2023届河北省衡水中学高三下学期五调考试数学试题含答案.pdf

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1、20222023 衡水中学下学期高三年级五调考试衡水中学下学期高三年级五调考试数数学学本试卷分第本试卷分第 I 卷卷（选择题选择题）和第和第卷卷（非选择题非选择题）两部分两部分。共共 4 页页，总分总分 150 分分，考试考试时间时间 120 分钟。分钟。第第 I 卷（选择题卷（选择题共共 60 分）分）一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一项是符合项是符合题目要求的。题目要求的。1已知集合2|xxA，0152|2xxxB，则下列结论中正确的是ABA BBACBCACRRD)()(

2、BCACRR2某企业为了解员工身体健康情况，采用分层随机抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检 已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是 4:1，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多 72，则参加体检的人数是A90B96C120D1443已知iz211，iiz132，iz213在复平面上对应的点是一个正方形的三个顶点，则这个正方形的第四个顶点所对应的复数4zAi2Bi 2Ci2Di 24在正方形ABCD中，FE,分别是边ADAB,上的点，BEAE23，4ECF，则ADFAD23BDFAD2CDFAD3DDFAD45李明开发的小程序发布经过t天后，用户人

3、数ktetA500)(，其中k为常数已知小程序发布经过 10 天后有 2 000 名用户，则用户超过 50 000 名至少经过的天数为(取)3.02lgA31B32C33D346 在棱长为 4 的正方体1111DCBAABCD 中，P是1CC的中点，动点Q在平面11DDCC内（包括边界）若/AQ平面BPA1，则AQ的最小值是A2B22C23D527若数列na对任意正整数n，有qaanmn(其中*Nm，q为常数0,q且)1 q，则称数列na是以m为周期，以q为周期公比的类周期性等比数列.已知类周期性等比数列nb的前4 项为 1，1，2，3，周期为 4，周期公比为 3，则nb的前 25 项和为A3

4、 277B3 278C3 280D3 2828已知21,FF分别是双曲线)0,0(1:2222babyaxC的左、右焦点，过点2F作直线21FFAB 交C于BA,两点.现将C所在平面沿直线21FF折成平面角为锐角的二面角，如图，翻折后BA,两点的对应点分别为BA，且BFA1若1625cos1cos1，则C的离心率为A3B22C3D23二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合题目要求。题目要求。全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错

5、的得 0 分。分。9设ba,为正实数，则下列命题正确的是A若122ba，则1baB若111ab，则1baC若1 ba，则122 baD若1a，1b，则|1|abba10 若ABC的三个内角均小于120，点M满足,120BMCAMCAMB则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点根据以上性质，已知a是平面内的任意一个向量，向量cb,满足cb，且32|2|cb，则|cacaba的取值可以是A9B34C6D3311“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的详解九章算法一书中就有出现如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是 1 外，

6、其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第 4 行的 6 为第 3 行中两个3 的和，则下列说法中正确的是A164210252423CCCCB在第 2 022 行中第 1 011 个数最大C记“杨辉三角”第n行的第i个数为ic，则niinic3)2(111D第 34 行中第 15 个数与第 16 个数之比为3:212已知函数)cos(sin)sin(cos)(xxxf，则A)(xf是奇函数B)(xf的最大值大于2CRx，)()2(xfxfD,0 x，0)(xf第第 II 卷（非选择题卷（非选择题共共 90 分）分）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共

7、分，共 20 分。分。13设命题)2,2(:xp，axx2.若p是假命题，则实数a的取值范围是.14已知抛物线xyC8:2的焦点为F，准线为l，M是C上的一点，点N在l上若FMFN，且10|MF，则|NF.15已知函数nxxmxf21241ln)(在区间4,2上有零点，则22nm 的最小值为.16半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体某半正多面体由 4 个等边三角形和 4 个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示已知1MN，若在该半正多面体内放一个球，则该球表面积的最大值为.四四、解答题解答题：本题共本题共 6 小题小题，共共 70 分

8、分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。17（10 分）已知数列na满足0na，21212nnnnaaaa，且321,3,3aaa成等差数列（1）求na的通项公式；（2）若,log,21为偶数为奇数nanabnnn求数列nb的前n2项和nT2.18（12 分）如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东偏北角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离133OMkm，且AOM.现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中2tan，13133cos，15OAkm（1）求大学M与站A的距离A

9、M；（2）求铁路AB段的长AB.19（12 分）如图，三棱锥ABDE 和三棱锥BCDF 均为棱长为2的正四面体，且DCBA,四点共面，记直线AE与CF的交点为.Q（1）证明：平面BDQ平面ABCD；（2）求二面角CDQA的正弦值20（12 分）某校组织甲、乙、丙、丁、戊五位学生参加某大学的测试活动，现有 A，B 两种不同的测试方案，每位学生随机选择其中的一种方案进行测试选择 A 方案测试合格的概率为32，选择 B 方案测试合格的概率为21，且每位学生测试的结果互不影响（1）若甲、乙、丙三位学生选择 A 方案，丁、戊两位学生选择 B 方案，求恰有三位学生合格的概率；（2）若测试合格的人数的均值不

10、小于 3，试写出选择 A 方案进行测试的学生的人数21（12 分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤 1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；步骤 2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；步骤 3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤 4：不停地重复步骤 2 和 3，就能得到越来越多的折痕（如图）已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆 若取半径为 6 的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为 4，按上述方法折纸.以点EF,所在的直线为x轴，线段EF的中点为原点建立平面直角坐标系（1）求

11、折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点)0,1(Q且不与y轴垂直的直线l，与（1）中的椭圆交于NM,两点，在x轴的正半轴上是否存在定点)0,(tT，使得直线TNTM,的斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由22（12 分）已知函数).0,()(aRaaxexfax（1）讨论)(xf的单调性；（2）若不等式axxxxf2cossin)(对任意0 x恒成立，求实数a的取值范围数学数学参考答案参考答案一、选择题一、选择题1D2C3B4D5D6C7A8C二、选择题二、选择题9AC10AB11AC12BCD三、填空题三、填空题1322,(145152ln2ln41623四、解答题

12、四、解答题17解：（1）因为,22121nnnnaaaa所以.0)2)(11nnnnaaaa又0na，所以021nnaa即21nnaa，所以na是公比为2的等比数列（2 分）又321,3,3aaa成等差数列，所以),3(23231aaa所以6443111aaa，解得21a（4 分）所以nna2（5 分）（2）由（1）可知nna2，所以,2为偶函数为奇函数nnbnn（6 分）所以nnbbbbT23212)()(2421231nnbbbbbb)242(2221231nn2)22(41222212nnn).1(32212nnn（10 分）18解：（1）在AOM中，15OA，AOM，且cos13133

13、，133OM，由余弦定理，得.2222OMOAOMOAAM7213133133152)133(15cos22所以26AM，所以大学M与站A的距离AM为26km.（4 分）（2）因为13133cos，且为锐角，所以132sin在AOM中，由正弦定理，得,sinsinMAOOMAM即MAOsin13313226，解得22sinMAO（6 分）由题意知MAO为锐角，所以,4MAO所以4ABO因为,2tan所以52sin，,51cos所以1014sinsinABO（8 分）又,AOB所以52sin)sin(sinAOB在AOB中，由正弦定理，得AOBABsin,sinABOOA即1011552AB，解

14、得,230AB（11 分）所以铁路AB段的长AB为230km.（12 分）19（1）证明：如图，连接AC与BD的交点为O，连接.,OFOFOQ因为三棱锥ABDE 和三棱锥BCDF 均为棱长为2的正四面体，所以OCOA，OFOE，CFAE，则COFAOE，则FCOEAO，所以CQAQ，所以.ACOQ（2 分）由题意知四边形ABCD是菱形，则.BDAC 因为OBDOQ，BDOQ,平面BDQ，所以AC.BDQ又AC平面ABCD，所以平面BDQ平面.ABCD（4 分）（2）解：过点E作OQEG/，交AC于点G，则EG平面.ABD又三棱锥ABDE 是正四面体，所以G是ABD的中心在ABD中，;33232

15、OAAG在AEGRt中，22AGAEEG362332222又OQEG/，所以23AGOAEGOQ，所以.6OQ由（1）知BDACOQ,两两垂直，故以O为坐标原点，（6 分）OQOBOA,所在直线分别为zyx,轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则)0,0,3(A，)0,1,0(D，)0,0,3(C，)6,0,0(Q，故)0,1,3(AD，)6,1,0(DQ)0,1,3(,CD设平面ADQ的法向量为),(zyxm，则00DQmADm，即.06,03zyyx令6y，则2x，1z，得平面ADQ的一个法向量为)1,6,2(m（7 分）设平面CDQ的法向量为),(cban，则00DQnCDn，即.06,0

16、3cbba令6b，则2a，1c，得平面CDQ的一个法向量为).1,6,2(n（9 分）设二面角CDQA的平面角为，则nmnmnm|,cos|cos|,95162162|162|（11 分）所以,9142cos1sin2故二面角CQDA的正弦值为9142（12 分）20解：（1）若选择 A 方案的三人全部合格，则所求概率;27221132231P若选择 A 方案的三人中有两人合格，则所求概率2112132132122232CCP92若 选 择A方 案 的 三 人 中，只 有 一 人 合 格，则 所 求 概 率,181213213222133CP所以恰有三位学生合格的概率321PPPP541918

17、192272（6 分）（2）设选择 A 方案测试的学生人数为,3,2,1,0,nn,5,4则选择 B 方案测试的学生人数为,5n并设通过 A 方案测试合格的学生人数为，通过 B 方案测试合格的学生人数为，当0n时，此时所有学生均选择 B 方案测试，则21,5B所以325215)()(EE，不符合题意；当5n时，此时所有学生均选择 A 方案测试，则,32,5B所以3310325)()(EE，符合题意；（9 分）当4,3,2,1n时，32,nB，21,5nB所以6152532)()()(nnnFEE（10 分）又3615)(nE，则3n，故当4,3n时，符合题意（11 分）综上，当选择 A 方案测

18、试的学生人数为5,4,3时，测试合格的人数的均值不小于 3（12分）21解：（1）设),(yxP为椭圆上一点，由题意知|PF,4|6|EFAEPEPAPE所以点P的轨迹是以EF,为焦点，长轴长62 a的椭圆，（2 分）所以2c，3a，则,5222cab所以椭圆的标准方程为15922yx（4 分）（2）由题意，设l的方程为1 myx，,(1xM)1y，).,(22yxN联立,1,15922myxyx得,04010)95(22myym,0)95(16010022mm则9510221mmyy，(*).9542021myy（7 分）txytxykkTNTM2211)1)(1(2121tmytmyyy2

19、2121221)1()(1(tyytmyymyy将(*)式代入上式，可得222)1(9)9(540tmtkkTNTM（9 分）要使TNTMkk为定值，则092t，即.92t又0t，所以3t，此时910TNTMkk（11 分）所以存在点)0,3(T，使得直线TM与TN的斜率之积为定值910（12 分）22解：（1）axexfax)(，则),1()(axaxeaaaexf当0a时，令0)(xf，解得0 x，令0)(xf，解得0 x，所以)(xf在区间)0,(上单调递减，在区间,0()上单调递增；（2 分）当0a时，令0)(xf，解得0 x；令0)(xf，解得0 x；所以)(xf在区间)0,(上单调

20、递减，在区间,0()上单调递增（4 分）综上，)(xf在区间)0,(上单调递减，在区间,0()上单调递增（5 分）（2）由题意得2cossinxxeax对任意0 x恒成立，令,2cossin)(xxexhax则)(xh.sincosxxaeax若0 x，当1a时，xaxeexexhxcos)(,.sin x（6 分）令)0(sin)(xxxxu，则,0cos1)(xxu所以)(xu在区间),0 上单调递增，且)(xu0)0(u，即xxsin，令)0(1)(xxexvx，则01)(xexv，所以)(xv在区间),0 上单调递增，且)(xv,0)0(v即1 xex，所以当0.x时，1sin1xxex，则)(xh，0cos1sincosxxxex，所以)(xh在区间),0 上单调递增，且)(xh0)0(h，即2cossinxxeax恒成立（9 分）当1a时，01)0(ah，存在实数00 x，使得),0(0 xx，均有0)(xh，则)(xh在区间),0(0 x上单调递减，且)0()(hxh0，不符合题意（11 分）综上，实数a的取值范围是).,1 （12 分）