初中数学知识点详解.pdf

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1、解直角三角形解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。解直角三角形锐角三角形函数（1）互余角的三角函数值之间的关系：若 A+B=90，那么 sinA=cosB 或 sinB=cosA（2）同角的三角函数值之间的关系：sin2A+cos2A=1TANA=sinA/cosAtanA=1/tanBa/sinA=b/sinB=c/sinC（3）锐角三角函数随角度的变化规律：角 A 的 tan 值和 sin 值随着角度的增大而增大，cos 值随着角度的增大而减小。直角三角形的定义有一个角为 90的三

2、角形，叫做直角三角形（Rt）（英文：right triangle）。直角三角形的判定方法：判定 1：有一个角为 90的三角形是直角三角形。判定 2：若 a+b=c，则以 a、b、c 为边的三角形是以 c 为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。判定 3：若一个三角形 30内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。判定 4：两个锐角互为余角（两角相加等于 90）的三角形是直角三角形。判定 5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么判定 6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。判定 7：一个三角形30角所

3、对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定 3 不同，此定理用于已知斜边的三角形。）求二次函数的解析式及二次函数的应用求二次函数的解析式及二次函数的应用二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a，b，c 是常数，a0）；（2）顶点式：y=ay=a（x-h)x-h)2 2+k+k（a，h，k 是常数，a0）（3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)当抛物线与 x 轴有交点时，即对应二次好方程有实根 x1 和 x2 存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。求二次函数解析式的方法最常用的方法

4、是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：(1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式;(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式;(3)已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式;(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。二次函数应用解题技巧(1)应用二次函数解决实际问题的一般思路：理解题意;建立数学模型;解决题目提出的问题。二次函数的最大值和最小值二次函数的最大值和最小值二次函数的最大值：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值，即二次函数的最大值。二次函数的最小值：如果自变量的取值范围是全体实数，则当a0 时

5、，抛物线开口向上，有最低点，那么二次函数取得最小值。求二次函数最大值、最小值的方法1.先把二次函数化为顶点式 y=a(x-h)+k,当 a0 时,(抛物线开口向上,图象有最低点,)二次函数有最小值 k.当 a0 时,(抛物线开口向下,图象有最高点,)二次函数有最大值 k.2.把二次函数化为一般形式 y=ax+bx+c,利用顶点坐标公式-b/(2a),(4ac-b)/(4a)可求最大或最小值：当 a0 时,(抛物线开口向上,图象有最低点,)二次函数有最小值(4ac-b)/(4a).当 a0 时,(抛物线开口向下,图象有最高点,)二次函数有最大值(4ac-b)/(4a).(2)应用二次函数求实际问

6、题中的最值：即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。勾股定理勾股定理勾股定理:勾股定理又称商高定理、毕达哥拉斯定理，简称“毕氏定理”，是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）定理作用勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象数与形的第一定理。勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量

7、的区别，即所谓“无理数与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。勾股定理的应用：数学从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有九章算术中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰：一十二尺。勾股定理的形式：如果 c 是斜边的长度而 a 和

8、b 是另外两条边的长度，勾股定理可以写成：如果 a 和 b 知道，c 可以这样写：如果斜边的长度 c 和其中一条边（a 或 b）知道,那另一边的长度可以这样计算：或菱形，菱形的性质，菱形的判定菱形，菱形的性质，菱形的判定菱形的定义：菱形是四边相等的四边形，属于特殊的鹞形、平行四边形，除了这些图形的性质之外，它还具有以下性质：对角线互相垂直平分边四边相等。特点：顺次连接菱形各边中点为矩形正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形。菱形的面积公式：菱形面积公式就是由三角形面积公式得来的。菱形面积=两个三角形面积的和菱形面积=对角线乘积的一半，即 S=（ab

9、）2菱形的性质：1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角；2、四条边都相等；3、对角相等，邻角互补；4、每条对角线平分一组对角，5、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形,6、在 60的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的3 倍。7、菱形具备平行四边形的一切性质。菱形的判定：1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四边相等的四边形是菱形；3、关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.。依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。垂直平分线的性质垂直平分线的性质垂直平分线的概念：垂直平分线，或称中垂线，指

10、一垂直于某个线段且经过该线段中点之直线。垂直平分线上的每一点到该线段的两端点距离相等。尺规作图取得某线段垂直平分线的方法为：分别以该线段两端点为圆心，大于线段一半之等长长度为半径画弧，两弧相交之两点连接成的直线即为该线段的垂直平分线。垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相 等。（此时以外心为圆心，外心到顶点的长度为半径

11、，所作的圆为此三角形的外接圆。）判定：利用定义；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）尺规作法：（用圆规作图）1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交与线段的异侧)。3、连接这两个交点。原理：等腰三角形的高垂直平分底边。直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）直线与圆的位置关系：直线与圆相交，直线与圆相切，直

12、线与圆相离。（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB与O 相交，dr。（d 为圆心到直线的距离）直线与圆的位置关系证明：平面内，直线 Ax+By+C=0 与圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的位置关系判断一般方法是：1.由 Ax+By+C=0，可得 y=（-C-Ax）/B，（其中 B 不等于 0），代入 x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于 x 的方程如果 b2-4ac0，则圆与直线有 2 交点，即圆与直线相交。如果 b2-4ac=0，则圆与直线有 1 交点，即圆与直线相切。如果 b2-4ac0，则圆与直线有 0 交点，即圆与直

13、线相离。2.如果 B=0 即直线为 Ax+C=0，即 x=-C/A，它平行于 y 轴（或垂直于 x 轴），将 x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）2+（y-b）2=r2。令 y=b，求出此时的两个 x 值 x1、x2，并且规定 x1x2，那么：当 x=-C/Ax2 时，直线与圆相离；当 x1x=-C/Ay，那么 yx；如果 yy；（对称性）如果 xy，yz；那么 xz；（传递性）如果 xy，而 z 为任意实数或整式，那么 x+zy+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）如果 xy，z0，那么 xzyz；如果 xy，z0，那么 xzy，z0，那么 xzyz；如果 xy，z0，那么 xzy

14、，mn，那么 x+my+n；(充分不必要条件)如果 xy0，mn0，那么 xmyn；如果 xy0，那么 x 的 n 次幂y 的 n 次幂（n 为正数)，x 的 n 次幂y 的 n 次幂（n 为负数）或者说，不等式的基本性质有：对称性；传递性：加法单调性：即同向不等式可加性：乘法单调性：同向正值不等式可乘性：正值不等式可乘方：正值不等式可开方：倒数法则。2如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，以上是其中比较有名的。不等式的基本性质和等式的基本性质的异同：相同点：无论是等式还是不等式，都可以在它的两边加（或减）同一个数或同一个整式；不同点：对于等式来说，在等式的两边乘

15、（或除以）同一个正数（或同一个负数），等式仍然成立，但是对于不等式来说，却不大一样，在不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，而在不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号要改变方向。原理：不等式 F（x）F（x）同解。如果不等式 F（x）G（x）的定义域被解析式 H（x）的定义域所包含，那么不等式 F（x）G（x）与不等式 F（x）+H（x）G（x）+H（x）同解。如果不等式 F（x）0，那么不等式 F(x)G（x）与不等式 H（x）F（x）H（x）G（x）同解；如果 H（x）0，那么不等式 F（x）H（x）G（x）同解。不等式 F（x）G（x）0 与不等式同解；不等式 F（x

16、）G（x）b，且 a0，b0，那么表示数 a 的点到数 b 的点之间的距离的值，读做 a-b 的绝对值，记作|a-b|。绝对值的意义：1、几何的意义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值。如：2、代数的意义：非负数（正数和 0,）非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。互为相反数的两个数的绝对值相等。a 的绝对值用“|a|”表示读作“a 的绝对值”。实数 a 的绝对值永远是非负数，即|a|0。互为相反数的两个数的绝对值相等，即|-a|=|a|。若 a 为正数，则满足|x|=a 的 x 有两个值a，如|x|=3，,则 x=3.绝对值的有关性质：任何有理数的绝对值都是大于或等于

17、 0 的数，这是绝对值的非负性；绝对值等于 0 的数只有一个，就是 0；绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；互为相反数的两个数的绝对值相等。绝对值的化简：绝对值意思是值一定为正值，按照“符号相同为正，符号相异为负”的原则来去绝对值符号。绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值，也就是当：a=a(a 为正值，即 a0 时）；a=-a（a 为负值，即 a0 时）整数就找到这两个数的相同因数；小数就把这两个数同时扩大相同倍数成为整数,一般都是扩大 10、100 倍；分数的话就相除，得数是分数就是分子：分母，要是得数是整数，就这个数比 1。：无理数的定义

18、定义：无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是 10 进制下的无限不循环小数。如圆周率、2（根号 2）等。有理数是由所有分数，整数组成，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。如 22/7 等。实数分为有理数和无理数。有理数和无理数的区别把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、有限小数或无限循环小数，比如 4=4.0，4/5=0.8，1/3=0.33333。而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562。另外，无理数不能写成两整数之比。无理数性质：无限不循环的小数就是无理数。换句话说，就是不可以化为整数或者整数比的数性质 1 无理数加（减

19、）无理数既可以是无理数又可以是有理数性质 2 无理数乘（除）无理数既可以是无理数又可以是有理数性质 3 无理数加（减）有理数一定是无理数性质 4 无理数乘（除）一个非 0 有理数一定是无理数无理数的识别：判断一个数是不是无理数，关键就看它能不能写出无限不循环小数，而把无理数写成无限不循环小数，不但麻烦，而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。初中常见的无理数有三种类型：（1）含根号且开方开不尽的方根，但切不可认为带根号的数都是无理数；（2）化简后含 的式子；（3）不循环的无限小数。掌握常见无理数的类型有助于识别无理数。实数的定义定义：包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包

20、括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”意义是“实在的数”。（任何实数都可在数轴上表示。）实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数，包括整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。1）相反数（只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数）实数 a 的相反数是-a，a 和-a 在数轴上到

21、原点 0 的距离相等。）2）绝对值（在数轴上另一个数与 a 到原点 0 的距离分别相等）实数 a 的绝对值是：|a|a 为正数时，|a|=a（不变）a 为 0 时，|a|=0a 为负数时，|a|=-a（为 a 的相反数）(任何数的绝对值都大于或等于 0，因为距离没有负的。)3）倒数（两个实数的乘积是 1，则这两个数互为倒数）实数 a 的倒数是：1/a（a0）4）数轴（任何实数都可在数轴上表示。）定义：如果画一条直线，规定向右的方向为直线的正方向，在其上取原点 O 及单位长度 OE，它就成为数轴线，或称数轴。（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。（2）数轴上的点与实数一一对应。15）平方根

22、（某个自乘结果等于的实数，表示为，其中属于非负实数的平方根称算术平方根。一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，就是 0 本身；负数没有平方根。）6）立方根（如果一个数x 的立方等于 a，即 x 的三次方等于 a(x3=a)，即 3 个 x 连续相乘等于 a,那么这个数 x 就叫做 a 的立方根，也叫做三次方根）实数的分类：实数按性质分类是：正实数、负实数、0；实数按定义分类是：有理数、无理数有理数的分类 可以分为整数,分数整数又可分为正整数,0,负整数分数又可分为正分数,负分数正有理数又可分为正整数,正分数负有理数又可分为负整数,负分数无理数可分为正无理数和负无理数。平方根平方根的定义如果

23、一个数的平方等于 a，则这个数叫做 a 的平方根，如果 x2=a，那么 x 叫做 a 的平方根，这里 a是 x 的平方，它是一个非负数，即 a0。数学史中，最重要的平方根可以说是2，代表单位正方形的对角线长，是第一个公认的无理数。平方根的性质：一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。显然，如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x 的平方等于 a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。a 的算术平方根记为，读作“根号 a”，a 叫做被开方数。规定：0 的平方根是 0。负数在实数范围内不能开平

24、方，只有在复数范围内，才可以开平方根。例如：-1 的平方根为1，-9 的平方根为3。平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种，平方根和算术平方根都只有非负数才有。平方根与算术平方根平方根与算术平方根是初中数学中的两个重要概念，因为它们定义相近，联系紧密，所以初学的同学很容易混淆。为帮助同学们正确理解和区分这两个概念，现将它们的区别与联系总结如下：（1）平方根与算术平方根的区别1、定义不同。平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，那么这个数 x 叫做 a 的平方根。算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根(特别规定：0 的算

25、术平方根是 0)。2、表示方法不同。3、个数不同。平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。算术平方根：一个正数的算术平方根只有一个，且这个数是正数。（2）平方根与算术平方根的联系1、二者之间存在着从属关系。一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根，算术平方根是平方根中的一个。2、二者被开方数的取值范围相同。只有非负数才有平方根，负数没有平方根，只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根。一个数没有平方根，它一定也没有算术平方根。正方形，正方形的性质，正方形的判定正方形的定义：在平面几何学中，正方形是具有四条相等的边和四个相等内角的多边形。正方形是正多边形的一种：正四边形。四个顶点为

26、ABCD 的正方形可以记为square ABCD。正方形是二维的超方形，也是二维的正轴形。正方形的特征：1、边：两组对边分别平行；四条边都相等；2、内角：四个角都是 90；3、对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。正方形的判定方法：1：对角线相等的菱形是正方形2：对角线互相垂直的矩形是正方形3：四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形4：一组邻边相等，对角线互相平分的四边形是正方形5：一组邻边相等，对角线互相垂直的平行四边形是正方形6：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形7：每个角都是 90 度的平行四边形是正方形正方形的面积公式：正方形面积公式是边

27、长乘边长正方形有的周长公式：正方形的周长是它的边长的 4 倍。如果边长为 a，那么周长正方形的对称性：正方形是一种高度对称的平面图形，它关于两条对角线的交点中心对称（这个点又被称作正方形的中心）。它的对称轴有四条，分别是对边中点的连线以及两条对角线。保持正方形不变的变换有 8 种，包括全等变换，以正方形中心为中心、角度为 90 度、180 度和 270 度的旋转，以及关于四条对称轴的反射。平面图形的平铺和镶嵌平面镶嵌：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地拼接在一起，这就是平面镶嵌。用相同的正多边形镶嵌：只用一种多边形时，可以进行镶嵌的是三角形、四边形或正

28、六边形。用不同的正多边形镶嵌：（1）用正三角形和正六边形能够进行平面镶嵌；（2）用正十二边形、正六边形，正方形能够进行平面镶嵌。平面图形常见公式：长方形 S=ab C=(a+b)2正方形 S=aa 或 对角线对角线2 C=4a平行四边形 S=ah三角形 S=ah2梯形 S=（a+b)h2圆形 S=rr C=d椭圆 S=rr平面图形名称 符号 周长 C 和面积 S正方形 a边长 C=4aS=a2长方形 a 和 b边长 C=2(a+b)S=ab三角形 a,b,c三边长ha 边上的高s周长的一半A,B,C内角其中 s=(a+b+c)/2 S=ah/2=ab/2sinC=s(s-a)(s-b)(s-c

29、)1/2=a2sinBsinC/(2sinA)四边形 d,D对角线长对角线夹角 S=dD/2sin平行四边形 a,b边长ha 边的高两边夹角 S=ah=absin菱形 a边长夹角D长对角线长d短对角线长 S=Dd/2=a2sin梯形 a 和 b上、下底长h高m中位线长 S=(a+b)h/2=mh圆 r半径d直径 C=d=2rS=r2=d2/4扇形 r扇形半径a 圆心角度数C=2r+2r(a/360)S=r2(a/360)弓形 l弧长b弦长h矢高r半径圆心角的度数 S=r2/2(/180-sin)=r2arccos(r-h)/r-(r-h)(2rh-h2)1/2=r2/360-b/2r2-(b/

30、2)21/2=r(l-b)/2+bh/22bh/3圆环 R外圆半径r内圆半径D外圆直径d内圆直径 S=(R2-r2)=(D2-d2)/4椭圆 D长轴d短轴 S=Dd/4立方图形名称 符号 面积 S 和体积 V正方体 a边长 S=6a2V=a3长方体 a长b宽c高 S=2(ab+ac+bc)V=abc棱柱 S底面积h高 V=Sh棱锥 S底面积h高 V=Sh/3棱台 S1 和 S2上、下底面积h高 V=hS1+S2+(S1S1)1/2/3拟柱体 S1上底面积S2下底面积S0中截面积h高 V=h(S1+S2+4S0)/6圆柱 r底半径h高C底面周长S 底底面积S 侧侧面积S 表 表面积 C=2rS

31、底=r2S 侧=ChS 表=Ch+2S 底V=S 底 h=r2h空心圆柱 R外圆半径r内圆半径h高 V=h(R2-r2)直圆锥 r底半径h高 V=r2h/3圆台 r上底半径R下底半径h高 V=h(R2+Rr+r2)/3球 r半径d直径 V=4/3r3=d2/6球缺 h球缺高r球半径a球缺底半径 V=h(3a2+h2)/6=h2(3r-h)/3a2=h(2r-h)球台 r1 和 r2球台上、下底半径h高 V=h3(r12+r22)+h2/6圆环体 R环体半径D环体直径r环体截面半径d环体截面直径 V=22Rr2=2Dd2/4桶状体 D桶腹直径d桶底直径h桶高 V=h(2D2+d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=h(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)