(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的).pdf

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1、线性代数超强总结 A不可逆 A可逆r(A)nr(A)n Ax 0只有零解A Ax 有非零解0是A的特征值A的特征值全不为零A的列（行）向量线性相关A A的列（行）向量线性无关ATA是正定矩阵 A与同阶单位阵等价A p1p2 ps,pi是初等阵nR,Ax 总有唯一解向量组等价具有相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 关于e1,e2,en：称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量；e1,e2,en线性无关；e1,e2,en1；tr(E)=n；任意一个n维向量都可以用e1,e2,en线性表示.1(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第1页(完整word版)线性代数超强的总结(不

2、看你会后悔的)-第1页 行列式的计算：AAA A B 若A与B都是方阵（不必同阶）,则BBBAB(1)mnA B上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.a1na1n关于副对角线：a2n1a2n1(1)n(n1)2a1na2nan1an1an1 逆矩阵的求法:A1AA(A E)初等行变换(E A1)ab11 dABTATCTcdbad bccaCDBTDT11a1a1a111a2a2a2an1anan1a121an1a2(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第2页(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第2页1A1A11A11A1nA2A1A221AA2n

3、A1nAnA11 方阵的幂的性质：AmAn Amn(Am)n(A)mn 设f(x)amxmam1xm1a1xa0，对n阶矩阵A规定：f(A)amm1mA am1Aa1Aa0E为A的一个多项式.设Amn,Bns,A的列向量为1,2,n,B的列向量为1,2,s，AB则：ri Ai,i 1,2,s,即 A(1,2,s)(A1,A2,As)用A,B中简r,r若(bT1,b2,bn),则 A b11b22bnn单的一个提1,r2,s,即：AB的第i个列向量ri是A的列向量的线性组合,组合系数就是i的各分量；高运算速度AB的第i个行向量ri是B的行向量的线性组合,组合系数就是i的各分量.用对角矩阵左乘一个

4、矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,A11与分块对角阵相乘类似,即：AAB1122B22,B AkkBkk3列量为的向(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第3页(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第3页A11B11AB A22B22AkkBkk 矩阵方程的解法：设法化成(I)AX B或 (II)XA B当A 0时,（当B为一列时,初等行变换(I)的解法：构造(A B)(E X)即为克莱姆法则）(II)的解法：将等式两

5、边转置化为ATXT BT，T用(I)的方法求出X，再转置得XAx 和Bx 同解（A,B列向量个数相同）,则：它们的极大无关组相对应,从而秩相等；它们对应的部分组有一样的线性相关性；它们有相同的内在线性关系.判断1,2,s是Ax 0的基础解系的条件：,s线性无关；,s是Ax 0的解；1,2,1,2,s nr(A)每个解向量中自由变量的个数.4(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第4页(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第4页 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.部分相关,整体必相关；整体无关,部

6、分必无关.原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.向量组1,2,n中任一向量i(1in)都是此向量组的线性组合.向量组1,2,n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n1个向量线性表示.向量组1,2,n线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余n1个向量线性表示.m维列向量组1,2,n线性相关 r(A)n；m维列向量组1,2,n线性无关 r(A)n.r(A)0 A.若1,2,n线性无关，而1,2,n,线性相关,则可由1,2,n线性表示,且表示法惟一.矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的

7、个数.矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.5(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第5页(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第5页向量组等价1,2,n和1,2,n可以相互线性表示.记作：1,2,n1,2,n矩阵等价A经过有限次初等变换化为B.记作：A B 矩阵A与B等价r(A)r(B)A,B作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与B作为向量组等价r(1,2,n)r(1,2,n)r(1,2,n,1,2,n)矩阵A与B等价.向量组1,2,s可由向量组1,2,n线性

8、表示r(1,2,n,1,2,s)r(1,2,n)r(1,2,s)r(1,2,n).向量组1,2,s可由向量组1,2,n线性表示,且s n，则1,2,s线性相关.向量组1,2,s线性无关,且可由1,2,n线性表示,则sn.向量组1,2,s可由向量组1,2,n线性表示,且r(1,2,s)r(1,2,n),则两向量组等价；任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.若A是mn矩阵,则r(A)minm,n,若r(A)m，A的行向量线性无关；若r(A)n，A的列向量线性无关,即：1,2,n线性无关.6

9、(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第6页(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第6页线性方程组的矩阵式Ax 向量式x11 x22 xnna11a12aa22A21am1am2a1n1jx1b1xba2n,x 2,22 j,j 1,2,jamnxbnmmj,n7(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第7页(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第7页当A为方阵时 Ax 有无穷多解Ax 有非零解 A 0 n1,2,n线性相关当A为方阵时 Ax 有唯一组解Ax 只有零解 A 0可由1,2,n线性表示 Ax 有解 r(A)r(A

10、)n1,2,n线性无关当A为方阵时 克莱姆法则 r(A)r(A)不可由1,2,n线性表示 Ax 无解 r(A)r(A)r(A)1 r(A)矩阵转置的性质：(AT)T A矩阵可逆的性质：(A1)1 A伴随矩阵的性质：(A)An若r(A)nr(A)1若r(A)n10若r(A)n1n2(AB)T BTAT(kA)T kATAT AA1 AA An11(A B)T AT BT(A1)T(AT)1(A1)k(Ak)1 AkAA(AB)1 B1A1(kA)1 k1A1A(AB)BA(kA)kn1A(A1)(A)1(AT)(A)T(A)k(Ak)AA AA A EAB A BkA knAAk Ak8(完整w

11、ord版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第8页(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第8页(1)1,2是Ax 0的解,12也是它的解(2)是Ax 0的解,对任意k,k也是它的解齐次方程组(3),是Ax 0的解,对任意k个常数12k1,2,k,1 122kk也是它的解线性方程组解的性质：(4)是Ax 的解,是其导出组Ax 0的解,是Ax 的解(5),是Ax 的两个解,是其导出组Ax 0的解1212(6)2是Ax 的解,则1也是它的解 12是其导出组Ax 0的解(7)1,2,k是Ax 的解,则也是Ax 的解 11 122kk12k1 122kk是Ax 0的解 12k 0

12、设A为mn矩阵,若r(A)m,则r(A)r(A),从而Ax 一定有解.当m n时,一定不是唯一解.m是r(A)和r(A)的上限.矩阵的秩的性质：r(A)r(AT)r(ATA)r(A B)r(A)r(B)r(AB)minr(A),r(B)方程个数未知数的个数,则该向量组线性相关.向量维数向量个数r(A)若k 0r(kA)0若k 0Ar r(A)r(B)B若A 0,则r(A)1若Amn,Bns,且r(AB)0,则r(A)r(B)n若P,Q可逆,则r(PA)r(AQ)r(A)若A可逆,则r(AB)r(B)若B可逆,则r(AB)r(A)若r(A)n,则r(AB)r(B),且A在矩阵乘法中有左消去律:9

13、(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第9页(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第9页标准正交基n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为 1.AB 0 B AB AC B C与正交(,)0.是单位向量(,)1.内积的性质：正定性：(,)0,且(,)0 对称性：(,)(,)双线性：(,12)(,1)(,2)(12,)(1,)(2,)(c,)(c,)(,c)施密特1,2,3线性无关,11(,)正交化22211()11(3,1)(3,2)2331(11)(22)单位化：1正交矩阵AAT E.12233123A是正交矩阵的充要条件：A的n个行（列）向量构成

14、 正交矩阵的性质：AT A1；AAT ATA E；n的一组标准正交基.A是正交阵,则AT（或A1）也是正交阵；两个正交阵之积仍是正交阵；正交阵的行列式等于 1 或-1.A的特征矩阵E A.10(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第10页(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第10页A的特征多项式E A f().A的特征方程E A 0.Ax xAx与x线性相关 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.若A 0,则 0为A的特征值,且Ax 0的基础解系即为属于 0的线性无关的特征向量.A 12nitrA1na1a 若r(A)1,则A一定可分

15、解为A=2b1,b2,an的特征值为：1trA a1b1a2b2 若A的全部特征值1,2,bn、A2(a1b1 a2b2 anbn)A,从而Aanbn,23n 0.,n，f(x)是多项式,则:,f(n)；f(A)的全部特征值为f(1),f(2),11 当A可逆时,A1的全部特征值为,2,1,1n,n.AA的全部特征值为1,2,kkAabaAbE11A分别有特征值.是A的特征值,则:22AAmmAAAAkkAabaAbE11A关于x是A关于的特征向量,则x也是2的特征向量.2AAmmAAA与B相似B P1AP（P为可逆阵）记为：ABA相似于对角阵的充要条件：A恰有n个线性无关的特征向量.这时,P

16、为A的特征向量拼成11(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第11页(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第11页的矩阵，P1AP为对角阵,主对角线上的元素为A的特征值.A可对角化的充要条件：nr(iE A)kiki为i的重数.若n阶矩阵A有n个互异的特征值,则A与对角阵相似.A与B正交相似B P1AP（P为正交矩阵）相似矩阵的性质：A1ATAkB1若A,B均可逆BTBk（k为整数）E A E B,从而A,B有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x是A关于0的特征向量,P1x是B关于0的特征向量.A B从而A,B同时可逆或不可逆r(A)r(B)tr(A)

17、tr(B)数量矩阵只与自己相似.对称矩阵的性质：特征值全是实数,特征向量是实向量；与对角矩阵合同；不同特征值的特征向量必定正交；k重特征值必定有k个线性无关的特征向量；必可用正交矩阵相似对角化（一定有n个线性无关的特征向量,A可能有重的特征值,重数=nr(E A)）.A可以相似对角化A与对角阵相似.记为：A（称是A的相似标准型）若A为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）r(A).设i为对应于i的线性无关的特征向量,则有：12(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第12页(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第12页A(1,2,n)(A1,A2,

18、An)(11,22,nn)1,2,P12,n.n 若AB,CAD,则：CBD.若AB,则f(A)二次型f(x1,x2,f(B),f(A)f(B).,xn)T,xn)XTAXA为对称矩阵X (x1,x2,A与B合同B CTAC.记作：AB（A,B为对称阵,C为可逆阵）两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.两个矩阵合同的充分条件是：AB 两个矩阵合同的必要条件是：r(A)r(B)正交变换nf(x1,x2,xn)X AX经过合同变换TX CY化为f(x1,x2,xn)diyi2标准型.1可逆线性变换 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由惟一确定的.

19、当标准型中的系数di为 1，-1 或 0 时,则为规范形.实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.r(A)正惯性指数负惯性指数1 任一实对称矩阵A与惟一对角阵1110合同.013(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第13页(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第13页 用正交变换法化二次型为标准形:求出A的特征值、特征向量；对n个特征向量单位化、正交化；构造C（正交矩阵）,C1AC ；作变换X CY,新的二次型为f(x1,x2,xn)diyi2,的主对角上的元素di即为A的n1特征值.正定二次型x1,x2,xn不全为零，f(x1,x2,xn)0.正定矩阵正定二次型对应的矩阵.合同变换不改变二次型的正定性.成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：正惯性指数为n；A的特征值全大于0；A的所有顺序主子式全大于0；A合同于E，即存在可逆矩阵Q使QTAQ E；存在可逆矩阵P，使A PTP（从而A 0）；1 存在正交矩阵，使CTAC C1AC 2n 成为正定矩阵的必要条件：aii 0；A 0.14i大于0）.（(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第14页(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)-第14页