2021年高中数学人教版必修一知识点总结梳理.pdf

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1、第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念一：集合含义与表达一：集合含义与表达1、集合含 义：集合为 某些拟定、不同东 西全体，人们能意 识到这 些东西，并且能判断一种给定东西与否属于这个整体。把研究对象统称为元素，把某些元素构成总体叫集合，简称为集。2、集合中元素三个特性：（1）元素拟定性元素拟定性：集合拟定，则一元素与否属于这个集合是拟定：属于或不属于。（2）元素互异性元素互异性：一种给定集合中元素是唯一，不可重复。（3）元素无序性元素无序性:集合中元素位置是可以变化，并且变化位置不影响集合3、集合表达：（1）用大写字母表达集合用大写字母表达集合：A=我校篮球队员,B=1,2,3,4,5（

2、2）集合表达办法：列举法与描述法列举法与描述法。a、列举法：将集合中元素一一列举出来 a,b,cb、描述法：区间法：将集合中元素公共属性描述出来，写在大括号内表达集合。x R|x-32,x|x-32语言描述法：例：不是直角三角形三角形Venn 图:画出一条封闭曲线，曲线里面表达集合。4、集合分类：（1）有限集：具有有限个元素集合（2）无限集：具有无限个元素集合（3）空集：不含任何元素集合5、元素与集合关系：2021年高中数学人教版必修一知识点总结梳理-第1页2021年高中数学人教版必修一知识点总结梳理-第1页（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：aA（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即

3、：aA注意：惯用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R6 6、集合间基本关系、集合间基本关系（1 1）.“包括”关系（“包括”关系（1 1）子集）子集定义：如果集合 A 任何一种元素都是集合 B 元素，咱们说这两个集合有包括关系，称集合 A 是集合 B 子集。记作：A B（或B）注意：A B有两种也许（1）A 是 B 一某些；（2）A 与 B 是同一集合。B 或 BA反之：集合 A 不包括于集合 B,或集合 B 不包括集合 A,记作 A（2 2）.“包括”关系（“包括”关系（2 2）真子集）真子集如果集合A B，但存在元素 xB 且

4、 xA，则集合 A 是集合 B 真子集如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 真子集，记作 AB(或 BA)读作 A 真含与B（3 3）“相等”关系：）“相等”关系：A=BA=B“元素相似则两集合相等”如果 AB同步 BA 那么 A=B（4 4）.不含任何元素集合叫做空集，记为不含任何元素集合叫做空集，记为规定：空集是任何集合子集，空集是任何非空集合真子集。（5 5）集合性质）集合性质2021年高中数学人教版必修一知识点总结梳理-第2页2021年高中数学人教版必修一知识点总结梳理-第2页 任何一种集合是它自身子集。AA如果 AB，BC,那么 AC如果 AB 且 BC，那么 AC有

5、n 个元素集合，具有 2n个子集，2n-1个真子集7 7、集合运算、集合运算运算类型交集并集定义由所有属于 A 且属于 B 由所有属于集合 A 或属元素所构成集合,叫做A,B 交集 记 作 AB（读作 A 交 B），即 AB=x|xA，且xB补集全集：普通，若一种集合汉语咱们于集合 B 元素所构成集所研究问题中这几道所有元素，咱们就称这个集合为全集，记作：U合，叫做 A,B 并集记设 S 是一种集合，A 是 S 一种子作：AB（读作 A 并集，由 S 中所有不属于 A 元素构成B ），即AB集合，叫做 S 中子集 A 补集（或余=x|xA，或 xB)集）记作CSA，CSA=x|xS,且xA韦恩

6、图示ABABSA图1图 2性性质质 A A=AA=A B=BAA BAA BBA U A=AA U=AA U B=B U AA U BA U BB(CuA)(CuB)=Cu(AUB)(CuA)U(CuB)=Cu(AB)AU(CuA)=UA(CuA)=二、函数概念二、函数概念1函数概念：设 A、B 是非空数集，如果按照某个拟定相应关系 f，使对于集合 A 中任意一种数 x，在集合 B 中均有唯一拟定数 f(x)和它相应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 一种函数记作：y=f(x)，xA（1）其中，x 叫做自变量，x 取值范畴 A 叫做函数定义域；（2）与 x 值相相应 y 值叫做函数

7、值，函数值集合f(x)|xA 叫做函数值域2021年高中数学人教版必修一知识点总结梳理-第3页2021年高中数学人教版必修一知识点总结梳理-第3页2函数三要素：定义域、值域、相应法则3函数表达办法：（1）解析法：明确函数定义域（2）图想像：拟定函数图像与否连线，函数图像可以是持续曲线、直线、折线、离散点等等。（3）列表法：选用自变量要有代表性，可以反映定义域特性。4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x)，(xA)中x为横坐标，函数值y为纵坐标点 P(x，y)集合 C，叫做函数y=f(x),(xA)图象C 上每一点坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以

8、满足y=f(x)每一组有序实数对x、y为坐标点(x，y)，均在 C上.(2)画法A、描点法：B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。（3）函数图像平移变换特点：1）加左减右只对 x 2）上减下加只对 y 3）函数 y=f(x)关于 X 轴对称得函数 y=-f(x)4）函数 y=f(x)关于 Y 轴对称得函数 y=f(-x)5）函数 y=f(x)关于原点对称得函数 y=-f(-x)6）函数 y=f(x)将 x 轴下面图像翻到 x 轴上面去，x 轴上面图像不动得函数 y=|f(x)|2021年高中数学人教版必修一知识点总结梳理-第4页2021年高中数学人教版必修一知识点总结梳理-第4

9、页7）函数 y=f(x)先作 x0 图像，然后作关于 y 轴对称图像得函数f(|x|)三、函数基本性质三、函数基本性质1、函数解析式子求法（1）、函数解析式是函数一种表达办法，规定两个变量之间函数关系时，一是规定出它们之间相应法则，二是规定出函数定义域.（2）、求函数解析式重要办法有：1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4)拼凑法：2定义域：能使函数式故意义实数x集合称为函数定义域。求函数定义域时列不等式组重要根据是：(1)分式分母不等于零；(2)偶次方根被开方数不不大于零；(3)对数式真数必要不不大于零；(4)指数、对数式底必要不不大于零且不等于 1.(5)如果函数是由某些基本函数通过四

10、则运算结合而成.那么，它定义域是使各某些均故意义x值构成集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中函数定义域还要保证明际问题故意义.3、相似函数判断办法：表达式相似（与表达自变量和函数值字母无关）；定义域一致(两点必要同步具备)4、区间概念：2021年高中数学人教版必修一知识点总结梳理-第5页2021年高中数学人教版必修一知识点总结梳理-第5页（1）区间分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间数轴表达5、值域（先考虑其定义域）（1）观测法：直接观测函数图像或函数解析式来求函数值域；（2）反表达法：针对分式类型，把 Y 关于 X 函数关系式化成 X 关于 Y 函数关系

11、式，由 X 范畴类似求 Y 范畴。(3)配办法：针对二次函数类型，依照二次函数图像性质来拟定函数值域，注意定义域范畴。(4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式题型，转化成二次函数类型。6.分段函数（1）在定义域不同某些上有不同解析表达式函数。（2）各某些自变量取值状况（3）分段函数定义域是各段定义域交集，值域是各段值域并集（4）惯用分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值函数7映射普通地，设 A、B 是两个非空集合，如果按某一种拟定相应法则 f，使对于集合 A 中任意一种元素 x，在集合 B 中均有唯一拟定元素 y 与之相应，那么就称相应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 一种映射。记作“

12、f（相应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：AB来说，则应满足：(1)集合A中每一种元素，在集合B中均有象，并且象是唯一；(2)集合A中不同元素，在集合B中相应象可以是同一种；(3)不规定集合B中每一种元素在集合A中均有原象。2021年高中数学人教版必修一知识点总结梳理-第6页2021年高中数学人教版必修一知识点总结梳理-第6页注意：映射是针对自然界中所有事物而言，而函数仅仅是针对数字来说。因此函数是映射，而映射不一定函数8 8、函数单调性、函数单调性(局部性质局部性质)及最值及最值（1 1）、增减函数）、增减函数（1）设函数 y=f(x)定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D

13、内任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，均有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)单调增区间.（2）如果对于区间 D 上任意两个自变量值 x1，x2，当 x1x2时，均有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)单调减区间.注意：函数单调性是函数局部性质；函数单调性尚有单调不增，和单调不减两种（2 2）、图象特点）、图象特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具备(严格)单调性，在单调区间上增函数图象从左到右是上升，减函数图象从左到右是下降

14、.（3 3）、函数单调区间与单调性鉴定办法）、函数单调区间与单调性鉴定办法(A)定义法：1 任取 x1，x2D，且 x11，且n当 n 是奇数时，正数 n 次方根是一种正数，负数 n 次方根是一种负数。此时，an 次方根用符号表达。当 n 为偶数时，正数 n 次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数 a2021年高中数学人教版必修一知识点总结梳理-第10页2021年高中数学人教版必修一知识点总结梳理-第10页正 n 次方根用符号表达，负 n 次方根用符号表达。正 n 次方根与负 n次方根可以合并成（a0）。注意：负数没有偶次方根；0 任何次方根都是 0，记作n0 0。当n是奇数时，nan a

15、，当n是偶数时，nan|a|a(a 0)a(a 0)式子na叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数。3、分数指数幂正数分数指数幂amna(a 0,m,n N,n 1)，anm*mn1amn1nam(a 0,m,n N*,n 1)0 正分数指数幂等于 0，0 负分数指数幂没故意义4、有理数指数米运算性质（1）aarr ars(a 0,r,sR)；(a 0,r,sR)；rsrs(a)a（2）rrs(ab)a a（3）(a 0,r,sR)5、无理数指数幂普通，无理数指数幂a（a0,a 是无理数）是一种拟定实数。有理数指数幂运算性质同样使用于无理数指数幂。（二）、指数函数性质及其特点（二）、

16、指数函数性质及其特点1、指数函数概念：普通地，函数y ax(a 0,且a 1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数定义域为 R注意：指数函数底数取值范畴，底数不能是负数、零和1为什么？a2、指数函数图象和性质a10a1 时，若 X1X2,则有 f(X1)10a1110101定义域 x0值域为 R在 R 上递增函 数 图 象 都 过 定 点（1，0）三、幂函数三、幂函数定义域 x0值域为 R在 R 上递减函数图象都过定点（1，0）1、幂函数定义：普通地，形如y x(aR)函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳2021年高中数学人教版必修一知识点总结梳理-第13页2021年高中数学人教版必

17、修一知识点总结梳理-第13页（1）所有幂函数在（0，+）均有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数图象通过原点，并且在区间0,)上是增函数特别地，当1时，幂函数图象下凸；当0 1时，幂函数图象上凸；（3）0时，幂函数图象在区间(0,)上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于 时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴第三章第三章 函数应用函数应用方程根与函数零点方程根与函数零点1、函数零点概念：对于函数，把使成立实数叫做函数零点。2、函数零点意义：函数 零点就是方程 实数根，亦即函数 图象与 轴交点横坐标。即：方程有实数根，函数图象与坐标轴有交点，函数有零点3、函数零点求法：（1）（代数法）求方程 实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式方程，可以将它与函数图象联系起来，并运用函数性质找出零点4、二次函数零点：（1）0，方程 有两不等实根，二次函数图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点（2）0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数图象与 轴有一种交点，二次函数有一种二重零点或二阶零点（3）0，方程 无实根，二次函数图象与 轴无交点，二次函数无零点2021年高中数学人教版必修一知识点总结梳理-第14页2021年高中数学人教版必修一知识点总结梳理-第14页