确定抛物线解析式;由P、Q关于此抛物线的对称轴对称得n1=n2,由n1=m12+m1,n2=m22+m2得m12+m1=m22+m2,即(m1-m2)(m1+m2+1)=0可求得m1+m2=-1. 解:(1)证明:=(2k+1)2-4(-k2+k) =4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1. 8k2+10, 即0,抛物线与x轴总有两个不同的交点. (2)由题意得x1+x2=-(2k+1), x1 x2=-k2+k. x12+x22=-2k2+

4、2k+1, (x1+x2)2-2x1x2=-2k2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k2+k)=-2k2+k+1, 4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1. 8k2=0,k=0, 抛物线的解析式是y=x2+x. 点P、Q关于此抛物线的对称轴对称, n1=n2. 又n1=m12+m1,n2=m22+m2. m12+m1=m22+m2, 即(m1-m2)(m1+m2+1)=0. P、Q是抛物上不同的点, m1m2,即m1-m20. m1+m2+1=0 即m1+m2=-1. 点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与x轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方

5、程相联系并联合命题是中考的热点.基础达标验收卷一、选择题: 1.(2003大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ). A.直线x=-3 B.直线x=3 C.直线x=-2 D.直线x=2 2.(2004重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,)在( ). A.第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限 3.(2004天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a0,则一定有( ). A.b2-4ac0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac4,那么AB的长是( ).A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m二、填空题 1.(2004河北)若将二次函数y=

6、x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则 y=_. 2.(2003新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_. 3.(2003天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_. 4.(2004武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_. 5.(2003黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_. 6.(2002北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点: 甲:对称轴是直线x=4; 乙:与x轴

7、两个交点的横坐标都是整数; 丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:三、解答题 1.已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的解析式; (2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当x0时,求使y2的x取值范围.2.已知抛物线y=- x2+(6- )x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称. (1)求m的值; (2)写出抛物线解析式及顶点坐标;(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.一、学科内综合题1.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图

8、象与x轴交于B、C两点,与y轴交于A点. (1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由;(2)如果点A的坐标为(0,-3),ABC=45,ACB=60,求这个二次函数的解析式.二、实际应用题3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系). 根据图象(图)提供的信息,解答下列问题: (1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第8个月公

9、司所获利润是多少万元?4.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m. (1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少

10、千米?答案:基础达标验收卷一、1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C二、1.(x-1)2+2 2.图象都是抛物线或开口向上或都具有最低点(最小值) 3.y=-x2+2x+ 4.如y=-x2+1 5.1 6.y=x2-x+3或y=-x2+x-3或y=-x2-x+1或y=-x2+x-1三、1.解:(1)函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2), 9+3b-1=2,解得b=-2. 函数解析式为y=x2-2x-1. (2)y=x2-2x-1=(x-1)2-2. 图象略. 图象的顶点坐标为(1,-2). (3)当x=3时,y=2,根据图象知,当x3时,y2. 当x0时,使y2的x的取值范围是

11、x3.2.(1)设A(x1,0) B(x2,0). A、B两点关于y轴对称. 解得m=6. (2)求得y=-x2+3.顶点坐标是(0,3) (3)方程-x2+(6-)x+m-3=0的两根互为相反数(或两根之和为零等).3.解:(1)符合条件的抛物线还有5条,分别如下: 抛物线AEC; 抛物线CBE; 抛物线DEB; 抛物线DEC; 抛物线DBC. (2)在(1)中存在抛物线DBC,它与直线AE不相交. 设抛物线DBC的解析式为y=ax2+bx+c. 将D(-2, ),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入,得 解这个方程组,得a=,b=- ,c=1.抛物线DBC的解析式为y=x2-x+1.

12、 【另法:设抛物线为y=a(x-1)(x-4),代入D(-2, ),得a=也可.】 又将直线AE的解析式为y=mx+n.将A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入,得 解这个方程组,得m=-3,n=-6. 直线AE的解析式为y=-3x-6.能力提高练习一、1.解:(1)抛物线开口向上,a0.又对称轴在y轴的左侧,-0. 又抛物线交于y轴的负半轴. c0. (2)如图,连结AB、AC.在RtAOB中,ABO=45,OAB=45.OB=OA.B(-3,0). 又在RtACO中,ACO=60, OC=OAcot60= ,C(,0). 设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c(a0). 由题意

13、 所求二次函数的解析式为y=x2+ (-1)x-3.3.解:(1)设s与t的函数关系式为s=at2+bt+c由题意得 或 解得 s=t2-2t. (2)把s=30代入s=t2-2t, 得30=t2-2t. 解得t1=0,t2=-6(舍). 答:截止到10月末公司累积利润可达到30万元. (3)把t=7代入,得s=72-27=10.5; 把t=8代入,得s=82-28=16. 16-10.5=5.5. 答:第8个月公司获利润5.5万元.4.解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2,桥拱最高点O到水面CD的距离为hm, 则D(5,-h),B(10,-h-3). 解得 抛物线的解析式为y=-x2. (2)水位由CD处涨到点O的时间为:10.25=4(小时). 货车按原来速度行驶的路程为:401+404=200280, 货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车速度提高到xkm/h. 当4x+401=280时,x=60. 要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h.专心-专注-专业