新课标人教A版高中数学知识点总结.pdf

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1、高中数学必修高中数学必修 1 1 知识点总结知识点总结第一章第一章集合与函数概念集合与函数概念【1.1.11.1.1】集合的含义与表示】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.（4）集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法：x|x具有的性质，其中x为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分

2、类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.21.1.2】集合间的基本关系】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义(1)AAA 中的任一元素都属于 B(2)性质示意图A B子集（或B A)ABA(3)若A B且B C，则A C(4)若A B且B A，则A B（1）A（A 为非空子集）A(B)A(B)B BA A或真子集（或 BA）A B，且 B 中至少有一元素不属于 AB BA A(2)若AB且BC，则AC集合相等A 中的任一元素都属A B于 B，B 中的任一元素都属于 A(1)AB(2)BAA(B)A(B)（

3、7）已知集合真子集.A有n(n 1)个元素，则它有2n个子集，它有2n1个真子集，它有2n1个非空子集，它有2n2非空【1.1.31.1.3】集合的基本运算】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图新课标人教A版高中数学知识点总结-第1页新课标人教A版高中数学知识点总结-第1页交集ABx|x A,且xB并集ABx|x A,或xBA（2）A（3）AA（1）A（2）A（3）AA（1）UUA A B AB BA A AB AB BA AB BA AB B1A(UA)2A(UA)U补集UAx|xU,且xA(AB)(UA)(UB)(AB)(UA)(UB)【补充知识】含绝对值的不等式与一

4、元二次不等式的解法【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|x|a(a 0)|x|a(a 0)把x|a x ax|x a或x aaxb看 成 一 个 整 体，化 成|x|a，|axb|c,|ax b|c(c 0)|x|a(a 0)型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式 b24ac二次函数 0 0 0y ax2bxc(a 0)的图象O O一元二次方程ax2bxc 0(a 0)的根bb24acx1,22a（其中x1x1 x2 b2a无实根 x2)x|x ax2bxc 0(a 0)的解集x|x x1或x x2b2aRax2bxc 0(a 0)的

5、解集x|x1 x x2新课标人教A版高中数学知识点总结-第2页新课标人教A版高中数学知识点总结-第2页1.21.2函数及其表示函数及其表示【1.2.11.2.1】函数的概念】函数的概念（1）函数的概念设的数记作A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定）叫做集合f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则fA到B的一个函数，f:A B函数的三要素:定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设a,b是两个实数，且a b，满足a x b的实数x的集合叫做闭区间，记

6、做a,b；满足a x b的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a x b，或a x b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做a,b)，(a,b；满足x a,x a,x b,x b的实数x的集合分别记做a,),(a,),(,b,(,b)注意：注意：对于集合x|a x b与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须a b（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：f(x)是整式时，定义域是全体实数f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等

7、于 1y tanx中，x k2(k Z)零（负）指数幂的底数不能为零若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知等式a f(x)的定义域为a,b，其复合函数fg(x)的定义域应由不g(x)b解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函

8、数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值新课标人教A版高中数学知识点总结-第3页新课标人教A版高中数学知识点总结-第3页的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法：若函数y f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0，则在a(y)0时，由于x,y为实数，故必须有 b2(y)4a(y)c(y)0，从而确定

9、函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.21.2.2】函数的表示法】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设A、B是两个集

10、合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它）叫做集合A到B的映射，记作f:A B对应，那么这样的对应（包括集合给定一个集合A，B以及A到B的对应法则fA到集合B的映射，且a A,bB如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象1.31.3函数的基本性质函数的基本性质【1.3.11.3.1】单调性与最大（小）值】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量函数的单调性的值 x1、x2,当 x x x x 时，都1 12 2 有 f(xf(x)f(x

11、)f(x)，那么就说1 12 2 f(x)在这个区间上是增函数增函数图象判定方法（1）利用定义y yy=f(X)y=f(X)f(x)f(x)1（2）利用已知函数的f(x)f(x)2单调性（3）利用函数图象（在某个区间图o ox x1x x2x x象上升为增）（4）利用复合函数新课标人教A版高中数学知识点总结-第4页新课标人教A版高中数学知识点总结-第4页（1）利用定义如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x x xf(x)f(x)，那么就说1 12 2 f(x)在这个区间上是减函数减函数y yf(x)f(x)1y=f(X)y=f(X)f(x)f(x)2（2）

12、利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图x x2o ox x1x x象下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数对于复合函数y fg(x)，令，令u g(x)，若，若y f(u)为增，为增，u g(x)为增，则为增，则y fg(x)为增；若为增；若y f(u)为减，为减，u g(x)为减，为减，则则y fg(x)为增；为增；若若y f(u)为增

13、，为增，u g(x)为减，为减，则则y fg(x)为为减；若减；若y f(u)为减，为减，u g(x)为增，则为增，则y fg(x)为减为减y y（2）打“”函数af(x)x(a 0)的图象与性质xf(x)分别在(,a、a,)上为增函数，分别在 a,0)、(0,a上为减函数（3）最大（小）值定义一般地，设函数y f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有o ox xf(x)M；（2）存在x0I，使得记作f(x0)M那么，我们称M是函数f(x)的最大值，fmax(x)M，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有（2）f(x)m；一般地，设函数y f(x)的定义域为

14、I存在x0I，使得f(x0)m那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作fmax(x)m【1.3.21.3.2】奇偶性】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义如果对于函数 f(x)定义域内函数的奇偶性任意一个 x，都有f(f(x)=x)=f(x)f(x),那么函数 f(x)叫做奇函奇函 数数图象判定方法（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）新课标人教A版高中数学知识点总结-第5页新课标人教A版高中数学知识点总结-第5页如果对于函数 f(x)定义域内任意一个x，都有f(f(x)=x)=f(x)f(x),那么函数 f(x)叫做偶函数偶函数

15、（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）若函数f(x)为奇函数，且在x 0处有定义，则f(0)0奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象补充知识函数的图象（1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函

16、数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换h0,左移h个单位k0,上移k个单位y f(x)y f(x h)y f(x)y f(x)kh0,右移|h|个单位k0,下移|k|个单位伸缩变换01,伸y f(x)y f(x)1,缩0A1,缩y f(x)y Af(x)A1,伸对称变换y轴x轴 y f(x)y f(x)y f(x)y f(x)直线yx原点y f(x)y f(x)y f(x)y f1(x)去掉y轴左边图象y f(x)y f(|x|)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象y f(x)y|f(x)|将x轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图

17、象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章第二章基本初等函数基本初等函数()2.12.1指数函数指数函数【2.1.12.1.1】指数与指数幂的运算】指数与指数幂的运算（1）根式的概念如果xn a,aR,xR,n 1，且n N，那么x叫做a的n次方根当n是奇数时，a的n次方根用新课标人教A版高中数学知识点总结-第6页新课标人教A版高中数学知识点总结-第6页符号na表示

18、；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0 的n次方根是 0；负数a没有n次方根式子na叫做被开方数a为任意实数；a叫做根式，这里n叫做根指数，当n为奇数时，当n为偶数时，a 0根式的性质：(n（2）分数指数幂的概念a (a 0)a)n a；当n为奇数时，nan a；当n为偶数时，nan|a|a (a 0)mn正数的正分数指数幂的意义是：anam(a 0,m,nN,且n 1)0 的正分数指数幂等于 0正数的负分数指数幂的意义是：amn1m1()nn()m(a 0,m,nN,且n 1)0 的负分数指数幂没aa有意义注意口诀：注意口诀：底数取倒数，指数取相反

19、数（3）分数指数幂的运算性质aras ars(a 0,r,sR)(ar)s ars(a 0,r,sR)r(ab)arbr(a 0,b 0,rR)【2.1.22.1.2】指数函数及其性质】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称定义函数指数函数y ax(a 0且a 1)叫做指数函数a 10 a 1x xy y图象y y a a(0,1)(0,1)y y a ax xy yy y 1 1y y 1 1(0,1)(0,1)O O定义域值域x xR(0,)O Ox x过定点奇偶性单调性图象过定点(0,1)，即当x 0时，y 1在R上是减函数非奇非偶在R上是增函数新课标人教A版高中数学知识点总结-第7页新

20、课标人教A版高中数学知识点总结-第7页ax1(x 0)函数值的变化情况ax1(x 0)ax1(x 0)ax1(x 0)ax1(x 0)ax1(x 0)a变化对 图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低2.22.2对数函数对数函数【2.2.12.2.1】对数与对数运算】对数与对数运算（1）对数的定义若ax N(a 0,且a 1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x logaN，其中a叫做底数，N叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：x（2）几个重要的对数恒等式 logaN ax N(a 0,a 1,N 0)loga1 0，logaa 1，logaab b（3）常

21、用对数与自然对数常用对数：lgN，即log10（4）对数的运算性质如果a加法：logaN；自然对数：lnN，即logeN（其中e 2.71828）0,a 1,M 0,N 0，那么M logaN loga(MN)减法：logaM logaN logaM logaMn(nR)alogaN NMN数乘：nlogalogabMnlogbNn(b 0,且b 1)logaM(b 0,nR)换底公式：logaN logbab【2.2.22.2.2】对数函数及其性质】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称定义图象函数对数函数y logax(a 0且a 1)叫做对数函数a 10 a 1新课标人教A版高中数学知识

22、点总结-第8页新课标人教A版高中数学知识点总结-第8页y yx x 1 1y y logloga ax xy yx x 1 1y y logloga ax x(1,0)(1,0)O O(1,0)(1,0)x x(0,)O Ox x定义域值域过定点奇偶性单调性在(0,)上是增函数R图象过定点(1,0)，即当x 1时，非奇非偶在(0,)上是减函数y 0logax 0(x 1)函数值的变化情况logax 0(x 1)logax 0(x 1)logax 0(0 x 1)logax 0(x 1)logax 0(0 x 1)a变化对 图象的影响(6)反函数的概念设函数在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四

23、象限内，a越大图象越靠高y f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y f(x)中解出x，得式子x(y)如果对于y在C(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，中的任何一个值，通过式子x函数x(y)叫做函数y f(x)的反函数，记作x f1(y)，习惯上改写成y f1(x)（7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式将xy f(x)中反解出x f1(y)；f1(y)改写成y f1(x)，并注明反函数的定义域（8）反函数的性质原函数函数y f(x)与反函数y f1(x)的图象关于直线y x对称y f(x)的定义域、值域分别是其反函数y f1(x

24、)的值域、定义域y f(x)的图象上，则P(b,a)在反函数y f1(x)的图象上若P(a,b)在原函数一般地，函数y f(x)要有反函数则它必须为单调函数2.32.3幂函数幂函数（1）幂函数的定义新课标人教A版高中数学知识点总结-第9页新课标人教A版高中数学知识点总结-第9页一般地，函数y x叫做幂函数，其中x为自变量，是常数（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限过定点：所有的幂函数

25、在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数如果 0，则幂函数的图象在(0,)y轴qp上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数 当qpq（其中p,q互质，p和qZ），p是偶函数，若若则p为奇数q为奇数时，则y x是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则y xp为偶数q为奇数时，y xqp是非奇非偶函数图象特征：幂函数在直线y x,x(0,)，当1时，若0 x 1，其图象在直线y x下方，若x 1，其图象y x上方，当1时，若0 x 1，其图象在直线y x上方，若x 1，其图

26、象在直线y x下方补充知识二次函数补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a 0)顶点式：f(x)a(xh)2k(a 0)两根式：f(x)a(x x1)(x x2)(a 0)（2）求二次函数解析式的方法新课标人教A版高中数学知识点总结-第10页新课标人教A版高中数学知识点总结-第10页已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求（3）二次函数图象的性质二次函数f(x)更方便f(x)ax2bxc(a 0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x b,顶点

27、坐标是2ab4acb2(,)2a4a当a 0时，抛物线开口向上，函数在(,bbb上递减，在,)上递增，当x 2a2a2a时，4acb2fmin(x)4a时，；当a 0时，抛物线开口向下，函数在(,bbb在当x 上递增，,)上递减，2a2a2a4acb2fmax(x)4a二次函数f(x)ax2bxc(a 0)当 b24ac 0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2|x1x2|（4）一元二次方程ax2|a|bxc 0(a 0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式

28、和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程ax2bxc 0(a 0)的两实根为x1,x2，且x1 x2令f(x)ax2bxc，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：a对称轴位置：xkx1x2 yb判别式：端点函数值符号2ab2ax2yf(k)0a 0 x kx1Ox2xkx1Oxbx 2ax1x2kf(k)0a 0新课标人教A版高中数学知识点总结-第11页新课标人教A版高中数学知识点总结-第11页ya 0f(k)0yx Ob2ax1Ox2kxx1a 0 x2kxx b2af(k)0 x1kx2af(k)0ya 0yf(k

29、)0 x1Okx2xx1Okx2a 0 xf(k)0k1x1x2k2yf(k1)0a 0yx f(k2)0 x2k2b2aOk1x1xOk1x1x2k2xx b2af(k1)0a 0f(k2)0有且仅有一个根 x1（或 x2）满足k1x1（或 x2）k2f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0 或 f(k2)=0 这两种情况是否也符合yf(k1)0a 0yf(k1)0Ok1x1k2x2xOx1k1x2k2xf(k2)0a 0f(k2)0k1x1k2p1x2p2此结论可直接由推出（5）二次函数f(x)ax2bxc(a 0)在闭区间p,q上的最值新课标人教A版高中数学知识点总结-第12页新

30、课标人教A版高中数学知识点总结-第12页设f(x)在区间p,q上的最大值为最大值为M，最小值为，最小值为m，令x012(pq)（）当a 0时（开口向上）若b2a p，则m f(p)若p b2a q，则m f(bb2a)若2a q，则m f(q)ff(q)(p)ff(q)(p)OxfOxOf(p)bf(b)ff(b若b2a)2a x0，则2Ma)f(q)b2a x2a0，则M f(p)(q)()当a 0时(开口向下)f若bf(p)2a p，则Mx(q)bx0bb0 f(p)若p Ox2a q，则OM f(2a)若x2a q，则M f(q)fff(bff(p)bb(q)2a)22aa)f(bf2a

31、)f(b2a)ff(q)(p)(p)OxOxOfff(q)(q)(p)若b2a xb0，则m f(q)2a x0，则m f(p)f(b2a)f bff(2a)(p)(q)x0 x0OxOfx(q)f(p)第三章第三章 函数的应用函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y f(x)(x D)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数y f(x)(x D)的零点。2、函数零点的意义：函数y f(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数y f(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f(x)0有实数根函数y f(x)的图象与x轴有交点函数y f(x)有零点3、函数零点的求法：xx新

32、课标人教A版高中数学知识点总结-第13页新课标人教A版高中数学知识点总结-第13页y f(x)的零点：1（代数法）求方程f(x)0的实数根；求函数2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数零点4、二次函数的零点：二次函数y f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出y ax2 bx c(a 0)2），方程ax bx c 0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点2），方程ax bx c 0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点），方程ax2bx c 0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点新课标人教A版高中数学知识点总结-第14页新课标人教A版高中数学知识点总结-第14页