新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全.pdf

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1、精心整理高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 说明：（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者 不是这个给定的集合的元素。（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集 合时，仅算一个元素。（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较 它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。（4）集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性

2、和整体性。3、集合的表示：如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋（1）用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列举法与描述法。（）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。（）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方 法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第1页新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第1页数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是xR|x-32或x|x-32（3）图示法（文氏图）

3、：精心整理4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R5、“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作aA，相反，a不属于集合A记作a A6、集合的分类：1有限集含有有限个元素的集合2无限集 含有无限个元素的集合3空集不含任 何元素的集合二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集 合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集

4、合B不包含集合A,记作A B或B A集合A中有n个元素,则集合A子集个数为2n.2“相等”关系（55，且55，则5=5）实例：设A=x|x2-1=0B=-1,1“元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=BA B且B A任何一个集合是它本身的子集。A A新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第2页新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第2页真子集:如果A B,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B（或BA）精心整理如果A B,B C,那么A C如果A B同

5、时B A那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的 交集记作AB(读作”A交B”)，即AB=x|xA，且xB2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫 做A,B的并集。记作：AB(读作”A并B”)，即AB=x|xA，或xB3、交集与并集的性AA=A，A=,AB=BA，AA=A，A=A,A4、全集与补集(1)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。(2)补集：

6、设S是一个集合，A是S的一个子集(即ASS)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集C(sA或 余集A)。记作：CSA，即CSA=x|x S且x A(3)性质：CU(CUA)=A(CUA)A=(CUA)A=U(4)(CUA)(CUB)=CU(AB)(5)(CUA)(CUB)=CU(AB)二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第3页新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第3页于集 合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：精心整理AB为从集

7、合A到集合B的一个函数记作：y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集 合f(x)|xA叫做函数的值域注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是 指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成 集合或区间 的 形式定义域补充：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据 是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函 数是由一些基

8、本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意 义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义 域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)。(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：定义域一致；表达式相同(两点必新课标人教A版高一数学必修知

9、识点总结归纳大全-第4页新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第4页须 同时具备)值域补充新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第5页新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第5页精心整理(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先 考虑其定义域.(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是 求解复杂函数值域的基础。3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(xA)的图象C上每一点的坐标(x，

10、y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每 一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C=P(x,y)|y=f(x),xA图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的 直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2)画法：A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为 坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换、对称变换:(1)将y=f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=f(x)的图象如：书上P2

11、1例5x(2)y=f(x)和y=f(-x)的图象关于y轴对称。如y ax与y ax 11a(3)y=f(x)和y=-f(x)的图象关于x轴对称。如y logax与y logax log1xa、平移变换:由f(x)得到f(x a)左加右减；由f(x)得到f(x)a上加下减(3)作用：A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发现解题中的错误。精心整理新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第6页新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第6页4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的 数轴表示5映射

12、定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就 称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B”给定一个集合A到B的映射，如果aA,bB.且元素a和元素b对应，那么，我们 把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象 说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B及对应法则f是确定的；对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；对于映射f：AB来说，则应满足：（）集合A中的每一个元素，在集合B中 都有象，并且象是唯一的

13、；（）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以 是同一个；（）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6、函数的表示法：常用的函数表示法及各自的优点：1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一 个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。2解析法：必须注明函数的定义域；3图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的 特征；4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第7页新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第7页精心整理注意：解析法：便于

14、算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况注意：(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 补充二：复合函数如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则y=fg(x)=F(x)，(xA)称为f是g的 复合函数。7函数单调性(1)增函数设函数y=f(x)的定义

15、域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间；如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那 么就说f(x)在这个区间上是 减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2、必须是对于区间D内的任意 两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)2)图象的特点精心整理常是因式分解和配方)；4定号(即判断差f(x1)f(x2)的正负)；5下结论(指出 函数f(

16、x)在给定的区间D上的单调性)(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性：复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：复合函数单调性：口诀：同增异减注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在 一起写成其并集.(4)判断函数的单调性常用的结论函数y f(x)与y f(x)的单调性相反；函数 与的单调性相反y；1y当函数恒为正或恒有负时，与函数的单调性相反；函数与函数(C为常数)的单调性相同；当C0(C为常数)时，与的单调性相同；当C0且a12、指数函数的图象和性质0a1图像性质定义域R,值域(0，+)新

17、课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第13页新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第13页精心整理（1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1（2）在R上是减函数（2）在R上是增函数（3）当x0时,0y1;当x1（3）当x0时,y1;当x0时,0y1图象特征共性向x轴正负方向无限延伸函数图象都在x轴上方图象关于原点和y轴不对称函数性质函数的定义域为R函数的值域为R+非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）过定点（0，1）0a0时,0y1;在第一象限内的图象纵坐标都小于1当x1在第二象限内的图象纵坐标都大于1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；a1自左

18、向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大当x0时,y1;于1在第二象限内的图象纵坐标都小当x0时,0y0时，a,N在1的同侧；当b0且a1；2.真数N03.注意对数的书写格式2、两个重要对数：（1）常用对数：以10为底的对数,log10N记为lgN；（2）自然对数：以无理数e为底的对数的对数,logeN记为lnN3、对数式与指数式的互化对数式指数式 对数底数a幂底数 对数x指数 真数N幂 结论：（1）负数和零没有对数（2）logaa=1,loga1=0特别地，lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0（3）对数恒等式：aloga N N（二）对数的运算性质 如果a0，a 1

19、，M0，N0有：1、loga（M?N）logaM logaN两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和2、logalogaloga两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差MMNN精心整理3、logaMn nlogaM（n R）一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍 说明:1）简易语言表达:”积的对数=对数的和”2）有时可逆向运用公式新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第15页新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第15页3）真数的取值必须是（0,）4）特别注意：logaMN logaM logaN注意：换底公式logablogca lgalogcb lgba 0,a 1,

20、c 0,c 1,b 0利用换底公式推导下面的结论1nlogablogab?logbc?logcd logadlogalogb aammbnlogab（二）对数函数1、对数函数的概念：函数y logax（a0，且a1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+）注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：ylogax 1，y logax 2都不是对数函数，而只能称其为对数型函数（2）对数函数对底数的限制：a0，且a12、对数函数的图像与性质：对数函数y logax（a0，且a1）0a1图像y(1,0)xy0(1,0)x0性定义域：（0，）值域：R质 过点（1,

21、0）,即当x1时,y0在（0,+）上是减函数当x1时，y0当x=1时，y=0当0 x0在（0,+）上是增函数当x1时，y0当x=1时，y=0当0 x1时，y0;a当a,b不同在(0,1)内，或不同在(1,+)内时,有logab0；当a,b在1的异侧时,logab0，值域求法用单调性。、分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa，用y=1去截图象得到对应的底数。、y=ax(a0且a1)与y=logax(a0且a1)互为反函数，图象关于y=x对称5比较两个幂的形式的数大小的方法:(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比

22、较,可以利用比商法来判断.(3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用0.1和新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第17页新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第17页6比较大小的方法0.新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第18页新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第18页精心整理(1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值(如:0,1.)；(3)变形后比较；(4)作差比较(三)幂函数1、幂函数定义：一般地，形如y x的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数2、幂函数性质归纳(1)所有的幂函数在(0，+)都有定义，并且图

23、都过点(1，1)；(2)0时，幂函数的图象通过原点，并且在0,+上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下 当01时，幂函数的凸；图象上凸；(3)0时，幂函数的图象在(0，+)上是减函数在第一象限内，当x从右边 趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴 上方无限地逼近x轴正半轴第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点 的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数的零点。(实质 上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标)2、函数零点的意义：方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点3、零点定理：函数

24、y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点2)0，方程f(x)=0有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点3)0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点 二、二分法1、概念：对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零 点近似值的方法叫做二分法。2、用二分法求方程近似解的步骤:确定区间a,b,验证f(

25、a)f(b)0，给定精确度；求区间(a,b)的中点c;计算f(c),若f(c)=0,则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0,则令b=c(此时零点x0(a,c)若f(c)f(b)0,则令a=c(此时零点x0(c,b)(4)判断是否达到精确度：即若|a-b|0)指数函数：y=ax(a1)指数型函数：y=kax(k0,a1)幂函数：y=xn(n?N*)对数函数：y=logax(a1)2二次函数：y=ax2+bx+c(a0)新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第20页新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第20页增长快慢：V(ax)V(xn)V(logax)解不等式(1)log2x2xx2(2)log2xx20)的根的分布两个根都在(m,n)内两个有且仅有一个在(m,n)内x1(m,n)x2(p,q)ymnmnmnxmn p qf(m)f(n)00 b mn 2a f(m)0 f(n)0两个根都小于K两个根都大于Kf(m)0f(n)0f(p)0f(q)0一个根小于K，一个根大新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第21页新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第21页精心整理新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第22页新课标人教A版高一数学必修知识点总结归纳大全-第22页