(完整版)高等数学第七版下册复习纲要.pdf

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1、第七章：微分方程第七章：微分方程一、微分方程的相关概念一、微分方程的相关概念1.微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.2.微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解.特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解.3.特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解；也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中.二、微分方程的常见类型及其解法二、微分方程的常见类型及其解法1.可分离变量的微分方程及其解法(1).方程的形式：g(y)dy f(x)dx

2、.(2).方程的解法：分离变量法(3).求解步骤.分离变量，将方程写成g(y)dy.两端积分：f(x)dx的形式；g(y)dy f(x)dx，得隐式通解G(y)F(x)C；.将隐函数显化.2.齐次方程及其解法(1).方程的形式：dy y.dxx(2).方程的解法：变量替换法(3).求解步骤ydydu，有y ux及；u xxdxdxdu代入原方程得：u x(u)；dxdudx分离变量后求解，即解方程；(u)ux引进新变量u 变量还原，即再用y代替u.x3.一阶线性微分方程及其解法(1).方程的形式：dy P(x)y Q(x).dxdy一阶齐次线性微分方程:P(x)y 0.dx一阶非齐次线性微分方

3、程:dy P(x)y Q(x)0.dx1(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第1页(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第1页(2).一阶齐次线性微分方程dy P(x)y 0的解法:分离变量法分离变量法.dx通解为y CeP(x)d x,(CR).(公式公式)(3).一阶非齐次线性微分方程对方程dy P(x)y Q(x)0的解法:常数变易法常数变易法.dxdy P(x)y Q(x)，设y u(x)eP(x)d x为其通解，其中u(x)为未知函数，dx P(x)d xdy从而有u(x)eu(x)P(x)eP(x)d x，dx代入原方程有u(x)e P(x)d xu(x)P(x)eP(x)d x

4、 P(x)u(x)eP(x)d xQ(x)，整理得u(x)Q(x)e两端积分得u(x)P(x)d xQ(x)eP(x)d xdx C，再代入通解表达式，便得到一阶非齐次线性微分方程的通解y eP(x)d x(Q(x)eP(x)d xdxC)CeP(x)d xeP(x)d xQ(x)eP(x)d xdx，(公式公式)即非齐次线性方程通解非齐次线性方程通解=齐次线性方程通解齐次线性方程通解+非齐次线性方程特解非齐次线性方程特解.第八章：空间解析几何与向量代数第八章：空间解析几何与向量代数一、向量a (xa,ya,za),b (xb,yb,zb),c (xc,yc,zc)1.向量a (xa,ya,z

5、a)与b(xb,yb,zb)的数量积：a b a b cos xaxb xbyb zazb；ij2.向量a (xa,ya,za)与b(xb,yb,zb)的向量积：ab xayaxbybab a b sin的几何意义为以a,b为邻边的平行四边形的面积.3.向量rkzazb.(x,y,z)的方向余弦：cosxx y z222,cosyx y z222,cosyx y z222，cos2cos2cos21；sin2sin2sin2 2.4.向量a (xa,ya,za)与b(xb,yb,zb)垂直的判定：a b ab 0 xaxb xbyb zazb 0.5.向量a (xa,ya,za)与b(xb,y

6、b,zb)平行的判定：2(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第2页(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第2页xxza/b ab 0 a kb,k 0 aba k.xbybzb6.三向量共面的判定：ka mb nc 0a,b,c共面.abxaxb xbyb zazbb 7.向量a (xa,ya,za)在b(xb,yb,zb)上的投影：Pr ja222axa ya za二、平面1.过点P(x0,y0,z0)，以n.(A,B,C)为法向量的平面的点法式方程：A(x x0)B(y y0)C(z z0)0.2.以向量n(A,B,C)为法向量的平面的一般式方程：Ax ByCz D 0.Ax ByCz

7、D 0的距离d 3.点M(x1,y1,z1)到平面Ax1 By1 cz1 DA B C222错误错误!未找到引用源。未找到引用源。.4.平面1:A1x B1y C1z D1 0与2:A2x B2y C2z D2 0平行的判定：1/2 n1/n25.平面1A1B1C1D1A2B2C2D2.:A1x B1y C1z D1 0与2:A2x B2y C2z D2 0垂直的判定：16.平面12 n1 n2 A1A2 B1B2C1C2 0.:A1x B1y C1z D1 0与2:A2x B2y C2z D2 0的夹角：cos三、直线 1.过点P(x0,y0,z0)，以sA1A2 B1B2C1C2A B C

8、 A B C212121222222(m,n,p)为方向向量的直线的点向式(对称式、标准)方程：.x x0y y0z z0mnpx x0tm2.过点P(x0,y0,z0)，以s (m,n,p)为方向向量的直线的参数式方程：y y0tn.z z tp0A1x B1yC1z D1 03.直线的一般式方程：.方向向量为s n1n2.A2x B2yC2z D2 04.直线方程之间的转化：i)点向式参数式3(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第3页(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第3页ii)一般式点向式第一步：找点第二步：找方向向量s n1n2与L25.直线L1:x x1y y1z z1m1n1

9、p1L1:x x2y y2z z2m2n2p2.平行的判定：mnp/L2 s1/s2111m2n2p2与L26.直线L1:x x1y y1z z1m1n1p1:x x2y y2z z2m2n2p2垂直的判定：L1 L2 s1 s2 m1m2n1n2 p1p2 0.7.直线L1:x x1y y1z z1m1n1p1与L2:x x2y y2z z2m2n2p2.的夹角：cos8.直线L:m1m2n1n2 p1p2m n p m n p212121222222x x0y y0z z0与平面:Ax By Cz D 0垂直的判定：lmnlmnL S/N.ABCx x0y y0z z09.直线L:与平面:

10、Ax By Cz D 0平行的判定：lmnL/S N Al BmCn 0.10.直线L:x x0y y0z z0lmnsin2与平面:Ax By Cz D 0的夹角：.Am Bn CpA B C m n p22222PM sA x B yC z D 0111111.点P(x0,y0,z0)到直线的距离：d A x B yC z D 0s2222四、曲线、曲面1.，其中M是直线上任意一点，s n1n2.yoz平面上的曲线C：f(y,z)0绕z轴旋转一周所得的旋转曲面为S：f(x2 y2,z)0.2.空间曲线C：F(x,y,z)0关于xoy平面上的投影柱面方程为：H(x,y)0；G(x,y,z)0

11、4(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第4页(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第4页在xoy平面上的投影曲线为C：H(x,y)0.z 0第九章：多元函数微分法及其应用第九章：多元函数微分法及其应用一、平面点集1.内点一定在点集内，但点集内的点未必是点集的内点，还有孤立点；2.聚点可以是点集的边界点，也可以是点集的内点，但不可以是点集的外点和点集内的孤立点；3.开集和闭集内的所有点都是聚点.二、二元函数的极限、连续性的相关知识点1.二元函数2.二元函数f(x,y)在(x0,y0)点的二重极限：f(x,y)在(x0,y0)点的连续性：(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A.(x,y)(

12、x0,y0)limf(x,y)f(x0,y0).3.二元初等函数在其定义区域内连续.二、二元函数的偏导数的相关知识点1.函数z f(x,y)对自变量x,y的偏导数：zz及错误错误!未找到引用源。未找到引用源。.xy2z2z2z、错误错误!未找到引用源。未找到引用源。、2xyyxy2z2.函数z f(x,y)对自变量x,y的二阶偏导数：x22z2z注：若二阶混合偏导数与连续，则二者相等.xyyx三、二元函数的全微分：dz zzdxdyxy四、二元函数连续性、偏导数存在性以及全微分存在性三者之间的关系1.函数连续性与偏导数存在性的关系：二者没有任何的蕴涵关系.2.偏导数存在性与全微分存在性的关系：

13、全微分存在，偏导数存在；反之未必.(偏导数不存在，全微分一定不存在)偏导数连续，全微分存在，反之未必.3.连续性与全微分存在性的关系：全微分存在，函数一定连续；(函数不连续，全微分一定不存在)函数连续，全微分未必存在.五、二元复合函数的偏(全)导数1.中间变量为两个，自变量为一个的复合函数的全导数：z f(u,v),u(t),v(t),z f(t),(t)，dzz duz dvdtu dtv dt2.中间变量为两个，自变量为两个的复合函数的偏导数：5(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第5页(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第5页z f(u,v),u(x,y),v(x,y),z f(x,

14、y),(x,y)，zz uz v zz uz v,xu xv x yu xv x六、隐函数微分法1.由一个方程确定的隐函数微分法：F(x,y,z)0确定隐函数z f(x,y)，直接对方程左右两端关于自变量求偏导数，即F dxF dyF z 0，即x dxy dxz xFxFFF zz10 0，解得 xyz xxFz2.由方程组确定的隐函数组微分法：F(x,y,u,v)0u u(x,y)确定隐函数，G(x,y,u,v)0v v(x,y)F dxF dyF uF vx dxy dxu xv x 0直接对方程组左右两端关于自变量求偏导数，即，即G dxG dyG uG v 0 x dxy dxu x

15、v xFF uF v 0u vxu xv x，可以解出,.x xGG uG v 0 xu xv x七、偏导数的几何应用1.曲线的切线方程和法平面方程x(t),1).以参数式方程y(t),表示的曲线在t t0对应的点M(x0,y0,z0)的z(t)切线方程：x x0y y0z z0(t0)(t0)(t0)法平面方程：(t0)(x x0)(t0)(y y0)(t0)(z z0)0F(x,y,z)02).以一般式方程表示的曲线在点M(x0,y0,z0)的切线和法平面方程：G(x,y,z)0先 用 方 程 组F(x,y,z)0G(x,y,z)0dzdxxx0确 定 的 隐 函 数 组y f(x)z g

16、(x)微 分 法 求 出dy dz,dx dx，然 后 得 到 切 线 的 方 向 向 量dyn 1,dxxx0,6(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第6页(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第6页切线方程：x x0y y0z z01f(x0)g(x0)x0 f(x0)(y y0)g(x0)(z z0)0法平面方程：x 2.曲面的切平面方程和法线方程1).以一般式方程F(x,y,z)0表示的曲面在点M(x0,y0,z0)的切平面和法线方程：切平面线方程：Fx(M)(x x0)Fy(M)(y y0)Fz(M)(z z0)0法方程：x x0y y0z z0Fx(M)Fx(M)Fz(M)2).

17、以特殊式方程z令F(x,y,z)f(x,y)表示的曲面在点M(x0,y0,z0)的切平面和法线方程：f(x,y)z 0，有曲面在点M(x0,y0,z0)的切平面的法向量N (Fx(M),Fy(M),Fz(M)(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)切平面线方程：fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(y y0)(z z0)0.法方程：x x0y y0z z01fx(x0,y0)fx(x0,y0)3.方向导数与梯度：1).方向导数：ff(x x,y y)f(x.y)liml02).方向导数存在条件：可微分函数z f(x,y)在一点沿任意方向l的方向导数都存在，并且是方向l的方向余弦

18、.fzzcoscos，其中cos,coslxy3).梯度：函数f(x,y,z)在点M(x0,y0,z0)处的梯度grad f(x0,y0,z0)fx(x0,y0,z0)i fy(x0,y0,z0)j fz(x0,y0,z0)k().4).方向导数与梯度的关系：.函数f(x,y,z)在点M(x0,y0,z0)处增加最快的方向是其梯度grad f(x0,y0,z0)的方向，减小最快的方向是 gradf(x0,y0,z0)的方向.函数f(x,y,z)在点M(x0,y0,z0)沿任意方向的方向导数的最大值为grad f(x0,y0,z0).八、极值、条件极值1.函数z f(x,y)的极值点和驻点的关系

19、：函数z f(x,y)的极值在其驻点或不可偏导点取得.7(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第7页(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第7页2.求函数极值的步骤：fx(x,y)0(1).对函数z f(x,y)求偏导数，解方程组，得所有驻点(xi,yi).fy(x,y)0(2).对每一个驻点(xi,(3).计算B若B若B若B若B2yi)，求出二阶偏导数的值A fxx(xi,yi),B fxy(xi,yi),C fyy(xi,yi).2 AC，根据B2 AC以及A的符号判定f(xi,yi)是否是极值：AC 0,A 0，则f(xi,yi)是极小值；AC 0,A 0，则f(xi,yi)是极大值；A

20、C 0,，则f(xi,yi)不是极小值；AC 0,，则f(xi,yi)是否是极值不能判定，需其他方法验证.2223.求函数z f(x,y)在附加条件(x,y)0下的条件极值的方法：y)f(x,y)(x,y)，对自变量x,y求偏导，建立方程组做拉格朗日函数F(x,Fx(x,y)fx(x,y)x(x,y)0Fy(x,y)fy(x,y)y(x,y)0Fx(x,y)fx(x,y)x(x,y)0与附加条件联立的方程组Fy(x,y)fy(x,y)y(x,y)0，解出的x,y就是函数z f(x,y)的可能极值点.(x,y)0第十章：重积分第十章：重积分一、二重积分的相关性质1.有界闭区域上的连续函数2.若函

21、数f(x,y)在该区域D上二重积分f(x,y)d存在；DDf(x,y)在有界闭区域D上二重积分存在f(x,y)d，则f(x,y)在该区域上有界；f(x,y)在有界闭区域D上连续，区域D的面积为，则在3.中值性：若函数D上至少存在一点(,)，使得4.Df(x,y)d f(x,y).D1d，区域D的面积为.二、二重积分的计算1.利用平面直角坐标计算二重积分1).先对y后对x积分，a x b；1(x)y 2(x)，有由于积分区域D:8(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第8页(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第8页Df(x,y)ddxab2(x)1(x)f(x,y)dy.2).先对x后对y积分

22、，c y d；1(y)x 2(y)，有d由于积分区域D:f(x,y)dDcdy2(y)1(y)f(x,y)dx.d3).积分换序：badx2(x)1(x)f(x,y)dy f(x,y)ddyDc2(y)1(y)f(x,y)dx.2.利用极坐标计算二重积分令x cos，由于积分区域D:；1()x 2()，有y sinf(x,y)ddD2()1()f(cos,sin)d.三、三重积分的相关性质：四、三重积分的计算1dV V，区域的体积为V.1.利用直角坐标计算三重积分积分区域V：a x b；y1(x)y y2(x)；z1(x,y)z z2(x,y)，有by2(x)f(x,y,x)dV dxay1(

23、x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz第十一章：曲线积分第十一章：曲线积分 曲面积分曲面积分一、曲线积分的计算1.第一型曲线积分的计算：若曲线C的参数方程是：x(t),t0 t t1，则第一型曲线积分y(t),t1t0若 曲 线Cf(x,y)ds f(t),(t)2(t)2(t)dtx(t),t0t t1y(t),t1t02.第二型曲线积分的计算：C的 参 数 方 程 是：，t0 tA,t1 tB分 别 对 应 曲 线 的 两 个 端 点，则 第 一 型 曲 线 积 分CP(x,y)dxQ(x,y)dy P(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dt3.格林公式(联系曲线积

24、分和二重积分)设有界闭区域D由分段光滑曲线C所围成，C取正向，函数P(x,y),Q(x,y)在9D上具有一阶连续偏导数，则有格林公式(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第9页(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第9页CPdxQdy QPDxydxdy.注：1.可用第二型曲线积分计算该曲线所围成区域的面积：设有界闭区域D由取正向的光滑曲线C所围成，则区域D的面积为dxdy D1 ydx xdy.C22.函数P(x,y),Q(x,y)在区域D上连续.二、曲面积分的计算1.第一型曲面积分的计算：若曲面S的方程是：z面积分 z(x,y)具有连续偏导数，且在xoy平面上的投影区域为Dxy，函数f(x

25、,y,z)在S上连续，则第一型曲Sf(x,y,z)dS Dxy2fz,y,z(z,y)1 zx zy2dxdy2.第二型曲面积分的计算：若正向曲面S的方程是：z z(x,y)，且在xoy平面上的投影区域为Dxy，函数R(x,y,z)在S上连续，则第二型曲面积分DxyR(x,y,z)dxdy SRx,y,z(x,y)dxdy，Rx(y,z),y,z)dydz；同理可得P(x,y,z)dydz SDyzQ(x,y,z)dzdx SDzxQx,y(z,x),z)dzdx3.高斯公式(联系曲面积分和三重积分)若函数P(x,y,z),Q(x,y,z)在空间有界闭区域及其光滑边界曲面 S 上具有连续偏导数

26、，则有高斯公式：PQRPdydz Qdzdx Rdxdy Sxyzdxdydz.注：设空间有界闭区域由光滑封闭曲面 S 所围成，则区域的体积为V 1xdydz ydzdx zdxdy.S34.斯托克斯公式(联系曲面积分和三重积分)若 函 数P(x,y,z),Q(x,y,z)在 光 滑 曲 面S及 其 光 滑 的 边 界 曲 线C上 具 有 连 续 偏 导 数，则 有 斯 托 克 斯 公 式RQQPPRPdxQdy Rdz dydzdzdxLDxydxdy.yzzx三、曲线积分与路径无关的条件(1).曲线积分C(A,B)P(x,y)dxQ(x,y)dy与路径无关；(2).P(x,y)dxQ(x,

27、y)dy 0；C10(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第10页(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第10页(3).存在函数u(x,y)，使得du P(x,y)dxQ(x,y)dy；(4).QPxy第十二章：无穷级数第十二章：无穷级数一、级数敛散性的相关性质n1.an敛散Snak敛散n1k12.an1n收敛limnan 03.limann 0ann1发散4.正项级数5.i1an的部分和数列Sn有界级数i1an收敛收敛nni1annni1an收敛.二、级数敛散性判别1.正项级数敛散性判别(1).比较判别法；(2).比值判别法；(3).根值判别法.2.交错级数收敛性判别法：莱布尼兹判别法3.任

28、意项级数敛性判别法：绝对收敛判别法4.两种常用级数收敛和发散的条件(1).等比级数aqn1n1收敛条件是q 1；发散条件是q 1.(2).p级数1pi1nn收敛条件是p 1；发散条件是p 1.二、幂级数的相关概念1.收敛域的求法(1).对标准幂级数a xnn0n，先求其收敛半径R 1limn1an1an，再判断级数a Rnn0n以及an0n(R)n的敛散性，最后确定收敛域是(R,R)、(R,R、R,R)以及R,R中的哪一个.11(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第11页(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第11页(2).对非标准幂级数an0n(x)，先求极限liman1(x)an(x)n(x)，当(x)1时，an(x)绝对收敛，解出x(a,b)，n0再判断级数a ann0n以及a bnn0n的敛散性，最后确定收敛域是(a,b)、(a,b、a,b)以及a,b中的哪一个.2.和函数的求法：利用和函数的性质(1).连续性；(2).逐项可微分；(1).逐项可积分.3.函数的幂级数展开式.12(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第12页(完整版)高等数学第七版下册复习纲要-第12页