(全国卷Ⅲ)2021年高考数学压轴卷 理(含解析)2.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1（全国卷）2021 年高考数学压轴卷 理（含解析）注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合(1)(4)0Ax xx，2log2Bxx，则AB（

2、）A.4,2 B.1,C.0,4 D.2,2.若复数z满足2(1)zii（i是虚数单位），则z为（）A.13 B.12 C.14 D.15 3.已知123a，2log3b，9log 2c，则a、b、c的大小关系为（）A.abc B.acb C.bac D.cba 4.在的二项展开式中，若第四项的系数为-7，则（）A.B.C.D.5已知 xlog321，则 4x（）A4 B6 C4 D9 6在ABC 中，若 sinB2sinAcosC，那么ABC 一定是（）A等腰直角三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等边三角形 7.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰四大家

3、”，朱世杰就是其中之一朱世杰是一位平民数学家和数学教育家朱世杰平生勤力研习九章算术，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的算学启欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！2 蒙，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等 如图，是源于其思想的一个程序框图 若输入的,a b分别为3，1，则输出的n（）A.2 B.3 C.4 D.5 8.

4、函数3()e1xxf x的图象大致是（）A.B.C.D.9.设函数2()lnf xaxbx(0,0)ab，若函数()f x的图象在1x 处的切线与直线20 xye平行，则11ab的最小值为（）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！3 A.1 B.12 C.32 2 D.32 2 10已知函数 f（x）sin（x+）（0，）的最小正周期为，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）Af（1）f（0）f（2）Bf（0）f（2）f（1）Cf（2）f（0）f（1）Df（2）f（1）f（0）11.函数 2sin4cos1f xxx的最小正周期是（）

5、A.3 B.23 C.D.2 12.定义在R上的可导函数()f x满足(2)()22fxf xx，记()f x的导函数为()fx，当1x时恒有()1fx若()(12)31f mfmm，则m的取值范围是 A(,1 B1(,13 C 1,)D1 1,3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.函数则_ 14已知x，y满足0421.xxyxy，若2xy的最小值为_ 15.已知抛物线22(0)ypx p与椭圆22221(0)xyabab有相同的焦点F，P是两曲线的公共点，若56PFp，则此椭圆的离心率为_.16、已知正三棱锥，点、都在半径为球面上，若、两两相互垂直，则球心到截

6、面的距离为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检 n 件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：质量指标值 等级 频数 频率 60，75）三等品 10 0.1 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！4 75，90）二等品 30 b 90，105）一等品 a 0.4 105，120）特等品 20 0.2 合计 n

7、1（1）求 a，b，n；（2）从质量指标值在90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取 6 件，再从这 6 件中随机抽取 2 件，求至少有 1 件特等品被抽到的概率 18（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设23sin()cos22BAC.（）求sinB；（）若ABC的周长为 8，求ABC的面积的取值范围.19(12 分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD 底面ABCD，PDDC，点E是PC的中点.（I）求证：/PA平面BDE；（II）若直线BD与平面PBC所成角为30，求二面角CPBD的大小.20（12 分）设函数()ln(1)()f xxax

8、aR.（I）讨论函数 f x的单调性；（II）当函数 f x有最大值且最大值大于3a时，求a的取值范围.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！5 21（12 分）中心在原点的椭圆E的一个焦点与抛物线2:4C xy的焦点关于直线yx对称，且椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为2,0.（I）求椭圆E的标准方程；（II）过点0,2的直线l（直线的斜率k存在且不为 0）交E于A，B两点，交x轴于点P点A关于x轴的对称点为D，直线BD交x轴于点Q.试探究|OPOQ是否为定值？请说明理由.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题

9、作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为22212xtyt （t为参数），以原点O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2241 sin.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设P（0，-1），直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求OPOQ.23.已知函数()2f xx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！6（1）解不等式：()4(1)f xf x（2）若函数()3,(4)g xxx与函数()2(2)ymf xf x的图象恒有公共点，求实数m的

10、取值范围 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 1、【答案】C【解析】算出集合,A B后可求BA.【详解】(1)(4)01,4Ax xx，2log20,4Bxx，故0,4AB，故选 C.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！7 2、【答案】B【解析】利用复数的除法运算求得12z ，问题得解.【详解】由2(1)zii可得：221(1)122iiziii 所以12z 故选：B 3、【答案】A【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a、b、c与1和12的大小关系，从而可得出实数a、b、c的大小关系.【详解】由于指数函

11、数3xy 是增函数，则102331a；对数函数2logyx是增函数，则222log2log3log 2，即112b；对数函数9logyx是增函数，则991log 2log 32c.因此，abc.故选：A.4、【答案】B【解析】，解得：，故选 B.5、D【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解 解：xlog321，xlog23，4x9，故选：D 6、B 解：sinBsin（A+C）sin（A+C）sinAcosC+cosAsinC2sinAcosC，cosAsinCsinAcosCsin（CA）0，即 CA0，CA，ac，即ABC 为等腰三角形 故选：B 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源

12、于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！8 7、【答案】C【解析】按流程图逐一执行即可.【详解】输入的,a b分别为3，1时，依次执行程序框图可得：193322a 2 12b ab不成立 1 12n 919272224a 2 24b ab不成立 2 13n 27127814248a 248b ab不成立 3 14n 8118124382816a 2 816b ab成立 输出4n 故选：C 8、【答案】D【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象【详解】当x0，g(4)=4 3e0，即f（x）0，函数f（x）是增函数，当x（0 x，+），g

13、(x)0，即f（x）0，函数f（x）是减函数，B不正确，故选D 9、【答案】D【解析】由2()lnf xaxbx可得：()2afxbxx，又函数()f x的图象在1x 处的切线与直线20 xye平行，所以(1)21fab 所以11111112abababab 22123232 2babaabab 当且仅当221,12ab 时，等号成立 所以11ab的最小值为32 2 故选：D 10 D【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可 解：函数的最小周期是，得 2，则 f（x）sin（2x+），f（x）关于中心对称，2（）+k，kZ，即 k+，kZ，欢迎您阅读并下载本文档

14、，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！10，当 k0 时，即 f（x）sin（2x+），则函数在，上递增，在，上递减，f（0）f（），12，f（）f（1）f（2），即 f（2）f（1）f（0），故选：D 11、【答案】B【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将 f x化简为y=sinx+A（）的形式，再利用周期函数求出其最小正周期，可得答案.【详解】解：2sin2coscos 2sin2coscoscos 2f xxxxxxxx sin2 cossin cos2sin3xxxxx，可得其最小正周期为23，故选 B.12【答案】D【解析】构造函数()(12)31

15、f mfmm)21()21()(mmfmmf，所以构造 函 数xxfxF)()(，(2)()22fxf xxxxfxxf)()2()2(，)()2(xFxF 所 以)(xF 的 对 称 轴 为1x，1)()(xfxF 所 以，)(,1xFxFx是 增 函 数；)(,0,1-xFxFx 是 减 函 数。|1-2m-1|1-m|，解得：31,1-m 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！11 13【答案】1.【解析】根据分段函数的解析式逐步代入求解可得结果【详解】由题意得 故答案为：1 14、【答案】5【解析】式组表示的平面区域，再将目标

16、函数zx+2y对应的直线进行平移，可得当x3 且y1时，z取得最小值【详解】作出不等式组0421xxyxy表示的平面区域，其中421xyxy解得A（3，1）设zx+2y，将直线l：zx+2y进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值 z最小值3+25 故答案为：5 15、【答案】12e 【解析】通过抛物线和椭圆性质得到 P 点坐标，将 P 点坐标代入椭圆得到答案.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！12【详解】设椭圆的左焦点为1F，由题意抛物线的准线方程为 1,0,0,2222ppppxFFc ，由抛物

17、线的定义知点 P 到准线的距离为56p，可得点 P 的横坐标为5623ppp，纵坐标为63p 则有22211657366pppPFPF，所以12|2aPFPFp，则122pceap 故答案为12e 16、【答案】【详解】正三棱锥PABC，PA，PB，PC两两垂直，此正三棱锥的外接球即为以PA，PB，PC为三条棱的正方体的外接球，球的半径为，正方体的边长为 2，即PAPBPC2 球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离 设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥PABC的体积VSABChSPABPC222 ABC为边长为 2的正三角形，SABC（2）2 h 球心（即正方体中心）O到截面A

18、BC的距离为，故答案为 17、解：（1）由 100.1100，即 n100，a1000.440，b301000.3 6 分 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！13 （2）设从“特等品”产品中抽取 x 件，从“一等品”产品中抽取 y 件，由分层抽样得：，解得 x2，y4，在抽取的 6 件中，有特等品 2 件，记为 A1，A2，有一等品 4 件，记为 B1，B2，B3，B4，则所有的抽样情况有 15 种，分别为：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2

19、B3，B2B4，B3B4，其中至少有 1 件特等品被抽到包含的基本事件有 9 种，分别为：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，至少有 1 件特等品被抽到的概率为：p 12 分 18（1）23sin()cos22BAC且sin()sinACB233sin2sincoscos22222BBBB，又022B，sin03sincos222BBB 33tansin232632BBBB 6 分（2）由题意知：8()bac22264 16()21cos222acbacacBacac 36416()6432acacac ，332640(38)(8)0aca

20、cacac 83ac或8ac（舍）649ac1316 3sin249ABCSacBac（当ac时取“”）综上，ABC的面积的取值范围为16 30,9 12 分 19、（1）连接AC交BD于O，连接OE，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！14 由题意可知，,PEEC AOOC，/PAEO，又PA在平面BED外，EO 平面BED，所以/PA平面BED.4 分 2以D为坐标原点，,DA DC DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设1PDCD，ADa，则(,0,0)A a，(,1,0)(0,1,0)B aC，1

21、(0)0,P，(,1,0)DBa，(,)1,1PBa，0,1,1PC，设平面PBC的法向量(,)nxy z，由00PB nPC n，得00axyzyz，取(0,1,1)n，又由直线BD与平面PBC所成的角为30，8 分 得211cos,212DB nDB nDB na，解得1a，同理可得平面PBD的法向量1,)0(1,m ，由向量的夹角公式，可得11cos,222n mn mn m，又因为二面角CPBD为锐二面角，所以二面角CPBD的大小为60.12 分 20（1）函数()ln(1)()f xxax aR的定义域为0,，11(1)(1)axfxaxx.当10a，即1a时，0fx，函数 f x在

22、0,上单调递增.当10a 时，令 0fx，解得11xa，当101xa时，0fx，函数单调欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！15 递增，当11xa时，0fx，函数单调递减.综上所述：当1a时，函数 f x在0,上单调递增，当1a 时，函数 f x在10,1a上单调递增，在1,1a上单调递减 .6 分（2）由（1）知，当函数 f x有最大值时，1a，且最大值max11()ln111f xfaa，此时1ln131aa，即ln(1)20aa.令()ln(1)2,1g aaaa.1101gaa 故 g a在1,上单调递增，且 20g 0g

23、a 等价于 2g ag，12a，故a的取值范围为1,2.12 分 21（1）因为椭圆E的一个焦点与抛物线2:4C xy的焦点关于直线yx对称，所以椭圆E的右焦点为1,0（），所以1c.又椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为2,0（），所以2a，又2223bac，所以椭圆E的标准方程为22143xy.4 分（2）设直线l的方程为2ykx，0k，则点2,0Pk，设 1122,A x yB x y 则点11,D xy，联立直线l与椭圆E的方程有221432xyykx，得22341640kxkx，所以有248 410k，即214k 且1221221634434kxxkx xk，即直线BD的方程为112121

24、yyxxyyxx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！16 令0y，得点Q的横坐标为121212211212224Qkx xxxx yx yxyyk xx，代入得：2283224212164 34Qkkkxkkk，所以2|24PQOPOQxxkk，所以|OPOQ为定值 4.12分 22、【答案】（1）1yx，22142xy；（2）2 23【解析】（1）直线l的参数方程为2221.2xtyt （t为参数）消去参数t可得直线l的普通方程为1yx 由2241 sin，得222sin4，则有2224xyy，即2224xy，则曲线C的直角坐标

25、方程为22142xy （2）将l的参数方程代入2224xy，得232 2202tt，设两根为1t，2t 则1t，2t为M，N对应的参数，且124 23tt 所以，线段MN的中点为Q对应的参数为122 223tt，所以，2 23OPOQPQ 23、【答案】（1）17|22xx；（2）3,.【解析】(1)由()4(1)f xf x得241xx，即：214xx 等价于2342xx 或1412x或3241xx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！17 解得722x或12x或112x，即1722x，所以原不等式的解集为17|22xx（2）因为函数()3g xx在4,单调递增，所以min()(4)1g xg，因为310,2()2(2)6,24310,4xmxymf xf xxmxxmx，在4x 处，y取得最大值2m，要使函数()3,(4)g xxx与函数()2(2)ymf xf x的图象恒有公共点，则须21m，即3m，故实数m的取值范围是3,