初二数学上下册重点难点知识点总结.pdf

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1、初二数学（上）应知应会的知识点初二数学（上）应知应会的知识点因式分解1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.3公因式的确定：系数的最大公约数相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a；a-b=-(b-a)；(a-b)2=(b-a)2；(a-b)3=-(b-a)3.4因式分解的公式：(1)平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.5因式分解的注意事

2、项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最后结果要求加以整理；（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.7 完全平方式：能化为（m+n）

3、2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q，p q有“x2+px+q 是完全平方式 2”.2分式A1分式：一般地，用 A、B 表示两个整式，AB 就可以表示为B的形式，如果AB 中含有字母，式子B叫做分式.整式有理式分式.2有理式：整式与分式统称有理式；即3对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.4分式的基本性质与应用：（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变

4、其中任何两个，分式的值不变；即分子分子分子分子 分母分母分母分母（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.5分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.6最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.a cac,7分式的乘除法法则：b dbdnaca dadbdb cbc.an a n.（n为正整数）b8分式的乘方：b.9负整指数计算法则：1n（1）公式：a0=1(a0),a-n=a(a0)；（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；a（3）公式

5、：bnnm baba，bman；n（4）公式：（-1）-2=1，（-1）-3=-1.10分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.11最简公分母的确定：系数的最小公倍数相同因式的最高次幂.12同分母与异分母的分式加减法法则：aba b;cccacadbcadbcbdbdbdbd.13含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a0)中,x 是未知数,a 和 b 是用字母表示的已知数，对x 来说，字母a 是 x 的系数，叫做字母系数，字母b 是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注

6、意：在字母方程中,一般用a、b、c 等表示已知数，用 x、y、z 等表示未知数.14 公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为 0.15分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.16分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.17分式方程验

7、增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.数的开方1平方根的定义：若 x2=a,那么 x 叫 a 的平方根，（即 a 的平方根是 x）；注意：（1）a 叫 x 的平方数，（2）已知x 求 a 叫乘方，已知a 求 x 叫开方，乘方与开方互为逆运算.2平方根的性质：（1）正数的平方根是一对相反数；（2）0 的平方根还是 0；（3）负数没

8、有平方根.3平方根的表示方法：a 的平方根表示为a和a.注意：a可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.4算术平方根：正数a 的正的平方根叫 a 的算术平方根，表示为a.注意：0 的算术平方根还是 0.5三个重要非负数：a20,|a|0，a0.注意：非负数之和为 0，说明它们都是 0.6两个重要公式：（1）a2 a;(a0)（2）a(a 0)a2 a a(a 0).37 立方根的定义：若 x3=a,那么 x 叫 a 的立方根，（即 a 的立方根是 x）.注意：（1）a 叫 x 的立方数；（2）a 的立方根表示为a；即把 a 开三次方.8立方根的性质：（1）正数的立方根是一个正数；（

9、2）0 的立方根还是 0；（3）负数的立方根是一个负数.3a a.9立方根的特性：310无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：和开方开不尽的数是无理数.11实数：有理数和无理数统称实数.12实数的分类：（1）正实数实数0负实数.正有理数有理数 0有限小数与无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数（2）13数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：2 1.4143 1.7325

10、 2.236.三角形三角形几何 A 级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）1三角形的角平分线定义：几何表达式举例：A三角形的一个角的平分线与这个角(1)AD 平分BAC的对边相交，这个角的顶点和交点之BAD=CAD间的线段叫做三角形的角平分线.(2)BAD=CADBDC（如图）AD 是角平分线2三角形的中线定义：几何表达式举例：在三角形中，连结一个顶点和它的对(1)AD 是三角形的中线A边的中点的线段叫做三角形的中线.BD=CD（如图）(2)BD=CDAD 是三角形的中线DCB3三角形的高线定义：几何表达式举例：从三角形的一个顶点向它的对边画(1)AD 是ABC 的高A垂线，顶点

11、和垂足间的线段叫做三角ADB=90形的高线.(2)ADB=90（如图）AD 是ABC 的高BCD4三角形的三边关系定理：几何表达式举例：三角形的两边之和大于第三边，三角(1)AB+BCACA形的两边之差小于第三边.（如图）(2)AB-BCACBC5等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.（如图）BA几何表达式举例：(1)ABC 是等腰三角形 AB=AC(2)AB=ACABC 是等腰三角形C6等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形.（如图）几何表达式举例：A(1)ABC 是等边三角形AB=BC=AC(2)AB=BC=ACCBABC 是等边三角形7三角形的内角和定理及推

12、论：几何表达式举例：（1）三角形的内角和 180；（如图）(1)A+B+C=180（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图）（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角(2)C=90的和；（如图）A+B=90（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻(3)ACD=A+B的内角.(4)ACD AAAAC2）B（1B）C（B（3）（DC4）8直角三角形的定义：几何表达式举例：有一个角是直角的三角形叫直角A(1)C=90三角形.（如图）ABC 是直角三角形(2)ABC 是直角三角形CBC=909等腰直角三角形的定义：几何表达式举例：两条直角边相等的直角三角形叫(1)C=90CA=CB等腰直角三角形

13、.（如图）ABC 是等腰直角三角形A(2)ABC 是等腰直角三角形BCC=90CA=CB10全等三角形的性质：几何表达式举例：（1）全等三角形的对应边相等；（如图）(1)ABCEFG（2）全等三角形的对应角相等.（如图）AB=EF(2)ABCEFGAA=EECGBF11全等三角形的判定：几何表达式举例：“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”.（如图）(1)AB=EFAE（1）（2）CGBFAE（3）B=F又 BC=FGABCEFG(2)(3)在 RtABC 和 RtEFG 中 AB=EF又 AC=EGRtABCRtEFGFBCG12角平分线的性质定理及逆定几何表达式举例：理：(1)O

14、C 平分AOB（1）在角平分线上的点到角的两又CDOACEOBA边距离相等；（如图）CD=CEDC（2）到角的两边距离相等的点在(2)CDOACEOB角平分线上.（如图）又CD=CEOEBOC 是角平分线13线段垂直平分线的定义：几何表达式举例：垂直于一条线段且平分这条线段(1)EF 垂直平分 ABE的直线，叫做这条线段的垂直平分EFABOA=OB线.（如图）(2)EFABOA=OBOBAEF 是 AB 的垂直平分线F14 线段垂直平分线的性质定理及几何表达式举例：逆定理：(1)MN 是线段 AB 的垂直MP（1）线段垂直平分线上的点和这平分线条线段的两个端点的距离相等；PA=PB（如图）(2

15、)PA=PBBAC（2）和一条线段的两个端点的距点 P 在线段 AB 的垂直平分N离相等的点，在这条线段的垂直平线上分线上.（如图）15等腰三角形的性质定理及推论：几何表达式举例：（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如(1)AB=AC图）B=C（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的(2)AB=AC高”三线合一；（如图）又BAD=CAD（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60.（如图）BD=CDADBCAAA(3)ABC 是等边三角形A=B=C=60CCBBCBD（1）（2）（3）16等腰三角形的判定定理及推论：（1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也

16、相等；（即等角对等边）（如图）（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）（3）有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形；（如图）（4）在直角三角形中，如果有一个角等于 30，那么它所对的直角边是斜边的一半.（如图）AA几何表达式举例：(1)B=C AB=AC(2)A=B=CABC 是等边三角形(3)A=60又AB=ACABC 是等边三角形(4)C=90B=301AC=2ABABC（1）BC（2）（3）CB17关于轴对称的定理（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（如图）（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图）B18勾股定理及逆定理：（1）直角

17、三角形的两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2+b2=c2；（如图）（2）如果三角形的三边长有下面关系:a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（如图）19 Rt斜边中线定理及逆定理：（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图）AMAOCFN（4）几何表达式举例：(1)ABC、EGF 关于MN 轴对称EABCEGF(2)ABC、EGF 关于GMN 轴对称OA=OEMNAE几何表达式举例：(1)ABC 是直角三角形a2+b2=c2(2)a2+b2=c2ABC 是直角三角形几何表达式举例

18、：ABC 是直角三角形D 是 AB 的中点CBAD1CD=2ABBC(2)CD=AD=BDABC 是直角三角形几何 B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二常识：1三角形中，第三边长的判断：另两边之差第三边另两边之和.2三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三

19、角形的角平分线、中线、高线都是线段.3如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CDAB，BECA，则CDAB=BECA.4三角形能否成立的条件是：最长边另两边之和.A5直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.DE6分别含 30、45、60的直角三角形是特殊的直角三角形.CBA7如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：D（1）ACCB=CDAB；（2）1=B，2=A.18三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.2BC9全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10等边三角形是特殊的等腰三角形.11几何习题中，“文字

20、叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.12符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.13几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意

21、：每步作图都应该是几何基本作图.17几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.18几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：构造特殊图形，使可用的定理增加；一举多得；聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；作辅助线必须符合几何基本作图.（2）已知角平分线.（若 BD 是角平分线）过 D 点作 DEBC 交 AB 于 E，在 BA 上截取 BE=BC 构造全等，转构造等移线段和角；腰三角形.AAEEDDCCBB（3）已知三角形中线（若 AD 是 BC 的中线）延长 AD 到 E，AD 是中线 过D点作DEAC交AB使 DE=AD于 E，构造中位线；连结 CE 构造全等

22、，转移线SABD=SADC段和角；（等底等高的三角形AEAABDCBDCBEDC等面积）(4)已知等腰三角形 ABC 中，AB=AC作等腰三角形 ABC 一边的平行线 DE，作等腰三角形 ABC 底边的中线构AD造（顶角的平分线或底边的高）构造全新的等腰三角形.AAA等三角形；EEDCCBDBCBD（5）其它 作 CEAB，转移角；延长 BD 与 AC 交于作等边三角形 ABC一边 的平行线 DE，构E，不规则图形转化为规A造新的等边三角形；则图形；EAAEBDECDCCBDB 多边形转化为三角延长 BC 到 D，使 若 ab,AC,BC 是角平形；CD=BC，连结AD，直角三分线,则C=90.角形转化为等腰三角形；EAaAADCObBCBDBC