全国高考数学(理科)试卷(全国卷Ⅰ)(解析版).pdf

《全国高考数学(理科)试卷(全国卷Ⅰ)(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国高考数学(理科)试卷(全国卷Ⅰ)(解析版).pdf（24页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高考真题20072007 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷（全国卷）一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 4848 分）分）1（4 分）是第四象限角，ABCD，则 sin=（）2（4 分）设 a 是实数，且AB1CD2，是实数，则 a=（）3（4 分）已知向量A垂直B不垂直也不平行，则 与（）C平行且同向 D平行且反向4（4 分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（4，0），（4，0），则双曲线方程为（）ABCD5（4 分）设 a，bR，集合1，a+b，a=0，b，则 ba=（）A1B1 C2D2，且位于6（

2、4分）下面给出的四个点中，到直线xy+1=0的距离为表示的平面区域内的点是（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）7（4 分）如图，正棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为（）ABCD高考真题1高考真题8（4 分）设 a1，函数 f（x）=logax 在区间a，2a上的最大值与最小值之差为，则 a=（）AB2CD49（4 分）f（x），g（x）是定义在 R 上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A充要条件B充分而不必要的条件D既不充分也不必要的条件C必要而不充分

3、的条件10（4 分）A3B4C5的展开式中，常数项为 15，则 n=（）D6的直线与抛11（4 分）抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为物线在 x 轴上方的部分相交于点 A，AKl，垂足为 K，则AKF 的面积是（）A4BCD812（4 分）函数 f（x）=cos2x2cos2的一个单调增区间是（）A二、填空题（共二、填空题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分）分）13（5 分）从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种（用数字作答）14（

4、5 分）函数 y=f（x）的图象与函数 y=log3x（x0）的图象关于直线 y=x 对称，则 f（x）=15（5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为16（5 分）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为 2，则该三角形的斜边长为高考真题2BCD高考真题三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 8282 分）分）17（12 分）设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a=2bsinA（）求 B 的大小；（）求 cosA+sinC 的取值范围18（12

5、分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为P10.420.230.240.150.1商场经销一件该商品，采用1 期付款，其利润为200 元；分2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分4 期或 5 期付款，其利润为300 元，表示经销一件该商品的利润（）求事件 A：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率P（A）；（）求 的分布列及期望 E高考真题3高考真题19（14 分）四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC底面 ABCD，已知ABC=45，AB=2，BC=2，SA=SB=（）证明：SABC；（）求直线

6、SD 与平面 SBC 所成角的大小20（14 分）设函数 f（x）=exex（）证明：f（x）的导数 f（x）2；（）若对所有 x0 都有 f（x）ax，求 a 的取值范围高考真题4高考真题21（14 分）已知椭圆的左右焦点分别为 F1、F2，过 F1的直线交椭圆于 B、D 两点，过 F2的直线交椭圆于 A、C 两点，且 ACBD，垂足为 P（）设 P 点的坐标为（x0，y0），证明：（）求四边形 ABCD 的面积的最小值；22（16 分）已知数列an中，a1=2，（）求an的通项公式；（）若数列bn中，b1=2，n=1，2，3，n=1，2，3，证明：，n=1，2，3，高考真题5高考真题200

7、72007 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷（全国卷）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 4848 分）分）1（4 分）（2007全国卷）是第四象限角，ABCD，则 sin=（）【分析】根据 tan=，sin2+cos2=1，即可得答案=，sin2+cos2=1，【解答】解：是第四象限角，sin=故选 D2（4 分）（2007全国卷）设 a 是实数，且AB1CD2是实数，则 a=（）【分析】复数分母实数化，化简为 a+bi（a、bR）的形式，虚部等于 0，可求得结果【

8、解答】解设 a 是实数，则 a=1，故选 B3（4 分）（2007全国卷）已知向量A垂直B不垂直也不平行，则 与（）=是实数，C平行且同向 D平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得【解答】解：向量 ，高考真题6，得，高考真题故选 A4（4 分）（2007全国卷）已知双曲线的离心率为 2，焦点是（4，0），（4，0），则双曲线方程为（）ABCD【分析】根据焦点坐标求得 c，再根据离心率求得 a，最后根据 b=b，双曲线方程可得【解答】解已知双曲线的离心率为 2，焦点是（4，0），（4，0），则 c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为故选 A，求得5（4 分）（2007全国卷）设 a

9、，bR，集合1，a+b，a=0，b，则 ba=（）A1B1 C2D2，注意到后面集合中有元素 0，【分析】根据题意，集合由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得 a+b=0，进而分析可得 a、b的值，计算可得答案【解答】解：根据题意，集合又a0，a+b=0，即 a=b，b=1；故 a=1，b=1，则 ba=2，故选 C高考真题7，高考真题6（4 分）（2007全国卷）下面给出的四个点中，到直线 xy+1=0 的距离为且位于表示的平面区域内的点是（）D（1，1），且位于表示的平面区，A（1，1）B（1，1）C（1，1）【分析】要找出到直线 xy+1=0 的距离为域内的点，我们可以将答案中的四

10、个点逐一代入验证，不难得到结论【解答】解给出的四个点中，（1，1），（1，1），（1，1）三点到直线 xy+1=0 的距离都为但，仅有（1，1）点位于故选 C表示的平面区域内7（4 分）（2007全国卷）如图，正棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为（）ABCD【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 B，得到的锐角A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中 A1BC1用余弦定理求解即可【解答】解如图，连接 BC1，A1C1，A1BC1是异面直线 A1B 与 AD1所成的角，设 AB=a，AA1=2a，A1B=C1B=a，A1C

11、1=a，高考真题8高考真题A1BC1的余弦值为，故选 D8（4 分）（2007全国卷）设 a1，函数 f（x）=logax 在区间a，2a上的最大值与最小值之差为，则 a=（）AB2CD4【分析】因为 a1，函数f（x）=logax 是单调递增函数，最大值与最小值之分别为 loga2a、logaa=1，所以 loga2alogaa=，即可得答案【解答】解a1，函数 f（x）=logax 在区间a，2a上的最大值与最小值之分别为 loga2a，logaa，loga2alogaa=，故选 D9（4 分）（2008上海）f（x），g（x）是定义在 R 上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（

12、x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A充要条件B充分而不必要的条件D既不充分也不必要的条件，a=4，C必要而不充分的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值【解答】解若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有 f（x）=f（x），g（x）=g（x），h（x）=f（x）+g（x）=f（x）+g（x）=h（x），“h（x）为偶函数”，而反之取 f（x）=x2+x，g（x）=2x，h（x）=x2+2 是偶函数，而 f（x），g（x）高考真题9高考真题均不是偶函数”，故选 B10（4 分）（2007全国卷）A3B4C5D6的展开式中，常数项为

13、 15，则 n=（）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 0 求出常数项，据 n 的特点求出 n 的值【解答】解：的展开式中，常数项为 15，则所以 n 可以被 3 整除，当 n=3 时，C31=315，当 n=6 时，C62=15，故选项为 D11（4 分）（2007全国卷）抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A，AKl，垂足为 K，则AKF 的面积是（）A4BCD8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过 F 且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得 A 的坐标，再由

14、 AKl，垂足为 K，可求得 K 的坐标，根据三角形面积公式可得到答案【解答】解：抛物线 y2=4x 的焦点 F（1，0），准线为 l：x=1，经过F且斜率为2），），的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，AKl，垂足为 K（1，2AKF 的面积是 4故选 C高考真题10高考真题12（4 分）（2007全国卷）函数（f x）=cos2x2cos2的一个单调增区间是（）ABCD【分析】化简函数分别求出单调区间判定选项的正误【解答】解函数原函数看作 g（t）=t2t1，t=cosx，对于 g（t）=t2t1，当当当且故选 A时，g（t）为增函数，时，t=cosx 减函数，为关于 cosx

15、的二次函数，然后换元，=cos2xcosx1，时，g（t）为减函数，原函数此时是单调增，二、填空题（共二、填空题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分）分）13（5 分）（2007全国卷）从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有36种（用数字作答）【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题，先从除甲与乙之外的其余3 人中选出1 人担任文娱委员，再从 4 人中选2 人担任学习委员和体育委员，写出即可【解答】解从班委会5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、

16、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余 3 人中选出 1 人担任文娱委员，再从 4 人中选 2 人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有 C31A42=343=36 种14（5 分）（2007全国卷）函数 y=f（x）的图象与函数 y=log3x（x0）的图高考真题11高考真题象关于直线 y=x 对称，则 f（x）=3x（xR）【分析】由题意推出 f（x）与函数 y=log3x（x0）互为反函数，求解即可【解答】解函数 y=f（x）的图象与函数 y=log3x（x0）的图象关于直线 y=x对称，则 f（x）与函数 y=log3x（x0）互为反函数，f（x）=3x（xR）故

17、答案为：3x（xR）15（5 分）（2007全国卷）等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为【分析】先根据等差中项可知 4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用 a1和 q 分别表示出 S1，S2和 S3，代入即可求得 q【解答】解：等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S1，2S2，3S3成等差数列，an=a1qn1，又 4S2=S1+3S3，即 4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解故答案为16（5 分）（2007全国卷）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为 2，则该三

18、角形的斜边长为2【分析】由于正三棱柱的底面 ABC 为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF 的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边 EF 上的中线 DG 的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF 的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可【解答】解：一个等腰直角三角形 DEF 的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，EDF=90，已知正三棱柱的底面边长为 AB=2，则该三角形的斜边 EF 上的中线 DG=斜边 EF 的长为 2故答案为：2高考真题，12高考真题三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 8282 分）分）17（12

19、 分）（2007全国卷）设锐角三角形ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（）求 B 的大小；（）求 cosA+sinC 的取值范围【分析】（1）先利用正弦定理求得 sinB 的值，进而求得 B（2）把（1）中求得 B 代入 cosA+sinC 中利用两角和公式化简整理，进而根据 A的范围和正弦函数的性质求得 cosA+sinC 的取值范围【解答】解：（）由 a=2bsinA，根据正弦定理得 sinA=2sinBsinA，所以，=由ABC 为锐角三角形知，0AA，所以，0A，=）=由ABC 为锐角三角形得（高考真题13高考真题由此有，）所以，cosA+sinC 的

20、取值范围为（18（12 分）（2007全国卷）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为P10.420.230.240.150.1商场经销一件该商品，采用1 期付款，其利润为200 元；分2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分4 期或 5 期付款，其利润为300 元，表示经销一件该商品的利润（）求事件 A：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率P（A）；（）求 的分布列及期望 E【分析】（）由题意知购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款的对立事件是购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款，根据对立事件的概率公

21、式得到结果（2）根据顾客采用的付款期数 的分布列对应于 的可能取值为 200 元，250元，300 元得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望【解答】解：（）由题意知购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款的对立事件是购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款，设 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”知 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”，（）根据顾客采用的付款期数 的分布列对应于 的可能取值为 200 元，250元，300 元得到变量对应的事件的概率P（=200）=P（=1）=0.4，高考真题14高考真题

22、P（=250）=P（=2）+P（=3）=0.2+0.2=0.4，P（=300）=1P（=200）P（=250）=10.40.4=0.2 的分布列为P2000.42500.43000.2E=2000.4+2500.4+3000.2=240（元）19（14 分）（2007全国卷）四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC底面 ABCD，已知ABC=45，AB=2，BC=2（）证明：SABC；（）求直线 SD 与平面 SBC 所成角的大小，SA=SB=【分析】解法一：（1）作 SOBC，垂足为 O，连接 AO，说明 SO底面 ABCD利用三垂线定理，得 SABC（）由（）知

23、SABC，设 ADBC，连接 SE说明ESD 为直线 SD 与平面SBC 所成的角，通过成的角为，求出直线 SD 与平面 SBC 所解法二：（）作 SOBC，垂足为O，连接 AO，以O 为坐标原点，OA 为 x 轴正向，建立直角坐标系 Oxyz，通过证明（）.与，推出 SABC为平面 SBC，推的夹角记为，SD 与平面 ABC 所成的角记为，因为，的法向量，利用 与 互余通过出直线 SD 与平面 SBC 所成的角为【解答】解法一：高考真题15高考真题（1）作 SOBC，垂足为 O，连接 AO，由侧面 SBC底面 ABCD，得 SO底面 ABCD因为 SA=SB，所以 AO=BO，又ABC=45

24、，故AOB 为等腰直角三角形，AOBO，由三垂线定理，得 SABC（）由（）知 SABC，依题设 ADBC，故 SAAD，由又，作 DEBC，垂足为 E，则 DE 平 面 SBC，连 接 SE ESD 为 直 线 SD 与 平 面 SBC 所 成 的角所以，直线 SD 与平面 SBC 所成的角为解法二：（）作 SOBC，垂足为 O，连接 AO，由侧面 SBC底面 ABCD，得 SO平面 ABCD因为 SA=SB，所以 AO=BO又ABC=45，AOB 为等腰直角三角形，AOOB如图，以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴正向，建立直角坐标系 Oxyz，因为又，所以，S（0，0，1），所以 SAB

25、C（）角记为，SD 与平面 ABC 所成的角记为，因为，.与的夹为平面 SBC 的法向量，所以 高考真题16高考真题与 互余，所以，直线 SD 与平面 SBC 所成的角为20（14 分）（2007全国卷）设函数 f（x）=exex（）证明：f（x）的导数 f（x）2；（）若对所有 x0 都有 f（x）ax，求 a 的取值范围【分析】（）先求出（f x）的导函数，利用 a+b2到 f（x）2；（）把不等式变形令 g（x）=f（x）ax 并求出导函数令其=0 得到驻点，在 x0 上求出 a 的取值范围即可【解答】解：（）f（x）的导数 f（x）=ex+ex由于，故 f（x）2当且仅当 a=b 时取

26、等号 得（当且仅当 x=0 时，等号成立）（）令 g（x）=f（x）ax，则 g（x）=f（x）a=ex+exa，（）若 a2，当 x0 时，g（x）=ex+exa2a0，故 g（x）在（0，+）上为增函数，所以，x0 时，g（x）g（0），即 f（x）ax高考真题17高考真题（）若 a2，方程 g（x）=0 的正根为，此时，若 x（0，x1），则 g（x）0，故 g（x）在该区间为减函数所以，x（0，x1）时，g（x）g（0）=0，即 f（x）ax，与题设 f（x）ax相矛盾综上，满足条件的 a 的取值范围是（，221（14 分）（2007全国卷）已知椭圆的左右焦点分别为 F1、F2，过F1

27、的直线交椭圆于 B、D 两点，过F2的直线交椭圆于 A、C 两点，且ACBD，垂足为 P（）设 P 点的坐标为（x0，y0），证明：（）求四边形 ABCD 的面积的最小值；【分析】（）椭圆的半焦距，由 ACBD 知点 P 在以线段 F1F2为直径的圆上，故 x02+y02=1，由此可以证出（）设 BD 的方程为 y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2 6=0 设B（x1，y1），D（x2，y2），由 题 意 知|BD|=高考真题18高考真题再求出|AC|=，由此可以求出四边形 ABCD 的面积的最小值【解答】证明：（）椭圆的半焦距，由 ACBD 知点 P

28、在以线段 F1F2为直径的圆上，故 x02+y02=1，所以，（）（）当 BD 的斜率 k 存在且 k0 时，BD 的方程为 y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k26=0设 B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=因为 AC 与 BD 相交于点 P，且 AC 的斜率为，；所以，|AC|=四边|BD|AC|=形ABCD的面积当 k2=1 时，上式取等号（）当 BD 的斜率 k=0 或斜率不存在时，四边形 ABCD 的面积 S=4综上，四边形 ABCD 的面积的最小值为22（16 分）（2007全国卷）已知数列an中，a1=2，高考真题，19高考真题

29、n=1，2，3，（）求an的通项公式；（）若数列bn中，b1=2，n=1，2，3，【分 析】（）先 对，即数列的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到而得到进 行 整 理 可 得 到是首项为，公比为，进，n=1，2，3，证明：，（）用数学归纳法证明当 n=1 时可得到 b1=a1=2 满足条件，然后假设当 n=k时 满 足 条 件 进 而 得 到进行整当n=k+1时 再 对理得到=【解答】解=，所 以，数 列是 首 项 为，即 an的通项公式为（）用数学归纳法证明（）当 n=1 时，因：，进而可得证（）由题设：=，公 比 为的 等 比 数 列，n=1，2，3，b1=a1=2，所以，结论成立（）

30、假设当 n=k 时，结论成立，即高考真题20高考真题也即当n=k+1=又所时=，以，=也就是说，当 n=k+1 时，结论成立根据（）和（）知，n=1，2，3，高考真题21高考真题参与本试卷答题和审题的老师有：wsj1012；qiss；wkqd；danbo7801；豫汝王世崇；minqi5；wdlxh；wdnah；涨停；zhwsd；yhx01248；sllwyn；zlzhan（排名不分先后）菁优网菁优网20172017 年年 2 2 月月 4 4 日日附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前

31、做好准备工作。做题前要做好准备工作,包括认真检查答题卡页数和条形码上的姓名、考号与本人的姓名、准考证上的号是否相符等。此外还要准确填写答题卡的相关信息,正确粘贴条形码,注意不能超出框外。第二,使用规定的笔作答。答选择题时,考生必须用 2B型铅笔在答题卡上的“选择题答题区”内将对应题目的选项高考真题22高考真题字母点涂黑第三,答题不要超出规定范围。考生必须在答题卡各题目规定的答题区域内作答(包括画表及作辅助线)。在各题目指定答题区域外的地方,或超越试卷上标出的边界作答,或者自己编题号,其答案都是无效的。第四,若题中有图,答题前应规划好“布局”,合理安排空间。例如几何题,图形多在左边。这种情况下建

32、议大家从图下方开始写起,书写规范字迹清晰,避免“箭头”“地图”等出现。第五,答题卡千万别折叠。考生答题时,要注意保持答题卡的清洁,不能折叠、弄皱和损坏答题卡,以免影响计算机扫描。第六,书写要整洁。有的学生的答案“布局”很乱,还用箭头标注下一句话的位置,加上字迹潦草、卷面不整洁等情况,阅卷老师很难辨认,甚至对考生的学习态度、学习习惯和知识基础产生怀疑,由此分数也将大受影响来确定一个足够小的范围,要是四个选项中有一个答案是满足该范围的,那么正确答案也就有了。高考真题23高考真题第五,草图法。在解答选择题的过程中,可先根椐题意画出草图,然后参照图形的作法、形状、位置、性质和图形的特征等,得出结论。在答选择题时,你可以采取先易后难的答题顺序。先从前往后把你认为有把握的题先做完,然后再做那些不确定的题;对自己把握不大的题可采用排他法,尽可能排除你认为不正确的答案。这样在剩余的答案中进行选择,正确率就会高考真题24