投资组合理论马克维茨均值方差模型CAPM.pptx

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1、现代投资组合理论第 8 章哈里 马科维茨生于美国伊利诺伊州。在芝加哥大学1950年获得经济学硕士、1952年博士学位。马科维茨是享誉美国和国际金融经济学界的大师，曾任美国金融学会主席、管理科学协会理事、计量学会委员和美国文理科学院院士。 1989年美国运筹学会、管理科学协会联合授予马科维茨、冯?诺伊曼运筹学理论奖，以表彰他们在证券组合选择理论、稀疏矩阵技术、SIMSCRIPT程序语言等方面所作的理论突破和技术创新工作。哈里哈里 马科维茨马科维茨Harry M. Markowitz(1927年年8月月24日日-) 1952年在学术论文资产选择：有效的多样化中，首次应用资产组合报酬的均值和方差这两

2、个数学概念，从数学上明确地定义了投资者偏好。第一次将边际分析原理运用于资产组合的分析研究。这一研究成果主要用来帮助家庭和公司如何合理运用、组合其资金，以在风险一定时取得最大收益。马科维茨的学术活动根本上是专注于金融微观分析领域。1959年其代表作资产组合：有效的多样化的出版是其学术生涯的顶峰，以后他继续进行他的研究工作，但根本上是对他五十年代证券组合选择理论的完善，及一些技术、方法方面的工作，没有重大的理论突破。Ch.8 Ch.8 现代投资组合理论现代投资组合理论Modern Portfolio Theory (MPT)Modern Portfolio Theory (MPT) 8.1 8.1

3、 资产组合理论资产组合理论 8.2 8.2 资本资产定价模型资本资产定价模型CAPMCAPM 8.3 8.3 套利定价理论套利定价理论APTAPT 8.4 8.4 有效市场假说有效市场假说EMHEMH蒙代尔(Robert A. Mundell)米尔顿弗里德曼(Friedman，Milton)萨缪尔森Samuelson 现代投资理论的产生以现代投资理论的产生以1952年年3月月Harry.M. Markowitz发表的投资组合选择为标志发表的投资组合选择为标志 1964、1965、1966年林特纳年林特纳John Lintner、布、布莱克莱克Fischer Black和摩森和摩森Jan Mos

4、sin三人三人分别独立提出资本资产定价模型。分别独立提出资本资产定价模型。1962年，年，Willian Sharpe对资产组合模型进行简化，提出了资本资产对资产组合模型进行简化，提出了资本资产定价模型定价模型Capital asset pricing model，CAPM 1976年，年，Stephen Ross提出了替代提出了替代CAPM的套利定的套利定价模型价模型Arbitrage pricing theory，APT。 上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场能够地按照定价理论的问题也发生了兴趣，能够地按照定价理论的问题也发生了兴趣，19

5、65年，年，Eugene Fama在其博士论文中提出了有效市场假说在其博士论文中提出了有效市场假说Efficient market hypothesis，EMH8.1 8.1 资产组合理论资产组合理论8.1.18.1.1资产组合理论的根本假设资产组合理论的根本假设8.1.28.1.2资产组合的风险与收益资产组合的风险与收益8.1.38.1.3资产组合的可行集和有效集资产组合的可行集和有效集8.1.48.1.4最优风险资产组合的决定最优风险资产组合的决定8.1.18.1.1资产组合理论的根本假设资产组合理论的根本假设1.1.现代证券组合理论现代证券组合理论Modern Portfolio Mod

6、ern Portfolio TheoryTheory是关于在收益不确定条件下投资行是关于在收益不确定条件下投资行为的理论，为的理论，它由美国经济学家哈里它由美国经济学家哈里马科维兹在马科维兹在19521952年率年率先提出。先提出。该理论为那些想增加个人财富，但又不甘冒风该理论为那些想增加个人财富，但又不甘冒风险的投资者指明了一个获得最正确投资决策险的投资者指明了一个获得最正确投资决策的方向。的方向。风险与收益相伴而生。即投资者追求高收益那风险与收益相伴而生。即投资者追求高收益那么可能面临高风险。投资者大多采用组合投么可能面临高风险。投资者大多采用组合投资以便降低风险。但是，分散化投资在降低资

7、以便降低风险。但是，分散化投资在降低风险的同时，也可能降低收益。风险的同时，也可能降低收益。马科维兹的证券组合理论就是针对风险和收益马科维兹的证券组合理论就是针对风险和收益这一矛盾而提出的。这一矛盾而提出的。马柯维茨的资产组合理论马柯维茨的资产组合理论 马柯维兹马柯维兹(Harry Markowitz)1952年在年在 Journal of Finance发表了论文资产组合的发表了论文资产组合的选择，标志着现代投资理论开展的开端。选择，标志着现代投资理论开展的开端。 马克维茨马克维茨1927年年8月出生于芝加哥一个店主月出生于芝加哥一个店主家庭，大学在芝大读经济系。在研究生期间，家庭，大学在芝

8、大读经济系。在研究生期间，他作为库普曼的助研，参加了计量经济学会他作为库普曼的助研，参加了计量经济学会的证券市场研究工作。他的导师是芝大商学的证券市场研究工作。他的导师是芝大商学院院长财务学杂志主编凯彻姆教授。凯院院长财务学杂志主编凯彻姆教授。凯要马克维茨去读威廉姆斯的投资价值理论要马克维茨去读威廉姆斯的投资价值理论一书。一书。 马想为什么投资者并不简单地选内在价值最马想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股票，他终于明白，投资者不仅要考虑大的股票，他终于明白，投资者不仅要考虑收益，还担忧风险，分散投资是为了分散风收益，还担忧风险，分散投资是为了分散风险。同时考虑投资的收益和风险，马是第一险

9、。同时考虑投资的收益和风险，马是第一人。当时主流意见是集中投资。人。当时主流意见是集中投资。 马克维茨运用线性规划来处理收益与风险的权衡问马克维茨运用线性规划来处理收益与风险的权衡问题，给出了选择最正确资产组合的方法，完成了论文，题，给出了选择最正确资产组合的方法，完成了论文，19591959年出版了专著，不仅分析了分散投资的重要性，还年出版了专著，不仅分析了分散投资的重要性，还给出了如何进行正确的分散方法。给出了如何进行正确的分散方法。 马的奉献是开创了在不确定性条件下理性投资者进行马的奉献是开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资的理论和方法，第一次采用定量的方法证资产组合投资的理

10、论和方法，第一次采用定量的方法证明了分散投资的优点。他用数学中的均值方差，使人们明了分散投资的优点。他用数学中的均值方差，使人们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供最按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供最大收益的资产组合。获大收益的资产组合。获19901990年诺贝尔经济学奖。年诺贝尔经济学奖。2.2.现代证券组合理论的根本假设：为了弄清资产是如何现代证券组合理论的根本假设：为了弄清资产是如何定价的，需要建立一个模型即一种理论，模型应将定价的，需要建立一个模型即一种理论，模型应将注意力集中在最主要的要素上，因此需要通过对环注意力集中在最主要的要素上，因此需要通过对环境作一些

11、假设，来到达一定程度的抽象。境作一些假设，来到达一定程度的抽象。投资者都是以期望收益率和方差标准差来评价资产投资者都是以期望收益率和方差标准差来评价资产组合组合PortfolioPortfolio的效用大小划或风险大小。的效用大小划或风险大小。投资者是永不满足的和风险厌恶的，即是理性的。因此，投资者是永不满足的和风险厌恶的，即是理性的。因此，当面临其他条件相同的两种选择时，将选择具有较当面临其他条件相同的两种选择时，将选择具有较高期望收益率或较小标准差的投资组合。高期望收益率或较小标准差的投资组合。单一资产都是无限可分的，可按一定比例购置一定数量单一资产都是无限可分的，可按一定比例购置一定数量

12、的资产。的资产。投资者可按相同的无风险利率借入或贷出资金。投资者可按相同的无风险利率借入或贷出资金。税收和交易费用本钱均忽略不计。税收和交易费用本钱均忽略不计。 所有投资者都有相同的投资期限，即投资者的投资为所有投资者都有相同的投资期限，即投资者的投资为单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。 对于所有投资者，无风险利率相同；对于所有投资者，无风险利率相同； 对于所有投资者，信息是免费的且是立即可得到的；对于所有投资者，信息是免费的且是立即可得到的； 投资者具有相同的预期同质期望，所有投资者对投资者具有相同的预期同质期望，所有投资者对期望回报率、标准

13、差和证券之间的协方差有相同的理期望回报率、标准差和证券之间的协方差有相同的理解，即他们对证券的评价和经济形势的看法都一致。解，即他们对证券的评价和经济形势的看法都一致。 通过这些假设，模型将情况简化为一种极端的情形：通过这些假设，模型将情况简化为一种极端的情形：证券市场是完全市场，每一个人都有相同的信息，并证券市场是完全市场，每一个人都有相同的信息，并对证券的前景有一致的看法，这意味着投资者以同一对证券的前景有一致的看法，这意味着投资者以同一方式来分析和处理信息，每一个人采取同样的投资态方式来分析和处理信息，每一个人采取同样的投资态度，通过市场上投资者的集体行为，可以获得每一证度，通过市场上投

14、资者的集体行为，可以获得每一证券的风险和收益之间均衡关系的特征。券的风险和收益之间均衡关系的特征。8.1.28.1.2资产组合的风险与收益资产组合的风险与收益1. 1. 资产组合资产组合portfolioportfolio：是使用不同的证：是使用不同的证券和其他资产所构成的集合。券和其他资产所构成的集合。 任何投资者都希望获得最大的回报，但较大任何投资者都希望获得最大的回报，但较大的回报伴随着较大的风险。资产组合的目的的回报伴随着较大的风险。资产组合的目的是：通过多样化来分散或减少风险，在适当是：通过多样化来分散或减少风险，在适当的风险水平下获得最大的预期回报，或是获的风险水平下获得最大的预期

15、回报，或是获得一定的预期回报使风险最小。得一定的预期回报使风险最小。100万万60万万房地产房地产20万万政府公债政府公债20万万股票股票2. 2. 资产组合的预期收益：是组合中各种证券的预期资产组合的预期收益：是组合中各种证券的预期收益收益(ri)(ri)的加权平均数。其中每一证券的权重的加权平均数。其中每一证券的权重(wi)(wi)等于该证券在整个组合中所占的投资比例。等于该证券在整个组合中所占的投资比例。 假设组合的收益为假设组合的收益为rprp，组合中包含，组合中包含n n种证券，每种种证券，每种证券的收益为证券的收益为riri，它在组合中的权重是，它在组合中的权重是wiwi，那么，那

16、么组合的投资收益为：组合的投资收益为：1111nnpi iiiiiniiErEwrw Erw（）（）其中3. 3. 资产组合的风险：资产组合的风险： 作为风险测度的方差是回报相对于它的预期回报作为风险测度的方差是回报相对于它的预期回报的离散程度，的离散程度， 资产组合的方差不仅与其组成证券的方差有关，资产组合的方差不仅与其组成证券的方差有关，还与组成证券之间的相关程度有关。还与组成证券之间的相关程度有关。 证券之间相互影响产生的收益的不确定性可用协证券之间相互影响产生的收益的不确定性可用协方差方差COV和相关系数和相关系数来表示。来表示。1 1协方差协方差(covariance)(covari

17、ance)：是测量两个随机变量之间：是测量两个随机变量之间的相互关系或互动性的统计量。的相互关系或互动性的统计量。资产组合的协方差是测度两种资产收益互补程度的指标。资产组合的协方差是测度两种资产收益互补程度的指标。它测度的是两个风险资产收益相互影响的方向与程它测度的是两个风险资产收益相互影响的方向与程度。度。协方差为正意味着两种资产的收益同方向变动，为负那协方差为正意味着两种资产的收益同方向变动，为负那么意味着反方向变动。相对小的或么意味着反方向变动。相对小的或0 0值的协方差说明：值的协方差说明：两种证券之间的回报率之间只有很小的互动关系或两种证券之间的回报率之间只有很小的互动关系或没有任何

18、互动关系。没有任何互动关系。协方差的计算公式为：协方差的计算公式为：jjiijiijijRERREREcov2 2相关系数：相关系数：为了更清楚地说明两种证券之间的相关程度，通常把为了更清楚地说明两种证券之间的相关程度，通常把协方差正规化，使用证券协方差正规化，使用证券i i和证券和证券j j的相关系数的相关系数ijij。相关系数与斜方差的关系为：两变量协方差除以两标相关系数与斜方差的关系为：两变量协方差除以两标准差之积等于它们的相关系数。准差之积等于它们的相关系数。相关系数范围在相关系数范围在1 1和和+1+1之间，之间，1 1说明完全负相关，说明完全负相关，+1+1说明完全正相关，多数情况

19、是介于这两个极端值说明完全正相关，多数情况是介于这两个极端值之间。之间。 相关系数的计算公式为：相关系数的计算公式为：jiijijijjiijij：cov则有3 3资产组合的风险：资产组合的风险：1covjicovjicovjicov22112ijjiijjiijijijjNiNjiijpxx，即时，当存在下列关系：协方差与相关系数关程度。的相在一个共同周期中变动反映了两种证券的收益的收益的协方差，证券表示证券时，其中当n222i 11,1,1nnnpiiijijijijij i ji jWWWww 资产组合方差的计算公式资产组合方差的计算公式221121 12 211222111222( )

20、( )().( )( ) .( ) ( )( ) .( )pppnni ii iiin nnnnnnD rE rE rEwrEwrE wrwrwrwE rw E rw E rE w rE rw rE rw rE r 证明：证明：证明：将平方项展开得到将平方项展开得到211122222111,22111,1222 ( )( ) .( )( )( ) ( )( ), ( ) (nnnnnniiiijiijjiiji jnnniiijijiiji jnijiji jiiiiiiiiEw rE rw rE rw rE rwE rE rww E rE rrE rwwwwwE rE rE rE r ( )

21、jjijijrE r331,1333112233,1,1,112121313212123233131323212121313232322211,1()()()222, ijijiji jjjjjjjji jji jji jnnnpiiijijiiji jw ww ww ww ww ww ww ww ww ww ww ww ww wi jnww w 同理，当时2211,1nnniiijijijiiji jww w 总结对于包含对于包含n n个资产的组合个资产的组合p p，其总收益的期望值和方差，其总收益的期望值和方差分别为：分别为：1111nnpi iiiiiniiErEwrw Erw（）（）其

22、中4.4.分散原理分散原理1 1当组合中只有两种证券当组合中只有两种证券N=2N=2时时21_2_1_1_rrrrxxixpNii211221222221211122covxxxxxxjNiNjiijp) 10 , 10 , 11()()(22122122211212122222121xxxxxxxx组合的风险变小不同相关系数下的组合的标准差不同相关系数下的组合的标准差211221122222211222112211221()01()pppxxxxxxxxxx 当，表明两种证券的收益完全负相关当，表明两种证券的收益完全无关当，表明两种证券的收益完全正相关 由此可见，当相关系数从由此可见，当相关

23、系数从-1-1变化到变化到1 1时，证券组合的风险时，证券组合的风险逐渐增大。除非相关系数等于逐渐增大。除非相关系数等于1 1，二元证券投资组合的风险始，二元证券投资组合的风险始终小于单独投资这两种证券的风险的加权平均数，即通过证终小于单独投资这两种证券的风险的加权平均数，即通过证券组合，可以降低投资风险。券组合，可以降低投资风险。例题例题 假定投资者选择了假定投资者选择了A A和和B B两个公司的股票作为两个公司的股票作为组合对象，有关数据如下：组合对象，有关数据如下： ；时，当；时，当；时，当时当02. 01045. 0006. 01001. 002. 004. 02215. 02121,

24、21xx04. 0,08. 0,18. 0,25. 0222222_BA_rpABpABpABABABBABABBAApBAxxxxBApBArrrr2 2组合中证券种类组合中证券种类N N大于大于2 2时时NoImageijNNiNNNxxxxxNiNjijijiNijNiNjijiijiNiijNiNjiijpcov_11221211212112121cov)1()1()(covcov如果等权重投资p组合中证券数量系统性风险非系统性风险总风险总结：总结：组合的收益是各种证券收益的加权平均值，因组合的收益是各种证券收益的加权平均值，因此，它使组合的收益可能低于组合中收益最此，它使组合的收益可

25、能低于组合中收益最大的证券，而高于收益最小的证券。大的证券，而高于收益最小的证券。只要组合中的资产两两不完全正相关，那么组只要组合中的资产两两不完全正相关，那么组合的风险就可以得到降低。合的风险就可以得到降低。只有当组合中的各个资产是相互独立的且其收只有当组合中的各个资产是相互独立的且其收益和风险相同，那么随着组合的风险降低的益和风险相同，那么随着组合的风险降低的同时，组合的收益等于各个资产的收益。同时，组合的收益等于各个资产的收益。8.1.38.1.3资产组合的可行集和有效集资产组合的可行集和有效集1. 可行集与有效集可行集与有效集2. 可行集：资产组合的时机集合可行集：资产组合的时机集合p

26、ortfolio opportunity set，即资产可构造出的所有组合，即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。的期望收益和方差。3. 有效组合有效组合efficient portfolio ：根据既定风：根据既定风险下收益最高或者既定收益下风险最小的原那么险下收益最高或者既定收益下风险最小的原那么建立起来的证券组合。每一个组合代表一个点。建立起来的证券组合。每一个组合代表一个点。4. 有效集有效集efficient set ：又称为有效边界：又称为有效边界efficient frontier,它是有效组合的集合点它是有效组合的集合点的连线的连线 ，即在坐标系中有效组合的预期收益和，即在

27、坐标系中有效组合的预期收益和风险的组合形成的轨迹。风险的组合形成的轨迹。2. 2. 两种风险资产构成的组合的风险与收益可行集两种风险资产构成的组合的风险与收益可行集1 1假设两种资产的期望收益、方差和它们之间的相假设两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，那么由上一章的结论可知两种资产构成的组合关系数，那么由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望收益和方差为：之期望收益和方差为：1 12 22222211221212222211221212121211 112222211112111212221()(1)()(1)2(1)pppprw rw rwww wwww wwwrww rw rw

28、wwww 由于，则由此就构成了资产在给定条件下的可行集！由此就构成了资产在给定条件下的可行集！ 注意到：两种资产的相关系数为注意到：两种资产的相关系数为1 112121 1。 因此，分别在因此，分别在12121 1和和12121 1时，可以得到资产时，可以得到资产组合的可行集的顶部边界和底部边界。其他所有的可组合的可行集的顶部边界和底部边界。其他所有的可能情况，在这两个边界之中。能情况，在这两个边界之中。 组合的风险收益二维表示如下：组合的风险收益二维表示如下：收益收益rp P风险风险p2 2两种完全正相关资产构成的组合的可行集：两种完全正相关资产构成的组合的可行集：两种资产完全正相关，即两种

29、资产完全正相关，即12 12 1 1，那么有，那么有p1111211 1121p111p221122()(1)()(1)10pppwwwrww rw rwrrwrrrr当 时，当 时，所以，其可行集连接两点（ ，）和（ ，）的直线。1111212121 112212121221212221212()(1)()/()()(1)()/()(1 ()/()pppppppwwwwrwrw rrrrrrrr 则 从而故命题成立，证毕。命题命题8.18.1：完全正相关的两种资产构成的可行集是一：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。条直线。证明：由资产组合的计算公式可得证明：由资产组合的计算公式可得

30、结论：两种资产组合完全正相关结论：两种资产组合完全正相关 12 12 1 1 ，当，当权重权重w1w1从从1 1减少到减少到0 0时可以得到一条直线，该直线就时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的可行集假定不允许构成了两种资产完全正相关的可行集假定不允许买空卖空。买空卖空。A收益收益 Erp风险风险p11( ,)r22( ,)rB12 1 12 2两种完全负相关资产构成的组合的可行集：两两种完全负相关资产构成的组合的可行集：两种资产完全负相关，即种资产完全负相关，即12 =12 =1 1，那么有，那么有2222p111121112111211 11221p1221p111121

31、221p1121112()(1)2(1)|(1)|()(1)0()(1)() (1)pwwwwwwwrww rwrwwwwwwwww =当时,当时，=当时，=命题8.2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。条直线，其截距相同，斜率异号。证明：证明：2112111121()(1)()ppwwwwwf当时， 则 可 以得 到， 从 而221212121212221212()(1)ppppprrrrrrrr2112112111212221212,()(1)()ppppwwwwrrrrrr 同理可证当时，则命题成立，证毕。两种证券完全负

32、相关，其构成的可行集是两条直线，两种证券完全负相关，其构成的可行集是两条直线，图示如下：图示如下：收益收益rp风险风险p122212r rr 22( ,)r11( ,)rAB12 -1-13 3两种不完全相关的风险资产的组合的可行集两种不完全相关的风险资产的组合的可行集11 1122222111121112122222111121()(1)()(1)2(1)0()(1)1pppr wwrw rwwwwwwww 当1时尤其当 时这是一条二次曲线，事实上，当1时，可行集都是二次曲线。总结：在各种相关系数下、两种风险资产构成组总结：在各种相关系数下、两种风险资产构成组合的可行集合的可行集收益收益Er

33、p风险风险p=1=1=0=0=-1=-111( ,)r22( ,)r122212r rr BA1212121212121111 由图可见，可行集的弯曲程度取决于相关系数。随着的增大，弯曲程度增加；当 时，呈现折线状，也就是弯曲度最大；当 时，弯曲度最小，也就是没有弯曲，则为一条直线；当，就介于直线和折线之间，成为平滑的曲线，而且越大越弯曲。3 3。三种风险资产的组合二维表示可行集。三种风险资产的组合二维表示可行集 一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两两完全正负相关是不可能的，因此，一般假两两完全正负相关是不可能的，因此，一般假设两种资产之间是不完全

34、相关一般形态。设两种资产之间是不完全相关一般形态。收益收益rp风险风险p12344 4。n n种风险资产的组合二维表示可行集种风险资产的组合二维表示可行集 类似于类似于3 3种资产构成组合的算法，我们可以得到种资产构成组合的算法，我们可以得到一个月牙型的区域为一个月牙型的区域为n n种资产构成的组合的可行集。种资产构成的组合的可行集。收益收益rp风险风险pn种风险资产的组合二维表示总结：可行集的两个性质总结：可行集的两个性质1)1)在在n n种资产中，如果种资产中，如果至少存在三项资产至少存在三项资产彼此不完全相关，彼此不完全相关，那么可行集合将是那么可行集合将是一个二维的实体区一个二维的实体

35、区域。域。2)2)可行区域是向左侧可行区域是向左侧凸出的。因为任意凸出的。因为任意两项资产构成的投两项资产构成的投资组合都位于两项资组合都位于两项资产连线的左侧。资产连线的左侧。不可能的可行集不可能的可行集收益收益rp风险风险pAB5 5。风险资产组合的有效集。风险资产组合的有效集 在可行集中，有一局部投资组合从风险水平和收在可行集中，有一局部投资组合从风险水平和收益水平这两个角度来评价，会明显优于另外一些益水平这两个角度来评价，会明显优于另外一些投资组合，其特点是在同种风险水平的情况下，投资组合，其特点是在同种风险水平的情况下，提供最大预期收益率；在同种收益水平的情况下，提供最大预期收益率；

36、在同种收益水平的情况下，提供最小风险。我们把满足这两个条件均方准提供最小风险。我们把满足这两个条件均方准那么的资产组合，称之为有效资产组合；那么的资产组合，称之为有效资产组合； 由所有有效资产组合构成的集合，称之为有效集由所有有效资产组合构成的集合，称之为有效集或有效边界。或有效边界。 投资者的最优资产组合将从有效集中产生，而对投资者的最优资产组合将从有效集中产生，而对所有不在有效集内的其它投资组合那么无须考虑。所有不在有效集内的其它投资组合那么无须考虑。6 6。二元证券组合。二元证券组合A A，B B下的有效边界下的有效边界A1，00.18组合预期收益D1/3,2/3CFGB0，1组合标准差

37、E1AB1AB0AB0.020.2150.0450.06X0.080.257 7。多元证券组合下的有效边界。多元证券组合下的有效边界N2N2pr_pO有效边界有效边界GPSG可行域可行域SPBAHM整个可行集中，整个可行集中，G点为最左边点为最左边的点具有最小标准差。从的点具有最小标准差。从G点沿可行集右上方的边界直点沿可行集右上方的边界直到整个可行集的最高点到整个可行集的最高点S具具有最大期望收益率，这一边有最大期望收益率，这一边界线界线GPS即是有效集。如：自即是有效集。如：自G点向右上方的点向右上方的GPS上的点所上的点所对应的投资组合如，与可行对应的投资组合如，与可行集内其它点所对应的

38、投资组合集内其它点所对应的投资组合如点比较起来，在相同如点比较起来，在相同风险水平下，可以提供最大的风险水平下，可以提供最大的预期收益率；而与点比较起预期收益率；而与点比较起来，在相同的收益水平下，来，在相同的收益水平下，点承担的风险又是最小的。点承担的风险又是最小的。总总 结结A A、两种资产的可行集、两种资产的可行集 完全正相关是一条直线完全正相关是一条直线 完全负相关是两条直线完全负相关是两条直线 完全不相关是一条抛物线完全不相关是一条抛物线 其他情况是界于上述情况的曲线其他情况是界于上述情况的曲线B B、两种资产的有效集、两种资产的有效集 左上方的线左上方的线 C C、多个资产的有效边

39、界、多个资产的有效边界可行集：月牙型的区域可行集：月牙型的区域D D、多个资产的有效边界、多个资产的有效边界( (有效集有效集) ) ：左上方的线：左上方的线8 8。马克维茨的数学模型。马克维茨的数学模型*均值均值- -方差方差Mean-varianceMean-variance模型是由哈里模型是由哈里马克马克维茨等人于维茨等人于19521952年建立的，其目的是寻找有效边界。年建立的，其目的是寻找有效边界。通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。害怕风险和收益多多益善。 因此，根据上一章的占优原那么这可以转化为因此，

40、根据上一章的占优原那么这可以转化为一个优化问题，即一个优化问题，即1 1给定收益的条件下，风险最小化给定收益的条件下，风险最小化2 2给定风险的条件下，收益最大化给定风险的条件下，收益最大化1111mins.t.,1nnijijijni iiniiw ww rcw11111212.=( , ,., )w=( ,.,),nnnnTnncr rrw wwr若已知资产组合收益、方差 协方差矩阵和组合各个资产期望收益向量，求解组合中资产权重向量则有对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格朗日乘子朗日乘子和和来解决这一优化问题。构造拉格朗来解决这一优化问题

41、。构造拉格朗日函数如下日函数如下1111L()(1)nnnnijiji iiijiiwwwrcw上式左右两边对上式左右两边对wiwi求导数，令其一阶条件为求导数，令其一阶条件为0 0，得，得到方程组到方程组111122121000njjjnjjjnjnjnjnLwrwLwrwLwrw 和方程和方程 111niiiniiw rcw这样共有这样共有n n2 2方程，未知数为方程，未知数为wiwii i1 1，2,n2,n、和和，共有，共有n n2 2个未知量，其解是存在的。个未知量，其解是存在的。注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代数加以解决。数

42、加以解决。例：假设三项不相关的资产，其均值分别为例：假设三项不相关的资产，其均值分别为1 1，2 2，3 3，方差都为，方差都为1 1，假设要求三项资产构成的组合期望，假设要求三项资产构成的组合期望收益为收益为2 2，求解最优的权重。，求解最优的权重。100010001 由于1=(1 ,2,3) ,2Tc r3111113222123332133123131231020302321jjjjjjjjji iiiiLwrwwLwrwwLwrwww rwwwwwww12301/31/31/31/3www课外练习：课外练习： 假设三项不相关的资产。其均值分别为假设三项不相关的资产。其均值分别为1，2，

43、3，方差都为，方差都为1，假设要求三项资产构，假设要求三项资产构成的组合期望收益为成的组合期望收益为1，求解最优的权重。，求解最优的权重。由此得到组由此得到组合的方差为合的方差为2138.1.48.1.4最优风险资产组合的决定最优风险资产组合的决定1 1。由于假设投资者是风险厌恶的，因此，最优投资。由于假设投资者是风险厌恶的，因此，最优投资组合必定位于有效集边界上，其他非有效的组组合必定位于有效集边界上，其他非有效的组合可以首先被排除。合可以首先被排除。2 2。虽然投资者都是风险厌恶的，但程度有所不同，。虽然投资者都是风险厌恶的，但程度有所不同，因此，最终从有效边界上挑选那一个资产组合，因此，

44、最终从有效边界上挑选那一个资产组合，那么取决于投资者的风险躲避程度。那么取决于投资者的风险躲避程度。3 3。度量投资者风险偏好的无差异曲线与有效边界共。度量投资者风险偏好的无差异曲线与有效边界共同决定了最优的投资组合。同决定了最优的投资组合。4.4.无差异曲线：描述理无差异曲线：描述理性投资者对风险偏好性投资者对风险偏好程度的曲线。程度的曲线。同一条无差异曲线同一条无差异曲线, , 给给投资者提供的效用投资者提供的效用即满足程度是无差即满足程度是无差异的，异的，无差异曲线向右上方倾无差异曲线向右上方倾斜斜, ,高风险被其具有的高风险被其具有的高收益所弥补。高收益所弥补。对于每一个投资者对于每一

45、个投资者, ,无差无差异曲线位置越高，该异曲线位置越高，该曲线上对应证券组合曲线上对应证券组合给投资者提供的满意给投资者提供的满意程度越高。程度越高。不同理性投资者具有不同风险厌恶程度不同理性投资者具有不同风险厌恶程度 5 5、最优投资组合确实定：投资者效用无差异曲、最优投资组合确实定：投资者效用无差异曲线和有效边界的切点线和有效边界的切点A A就是多元证券组合的最就是多元证券组合的最正确组合点。正确组合点。Opr_p3I2I1IASG 最优资产组合位于无最优资产组合位于无差异曲线差异曲线I2与有效集与有效集相切的切点相切的切点A处。处。 由由G点可见，对于更点可见，对于更害怕风险的投资者，害

46、怕风险的投资者，他在有效边界上的点他在有效边界上的点具有较低的风险和收具有较低的风险和收益。益。 6 6、资产组合理论的优点、资产组合理论的优点 首次对风险和收益进行精确的描述，解决对风险首次对风险和收益进行精确的描述，解决对风险的衡量问题，使投资学从一个艺术迈向科学。的衡量问题，使投资学从一个艺术迈向科学。 分散投资的合理性为基金管理提供理论依据。单分散投资的合理性为基金管理提供理论依据。单个资产的风险并不重要，重要的是组合的风险。个资产的风险并不重要，重要的是组合的风险。 从单个证券的分析，转向组合的分析从单个证券的分析，转向组合的分析 7 7、资产组合理论的缺点、资产组合理论的缺点当证券

47、的数量较多时，计算量非常大，使模型应用当证券的数量较多时，计算量非常大，使模型应用受到限制。受到限制。解的不稳定性。解的不稳定性。重新配置的高本钱。重新配置的高本钱。因此，马克维茨及其学生夏普就可是寻求更为简便因此，马克维茨及其学生夏普就可是寻求更为简便的方法，这就是的方法，这就是CAPMCAPM。8.2 8.2 资本资产定价模型资本资产定价模型CAPMCAPM8.2.1 CAPM的假设条件的假设条件8.2.2别离定理别离定理8.2.3资本市场线资本市场线CML8.2.4证券市场线证券市场线SML8.2.5 CAPM的扩展形式的扩展形式8.2.1 CAPM的假设条件的假设条件1.资本资产定价模

48、型资本资产定价模型Capital Asset Pricing Model，CAPM:是由美国是由美国Stanford大学大学教授夏普等人在马克维茨的证券投资组合教授夏普等人在马克维茨的证券投资组合理论根底上提出的一种证券投资理论。理论根底上提出的一种证券投资理论。它是现代金融学的奠基石，该模型对于资产风它是现代金融学的奠基石，该模型对于资产风险与其收益率之间的关系给出了精确的预险与其收益率之间的关系给出了精确的预测。测。CAPM解决了所有人按照组合理论投资下，资解决了所有人按照组合理论投资下，资产的收益与风险的问题。产的收益与风险的问题。CAPM 理论包括理论包括两个局部：资本市场线两个局部：

49、资本市场线CML和证券市和证券市场线场线SML。它提供了一种对潜在投资工程估计其收益率的它提供了一种对潜在投资工程估计其收益率的方法。模型使得我们能对不在市场交易的方法。模型使得我们能对不在市场交易的资产同样做出合理的估价。资产同样做出合理的估价。Markowitz, Sharpe, Lintner 与与 Mossin等做等做出了非常重要的奉献。出了非常重要的奉献。夏普的夏普的CAPM模型模型 夏普夏普(William Sharpe)是美国斯坦福大学教授。是美国斯坦福大学教授。夏普夏普1934年年6月出生于坎布里奇，月出生于坎布里奇，1951年，夏普进入年，夏普进入加大伯克莱分校学医，后主修经

50、济学。加大伯克莱分校学医，后主修经济学。1956年进入兰年进入兰德公司，同时读洛杉矶分校的博士学位。在选择论文德公司，同时读洛杉矶分校的博士学位。在选择论文题目时，他向同在兰德公司的马克维茨求教，在马克题目时，他向同在兰德公司的马克维茨求教，在马克维茨的指导下，他开始研究简化马克维茨模型的课题。维茨的指导下，他开始研究简化马克维茨模型的课题。 19611961年他写出博士论文，提出单因素模型。这极年他写出博士论文，提出单因素模型。这极大地简少了计算数量。在大地简少了计算数量。在15001500只股票中选择资产组合只股票中选择资产组合只需要计算只需要计算45014501个参数，而以前需要计算个参