(word完整版)初一数学培训班讲义.pdf

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1、一家人精品教育初一数学基础知识讲义初一数学基础知识讲义第一讲第一讲 和绝对值有关的问题和绝对值有关的问题一、一、知知识结构框图：识结构框图：数二、二、绝绝对值的意义：对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。(2)代数意义：正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。a当a为正数也可以写成：|a|0当a为0a当a为负数说明：（）|a|0 即|a|是一个非负数；（）|a|概念中蕴含分类讨论思想。三、三、典典型例题型例题例例 1 1（数形结合思想）已知a、b、c 在数轴上位置如图：则代数式|a|+|a+b|+|c-a|

2、-|b-c|的值等于（A）(word完整版)初一数学培训班讲义-第1页(word完整版)初一数学培训班讲义-第1页一家人精品教育A-3aB 2caC2a2bD b解：|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。例例 2 2已知：x 0 z，xy 0，且y z x，那么

3、x z y z x y的值（C）A是正数B是负数C是零D不能确定符号解：由题意，x、y、z 在数轴上的位置如图所示：所以x z y z x y x z(y z)(x y)0分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。例例 3 3（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的 3 倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的

4、解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为 x，乙数为 y由题意得：x 3 y，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若 x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x0，则 4y=8，所以 y=2,x=-6若 x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x0，y0，则-4y=8，所以 y=-2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若 x、y 在原点左侧，即 x0，y0，y0，则 2y=8，所以 y=4,x=12例例 4 4（整体的思想）方程x2008 2008 x的解的个数是

5、（D）A1 个B2 个C3 个D无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008 看成一个整体，问题即转化为求方程a a的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。(word完整版)初一数学培训班讲义-第2页(word完整版)初一数学培训班讲义-第2页一家人精品教育例例 5 5（非负性）已知|ab2|与|a1|互为相互数，试求下式的值1111L aba1b1 a 2b2a2007b2007分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab2|=|a1|=0，解得：a=1,b=2于是1111L aba1b1 a 2b

6、2a2007b20071111 22334200820091111111 223342008200911200920082009在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果同学们可以再深入思考，1111 24466820082010如果题目变成求值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。例例 6 6（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4 与2，3 与 5，2与6，4与 3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系 吗？答：_相等.（2）若数轴上的点 A 表示的数为 x，点 B 表示的数为1，则 A 与 B 两点间

7、的距离可以表示为x(1)x1分析：点B 表示的数为1，所以我们可以在数轴上找到点B 所在的位置。那么点A 呢？因为 x 可以表示任意有理数，所以点A 可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与 B 两点间的距离呢？结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。当 x-1 时，距离为-x-1,当-1x0，距离为x+1综上，我们得到 A 与 B 两点间的距离可以表示为x 1（3）结合数轴求得x2 x3的最小值为5，取得最小值时 x 的取值范围为-3x_2_.(word完整版)初一数学培训班讲义-第3页(word完整版)初一数学培训班讲义-第3页一家人精品教育分析：x2即 x 与 2 的差的绝对值，

8、它可以表示数轴上x 与 2 之间的距离。它也可以表示数轴上 x 与-3 之间的距离。x3 x(3)即 x 与-3 的差的绝对值，如图，x 在数轴上的位置有三种可能：图 1图 2图 3图 2 符合题意（4）满足x1 x 4 3的x的取值范围为x-1分析：同理x 1表示数轴上 x 与-1 之间的距离，x 4表示数轴上 x 与-4 之间的距离。本题即求，当x 是什么数时 x 与-1 之间的距离加上 x 与-4 之间的距离会大于 3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x-1。说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解

9、决某些问题时可以带来方便。事实上，A B表示的几何意义就是在数轴上表示数A 与数 B 的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。四、四、小小结结1理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲：代数式的化简求值问题第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接一、知识链接1“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。2用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。注：一般

10、来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。(word完整版)初一数学培训班讲义-第4页(word完整版)初一数学培训班讲义-第4页一家人精品教育二、典型例题二、典型例题例例 1 1若多项式2mx x 5x8 7x 3y 5x的值与 x 无关，求m 2m 5m 4 m的值.22222分析：多项式的值与 x 无关，即含 x 的项系数均为零因为2mx x 5x 8 7x 3y 5x 2m 8x 3y 82222所以m=4将 m=4 代人，m 2m 5m 4 m m 4m 4 16 16 4 4222利用“整体思

11、想”求代数式的值例例 2 2 x=-2 时，代数式ax bx cx 6的值为 8，求当 x=2 时，代数式ax bx cx 6的值。分析：因为ax bx cx 6 8当 x=-2 时，2 a 2 b 2c 6 8得到2 a 2 b 2c 6 8，所以2 a 2 b 2c 86 1453当 x=2 时，ax bx cx 6=2 a 2 b 2c 6 (14)6 2053535353535353例例 3 3当代数式x 3x 5的值为 7 时,求代数式3x 9x 2的值.分析：观察两个代数式的系数由x 3x 5 7得x 3x 2，利用方程同解原理，得3x 9x 6整体代人，3x 9x 2 4代数式的

12、求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。例例 4 4 已知a a 1 0，求a 2a 2007的值.分析：解法一（整体代人）：由a a 1 0得a a a 0所以：a3 2a2 2007 a3 a2 a2 2007 a a2 2007解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。2322322222221 2007 2008(word完整版)初一数学培训班讲义-第5页(word完整版)初一数学培训班讲义-第5页一家人精品教育由a a 1 0，得a 1 a，所以：a3 2a2 200722 a2a 2a2

13、2007(1 a)a 2a2 2007 a a2 2a2 2007 a a2 20071 2007 20082解法三（降次、消元）：a a 1（消元、减项）a3 2a2 2007 a3 a2 a2 2007 a(a2 a)a2 2007 a a 20071 2007 20082例例 5 5（实际应用）A 和 B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200 元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50 元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？分析：分别列出第一年、第二年、第n 年的实际收入（元）第一年：A 公司

14、10000；B 公司 5000+5050=10050第二年：A 公司 10200；B 公司 5100+5150=10250第 n 年：A 公司 10000+200(n-1）；B 公司：5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n-1)由上可以看出 B 公司的年收入永远比A 公司多 50 元，如不细心考察很可能选错。abcabacbc例例 6 6三个数 a、b、c 的积为负数，和为正数，且x，abcabacbc则ax bx cx 1的值是_。解：因为 abc0，所以 a、b、c 中只有一个是负数。不妨设 a0，c0则 ab0，ac0所以 x=-1+1+1-

15、1-1+1=0将 x=0 代入要求的代数式，得到结果为1。32(word完整版)初一数学培训班讲义-第6页(word完整版)初一数学培训班讲义-第6页一家人精品教育同理，当 b0，c，所以此时方程的解是 x=152当 5x-2=0 时，即 x=，得到矛盾等式 0=3，所以此时方程无解521当 5x-20 时，即 x，5x-2=-3，x=55121因为 x=符合大前提 x0 时，即 x注：求出 x 的值后应注意检验 x 是否符合条件解法 2：（整体思想）联想：a 3时，a=3类比：5x2 3，则 5x-2=3 或 5x-2=-3解两个一元一次方程，方程的解为x=1 或 x=例例 1010 解方程

16、152 x1 513解：去分母 2|x-1|-5=3移项2|x-1|=8|x-1|=4所以 x-1=4 或 x-1=-4解得 x=5 或 x=-3例例 1111 解方程x1 2x1分析：此题适合用解法 2当 x-10 时，即 x1，x-1=-2x+1，3x=2，x=因为 x=232不符合大前提 x1，所以此时方程无解3当 x-1=0 时，即 x=1，0=-2+1，0=-1，此时方程无解(word完整版)初一数学培训班讲义-第11页(word完整版)初一数学培训班讲义-第11页一家人精品教育当 x-10 时，即 x1，1-x=-2x+1，x=0因为 x=0 符合大前提 xAD B.ACBD D.

17、CD3123l l2 2l l3 3l l1 1O OAC1EB2FGD(word完整版)初一数学培训班讲义-第21页(word完整版)初一数学培训班讲义-第21页一家人精品教育10.如图所示,L1,L2,L3交于点 O,1=2,3:1=8:1,求4 的度数.(方程思想)答案：3611 如图所示,已知 ABCD,分别探索下列四个图形中P 与A,4C得的四个关系中任选一个加以说明.3l1221,请你从所的关系ll3AAPCDBBPAPBDACPBDCDC (1)(2)(3)(4)（1）分析：过点 P 作 PE/ABAPE+A+C=360（2）P=A+C（3）P=C-A,（4）P=A-C12如图，

18、若 AB/EF，C=90，求 x+y-z 度数。分析：如图，添加辅助线证出：x+y-z=9013已知：如图，BAP APD 180，1 2求证：E F分析：法一A AC Cy yz zx xB BD DF FE EAFC1EB2PD(word完整版)初一数学培训班讲义-第22页(word完整版)初一数学培训班讲义-第22页一家人精品教育法二：由 AB/CD 证明PAB=APC，所以EAP=APF所以 AE/FP所以E F第七讲：平面直角坐标系第七讲：平面直角坐标系一、知识要点：一、知识要点：1、特殊位置的点的特征（1）各个象限的点的横、纵坐标符号（2）坐标轴上的点的坐标：x轴上的点的坐标为(x

19、,0),即纵坐标为 0;y轴上的点的坐标为(0,y)，即横坐标为 0;2、具有特殊位置的点的坐标特征设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)P1、P2两点关于x轴对称x1 x2，且y1 y2;P1、P2两点关于y轴对称x1 x2，且y1 y2;P1、P2两点关于原点轴对称x1 x2，且y1 y2。3、距离（1）点 A(x,y)到轴的距离：点 A 到x轴的距离为|y|；点 A 到y轴的距离为|x|；（2）同一坐标轴上两点之间的距离：A(xA,0)、B(xB,0)，则AB|xA xB|；A(0,yA)、B(0,yB)，则AB|yA yB|；二、典型例题二、典型例题1、已知点 M 的坐标为（x，y）

20、，如果 xyc,b+ca,c+ab（两点之间线段最短）由上式可变形得到：acb，bac，cba即有：三角形的两边之差小于第三边2 高由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。3 中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线4 角平分线三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线二、典型例题二、典型例题（一）三边关系1已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么 a 的取值范围是()A.1a5 B.2a6 C.3a7 D.4a62小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为 8m 和 5m 的木棒。如果要求第

21、三根木棒的长度是整数小颖有几种选法？可以是多少？分析：设第三根木棒的长度为x，则 3x1（AB+AC）2BDC(word完整版)初一数学培训班讲义-第26页(word完整版)初一数学培训班讲义-第26页一家人精品教育分析：因为BD+ADAB、CD+ADAC所以BD+AD+CD+AD AB+AC因为 AD 是 BC 边上的中线，BD=CD所以 AD+BD1（AB+AC）2A（二）三角形的高、中线与角平分线D问题：（1）观察图形，指出图中出现了哪些高线？（2）图中存在哪些相等角？1 12 2B注意基本图形：双垂直图形C4如图，在直角三角形ABC 中，ACAB，AD 是斜边上的高，DEAC，DFAB

22、，垂足分别为 E、F，则图中与C（C 除外）相等的角的个数是（）A5B4C3D2分析：5如图，ABC 中，A=40，B=72，CE 平分ACB，CDAB 于 D，DFCE，求CDF 的度数。分析：CED=40+34=74所以CDF=746一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块地分成面积相等的四块，请你设计出四种划分方案供选择，画图说明。A AA A分析：E EF FB BD DC CB BE ED DF FC CA AA AA AE EF FE EF FB BD DC CB BD DC CB BD DE EC C(word完整版)初一数学培训班讲义-第27页(word完整版)初一数学培训班讲义-第27页