(完整)概率论知识点总结,推荐文档.pdf

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1、概率论知识点总结概率论知识点总结第一章 随机事件及其概率第一节 基本概念随机实验随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。随机事件随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。必然事件必然事件：在试验中必然出现的事情，记为。样本点样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作.样本空间样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用 表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件单点集，复合事件多点集一个随

2、机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称 B 包含 A，记为B A或A B。相等关系相等关系：若B A且A B，则称事件 A 与事件 B 相等，记为 AB。事件的和事件的和：“事件 A 与事件 B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件 B 的和事件。记为 AB。事件的积事件的积：称事件“事件 A 与事件 B 都发生”为 A 与 B 的积事件，记为 A B 或 AB。事件的差事件的差：称事件“事件 A 发生而事件 B 不发生”为事件 A 与事件 B 的差事件,记为 AB。用

3、交并补可以表示为A B AB。互斥事件互斥事件：如果 A，B 两事件不能同时发生，即AB，则称事件A 与事件 B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时AB可记为 AB。对立事件对立事件：称事件“A 不发生”为事件 A 的对立事件（逆事件），记为A。对立事件的性质：A B ,A B 。事件运算律：设 A，B，C 为事件，则有（1）交换律：AB=BA，AB=BA（2）结合律：A(BC)=(AB)C=ABCA(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A(BC)(AB)(AC)A(BC)(AB)(AC)=ABAC（4）对偶律（摩根律）：A B A BA B A B第二节 事件的概率概率的公理化体系：（1）

4、非负性：P(A)0；（2）规范性：P()1（3）可数可加性：A1 A2 An两两不相容时(完整)概率论知识点总结,推荐文档-第1页(完整)概率论知识点总结,推荐文档-第1页P(A1 A2 An)P(A1)P(A2)P(An)概率的性质：（1）P()0（2）有限可加性：A1 A2 An两两不相容时P(A1 A2 An)P(A1)P(A2)P(An)当 AB=时 P(AB)P(A)P(B)（3）P(A)1 P(A)（4）P(AB)P(A)P(AB)（5）P（AB）P(A)P(B)P(AB)第三节 古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间 由 n 个样本点组成,事件 A 由 k 个样本点组成

5、.则定义事件 A 的概率为P(A)kn2、几何概率：设事件 A 是 的某个区域，它的面积为(A)，则向区域 上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为P(A)(A)()假如样本空间 可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把 理解为长度或体积即可.第四节 条件概率条件概率：在事件 B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B).P(A|B)P(AB)P(B)乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)P(A)P(B|A)全概率公式：设A1,A2,An是一个完备事件组，则P(B)=P(Ai)P(B|Ai)贝叶斯公式：设A1,A2,An是一个完备

6、事件组,则P(Ai|B)P(AiB)P(B)P(Ai)P(B|Ai)P(A)P(B|A)jj第五节 事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A、B 满足 P(AB)=P(A)P(B)，则称 A、B 独立，或称 A、B 相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C，若 P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称 A、B、C 相互独立(完整)概率论知识点总结,推荐文档-第2页(完整)概率论知识点总结,推荐文档-第2页三个事件的两两独立：对于三个事件A、B、C，若 P(AB)=P(A)P(B)，P(A

7、C)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，则称 A、B、C 两两独立独立的性质：若 A 与 B 相互独立，则A与 B，A 与B，A与B均相互独立总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，应牢固掌握。3.独立性是概率论中的最重要概念之一，应正确理解并应用于概率的计算。第二章 一维随机变量及其分布第二节 分布函数分布函数：设 X 是一个随机变量，x 为一个任意实数，称函数F(x)PX x为 X 的分布函数。如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)

8、的值就表示 X 落在区间(,x内的概率分布函数的性质：（1）单调不减；（2）右连续；（3）F()0,F()1第三节 离散型随机变量离散型随机变量的分布律：设xk(k=1,2,)是离散型随机变量 X 所取的一切可能值，称PX xk pk为离散型随机变量 X 的分布律，也称概率分布.当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时，常用表格形式表示分布律。分布律的性质：（1）0 pk1；（2）pk1离散型随机变量的概率计算：（1）已知随机变量 X 的分布律，求 X 的分布函数；F(x)PX xxkxP(xk)（2）已知随机变量 X 的分布律,求任意随机事件的概率；（3）已知随机变量 X 的分布函数，求

9、 X 的分布律PX xk F(xk)F(xk0)三种常用离散型随机变量的分布：1.（01）分布：参数为 p 的分布律为PX 1 p,PX 01 pkknk2.二项分布：参数为n，p 的分布律为PX k Cnp(1 p)，k 0,1,2,n。例如n 重独立重复实验中，事件 A 发生的概率为 p，记 X 为这 n 次实验中事件 A 发生的次数，则 XB（n，p）3.泊松分布：参数为 的分布率为PX kkk!e，k 0,1,2,。例如记 X 为某段事(完整)概率论知识点总结,推荐文档-第3页(完整)概率论知识点总结,推荐文档-第3页件内电话交换机接到的呼叫次数，则XP（）第四节 连续型随机变量连续型

10、随机变量概率密度f(x)的性质（1）f(x)0（2）f(x)dx 1，PX af(x)dx 0aa（3）Pa X b Pa X b Pa X b Pa X b（4）f(x)F(x),F(x)xbaf(x)dxf(x)dxx连续型随机变量的概率计算：（1）已知随机变量 X 的密度函数，求 X 的分布函数；F(x)f(x)dx（2）已知随机变量 X 的分布函数，求 X 的密度函数；f(x)F(x)（3）已知随机变量 X 的密度函数,求随机事件的概率；Pa X bbaf(x)dx（4）已知随机变量 X 的分布函数，求随机事件的概率；Pa X b F(b)F(a)三种重要的连续型分布：11均匀分布：密

11、度函数f(x)b a0a x belse，记为 XUa，b.ex2.指数分布：密度函数f(x)03.正态分布：密度函数f(x)x 0，记为 XE（）x 0e(x)22212，记为X N(,)2N（0，1）称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布，然后再计算概率.Pa X b F(b)F(a)(b)(a)第五节 随机变量函数的分布离散型：在分布律的表格中直接求出；连续型：寻找分布函数间的关系，再求导得到密度函数间的关系；注意分段函数情况可能需要讨论，得到的结果也可能是分段函数。FY(y)PY y Pg(X)y PX G(y)F(G(y

12、)(完整)概率论知识点总结,推荐文档-第4页(完整)概率论知识点总结,推荐文档-第4页第三章 多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量的联合分布函数联合分布函数F(x,y)PX x,Y y，表示随机点落在以（x，y）为顶点的左下无穷矩形区域内的概率。联合分布函数的性质：（1）分别关于 x 和 y 单调不减；（2）分别关于 x 和 y 右连续；（3）F(-,y)=0,F(x,-)=0,F(-,-)=0F(+,+)=1第二节 二维离散型随机变量联合分布律：PX xi,Y yj pij联合分布律的性质：pij 0；第三节 二维连续性随机变量联合密度：F(x,y)pijij1ydvxf(u,v)du联

13、合密度的性质：f(x,y)0；f(x,y)dxdy 1；P(x,y)Df(x,y)dxdyR2D第四节 边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布律：在表格边缘，对应概率相加求出；二维连续性随机变量的边缘密度：先求出边缘分布函数，在求导求出边缘密度第六节 随机变量的独立性独立性判断：（1）若X,Y取值互不影响，可认为相互独立；（2）根据独立性定义判断F(x,y)FX(x)FY(y)离散型可用pij pip j连续型可用f(x,y)fX(x)fY(y)独立性的应用：（1）判断独立性；（2）已知独立性，由边缘分布确定联合分布第四章 随机变量的数字特征离散型随机变量数学期望的计算EX xkkpk，E(g(

14、X)g(xk)pkk连续型随机变量数学期望的计算EX xf(x)dx，E(g(X)g(x)f(x)dx(完整)概率论知识点总结,推荐文档-第5页(完整)概率论知识点总结,推荐文档-第5页方差的计算：DX E(X EX)，DX E(X)E(X)数学期望的性质（1）E(C)=C（2）E(CX)=CE(X)（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)（4）当 X,Y 独立时，E(X Y)=E(X)E(Y)方差的性质（1）D(C)=0（2）D(CX)=CD(X)（3）若 X,Y 相互独立，则 D(X Y)=D(X)+D(Y)常见分布的数学期望和方差两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布2222(完整)概率论知识点总结,推荐文档-第6页(完整)概率论知识点总结,推荐文档-第6页