(完整版)高等代数知识点归纳,推荐文档.pdf

《(完整版)高等代数知识点归纳,推荐文档.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(完整版)高等代数知识点归纳,推荐文档.pdf（6页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、aAA,i j,i1Aj1ai2Aj2L ainjn0,i j.AOOB=AOBAOB A BOABO=ABO(1)mnA Ba1nOa1na2n1a2n1NN(1)n(n1)2a1na2nK an1an1Oan1O范德蒙德行列式：范德蒙德行列式：11L1x1x2Lxnx21x22Lx2nxi xjMMM1 jinxn11xn12Lxn1n代数余子式和余子式的关系：MMi i j jA Aij ijA Ai i j jij ij(1)ij ij(1)MMij ij分块对角阵相乘：分块对角阵相乘：AA11A,B B11AB A11B11n22BA,AnA112222B22T分块矩阵的转置矩阵：分

2、块矩阵的转置矩阵：ABCTCD ATBTDTA11A21LAn1A*ATAijA12A22Ln2MMM，Aij为为A中各个元素的代数余子式中各个元素的代数余子式.A1nA2nLAnnAA*A*A A E,A*An1,A1 A1.*分块对角阵的伴随矩阵：分块对角阵的伴随矩阵：ABA*BAB*第1页 共 6 页An22(完整版)高等代数知识点归纳,推荐文档-第1页(完整版)高等代数知识点归纳,推荐文档-第1页矩阵转置的性质：矩阵转置的性质：(AT)T A矩阵可逆的性质：矩阵可逆的性质：(A1)1 A伴随矩阵的性质：伴随矩阵的性质：(A)An2(AB)T BTATAT A1(A1)T(AT)1(AT

3、)(A)T(AB)1 B1A1A1 A(A1)k(Ak)1 AkA(AB)BAA An1(A)(A)1 1AA(Ak)(A)kn若r(A)nr(A)1若r(A)n10若r(A)n1BA1A1AB A BAk AkAA AA A E（无条件恒成立）（无条件恒成立）a11Ba211a1 a31a2a13a3a21a1 1a11a31a2矩阵的秩的性质：矩阵的秩的性质：A O r(A)1;A O r(A)0;0r(Amn)min(m,n)r(A)r(B)n若Amn,Bns,若r(AB)0B的列向量全部是Ax 0的解r(AB)minr(A),r(B)若P P、Q Q可逆，则r r(A A)r r(PA

4、PA)r r(AQAQ)r r(PAQPAQ)；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.Ax 只有零解 r(AB)r(B)若若r(Amn)n；AB O B OA在矩阵乘法中有左消去律AB AC B C若若r(Bns)n r(AB)r(B)B在矩阵乘法中有右消去律.OEr等价，称OOO为矩阵A的等价标准型等价标准型.OEr若r(A)r A与唯一的Or(A B)r(A)r(B),maxr(A),r(B)r(A,B)r(A)r(B)AOOA ACr r(A)r(B),r r(A)r(B)OBBOOB第2页 共 6 页(完整版)高等代数知识点归纳,推荐文档-第2页(完整版)高等代数知识点

5、归纳,推荐文档-第2页 标准正交基标准正交基n个个n维线性无关的向量维线性无关的向量,两两正交两两正交,每个向量长度为每个向量长度为 1.1.与正交(,)0.记为：记为：向量向量a1,a2,L,an的长度的长度是单位向量是单位向量T22(,)ai2a12a2L ani1n(,)1.即长度为即长度为1的向量的向量.内积的性质：内积的性质：正定性正定性 对称性对称性 线性性线性性A 12LnitrA，trA称为矩阵称为矩阵A的迹的迹.1n特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法 (1)(1)写出矩阵写出矩阵 A A 的特征方程的特征方程AE 0，求出特征值，求出特征值i.(2)(2)根据根据(

6、AiE)x 0得到得到 A A 对应于特征值对应于特征值i的特征向量的特征向量.设设(AiE)x 0的基础解系为的基础解系为1,2,Lnri,其中其中ri r(AiE).则则 A A 对应于特征值对应于特征值i的全部特征向量为的全部特征向量为k11k22L knrinri,其中其中k1,k2,L,knri为任意不全为零的数为任意不全为零的数.3.3.A与与B相似相似P AP B（P为为可逆矩阵可逆矩阵）A与与B正交相似正交相似P AP B（P为为正交矩阵正交矩阵）A可以相似对角化可以相似对角化A与对角阵与对角阵相似相似.（称（称是是A的相似标准形）的相似标准形）7.7.矩阵对角化的判定方法矩阵

7、对角化的判定方法 n n 阶矩阵阶矩阵 A A 可对角化可对角化(即相似于对角阵即相似于对角阵)的充分必要条件是的充分必要条件是 A A 有有 n n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.这时这时,P为为A的特征向量拼成的矩阵，的特征向量拼成的矩阵，P AP为对角阵为对角阵,主对角线上的元素为主对角线上的元素为A的特征值的特征值.设设i为对应于为对应于i的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量,则有：则有：111121P AP O第3页 共 6 页.n(完整版)高等代数知识点归纳,推荐文档-第3页(完整版)高等代数知识点归纳,推荐文档-第3页A可相似对角化可相似对角化nr(iE A)ki

8、，其中，其中ki为为i的重数的重数A恰有恰有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.注注：当：当 0为为A的重的特征值时，的重的特征值时，A可相似对角化可相似对角化ii的重数的重数 nr(A)Ax 基础解系的个数基础解系的个数.若若n阶矩阵阶矩阵A有有n个互异的特征值个互异的特征值A可相似对角化可相似对角化.正交矩阵正交矩阵AAT E 正交阵的行列式等于正交阵的行列式等于 1 1 或或-1-1；两个正交阵之积仍是正交阵；两个正交阵之积仍是正交阵；A的行（列）向量都是单位正交向量组的行（列）向量都是单位正交向量组.施密特正交规范化施密特正交规范化1,2,3线性无关线性无关,11(,)正交化2

9、2211(,)11(3,1)(,)132233(1,1)(2,2)单位化：单位化：1第4页 共 6 页12233123(完整版)高等代数知识点归纳,推荐文档-第4页(完整版)高等代数知识点归纳,推荐文档-第4页a11a12nna21a221.1.二次型二次型f(x1,x2,L,xn)aijxixj(x1,x2,L,xn)LLi1 j1an1an2其中其中A为对称矩阵，为对称矩阵，x (x1,x2,L,xn)TA与与B合同合同C AC B.（A,B为实对称矩阵,C为可逆矩阵）TLLLLa1n x1a2nx2T x AxL L annxn求求 C(A I)C(A I)(B CT)(B CT)这个变

10、换先进行行变换这个变换先进行行变换 再进行一致的列变换再进行一致的列变换 最后最后 求得求得 C C 和和 CTCT 正惯性指数正惯性指数 二次型的规范形中正项项数二次型的规范形中正项项数p负惯性指数二次型的规范形中负项项数负惯性指数二次型的规范形中负项项数r p 两个矩阵合同两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等他们的秩与正惯性指数分别相等.两个矩阵合同的充分条件是：两个矩阵合同的充分条件是：A与与B等价 两个矩阵合同的必要条件是：两个矩阵合同的必要条件是：r(A)r(B)正交变换2.2.f(x1,x2,L,xn)x Ax经过经过合同变换Tx

11、 Cy化为化为f diyi2标准形标准形.1n可逆线性变换 正交变换法正交变换法 配方法配方法（1 1）若二次型含有）若二次型含有xi的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有xi的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;（2 2）若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是aij 0(i j),),则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换第5页 共 6 页(完整版)高等代数知识点归纳,推荐文档-第5页(完整版)高等代数知识点

12、归纳,推荐文档-第5页xi yi yjxj yi yjx ykkk 1,2,L,n且k i,j,3.3.正定二次型正定二次型x1,x2,L,xn不全为零，不全为零，f(x1,x2,L,xn)0.正定矩阵正定矩阵正定二次型对应的矩阵正定二次型对应的矩阵.4.4.f(x)x Ax为正定二次型为正定二次型（之一成立）：（之一成立）：（1 1）x，x Ax 0；（2 2）A的特征值全大于的特征值全大于0；（3 3）f的正惯性指数为的正惯性指数为n；（4 4）A的所有顺序主子式全大于的所有顺序主子式全大于0；（5 5）A与与E合同，即存在可逆矩阵合同，即存在可逆矩阵C使得使得C AC E；（6 6）存在可逆矩阵）存在可逆矩阵P，使得，使得A P P；TTTT A可逆r(A)nA的列（行）向量线性无关A的特征值全不为0Ax 只有零解 x，Ax A 0 nR,Ax 总有唯一解ATA是正定矩阵A EA p p pp是初等阵12si存在n阶矩阵B,使得AB E 或 AB E A不可逆r(A)nA 0 A的列（行）向量线性相关0是A的特征值Ax 有非零解,其基础解系即为A关于0的特征向量第6页 共 6 页(完整版)高等代数知识点归纳,推荐文档-第6页(完整版)高等代数知识点归纳,推荐文档-第6页