河北省部分示范性高中2023届高三下学期第三次模拟考试数学试题含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份 有限公司 数学试题 第1页(共5页)20232023 届高三下学期第三次模拟考试届高三下学期第三次模拟考试 数学试题数学试题 时量：120 分钟 满分：150 分 一、单选题一、单选题(本题共本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分)1.已知集合2|6AxZ xx=+，|44Bxx=，则AB=()A 4 2)(3,4，B 4 3)(2 4，C 434，D 4 3 4，2.已知复数z满足：(2)i zm+=，(其中 i 为虚数单位，m 为正实数)，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.

2、直线1:10laxy+=与2:10lxay+=平行的充要条件是()A1a=B1a=C1a=或1D04.现有一张长方形纸片，将其沿直线(不过顶点)剪开，得到 2 张纸片，再从中任选一张沿直线(不过顶点)剪开，得到 3 张纸片.，以此类推，每次从纸片中任选一张沿直线(不过顶点)剪开，设剪纸 n 次后得到的所有多边形的边数总和为na，则12310aaaa+=()A310 B260 C 220D2055.如图，在ABC中，已知13BDBC=，23AEAC=，P是线段AD与BE的交点，若APmABnAC=+，则mn+的值为()A45B56C67D1 6.已知函数()f x的定义域为R，函数2()()g

3、xf xx=+为奇函数，且(4)()g xg x+=，则(6)f的值为()A.0B.3C.44D.367.如图，在平面直角坐标系中，以 OA 为始边，角与的终边分别与单位圆相交于 E，F 两点，且(0)()22，若直线 EF 的斜率为14，则sin()+=()A.1517B.817C.817D.15178.已知函数()lnxaf xexxax在区间2(1,)e上恰有 2 个零点，则实数a的取值范围是()A.2()2ee，B.2(0 )2e，C.2(1)2e，D.(0,)e二、多选题二、多选题(每小题每小题 5 分，共分，共 20 分，全部选对得分，全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得

4、2 分，有选错得分，有选错得 0 分分)9.下列不等式成立的是()A.0.70.90.30.3B.1.31.3log3log2C.0.20.3log0.20.3D.1.13log 22河北省部分示范性高中2023届高三下学期第三次模拟考试数学试题 学科网（北京）股份 有限公司 数学试题 第2页(共5页)10.已知函数()cos()(0)6f xx=+在，的图像大致如下图，则()A.函数()f x的最小正周期为43 B.函数()f x在区间02，上单调递减 C.函数()f x的图象关于直线59x=对称 D.将函数sinyx=的图象向左平移23个单位，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的23倍，纵坐

5、标不变得到函数()f x的图象 11.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：222(0)xyrr+=与圆M：22(6)4xy+=，,P Q分别为圆 O 和圆 M 上的动点，下列说法正确的是()A.过点(4,2)作圆M的切线有且只有一条 B.若圆 O 和圆 M 恰有 3 条公切线，则4r=C.若|PQ的最小值为 1，则3r=D.若2r=，则直线 PQ 的斜率的最大值为2 55 12.已知ABC的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若1b=，且222ac=，则下列结论正确的是()A.32a B.tan3tan0AC+=C.角 B 的最大值为3 D.ABC的外接圆面积的最小值为 三、填空

6、题三、填空题(本题共本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分)13.函数1ln()xxf xex=+在1x=处的切线方程为_.14.已知平面向量a(2,1)=，b为单位向量，且(2)()abab+，则向量b在向量a上的投影向量的坐标为_.15.如图所示，将棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1截去一个三棱锥得到多面体ABCD-B1C1D1，在该多面体内放入一个球，则球的半径的最大值为_.16.在数列na中，已知1121,1,2,nnnanaaan+=+为奇数为偶数，则8a=_，当 n 为偶数时na=_ 四、解答题四、解答题(本题共本题共 6 个小题，共个小题，

7、共 70 分分)17(本小题满分本小题满分 10 分分)A B C D A1 B1 C1 D1 学科网（北京）股份 有限公司 数学试题 第3页(共5页)设等差数列na的前 n 项和为nS，已知27a=，555S=.(1)求na和nS；(2)若11nnnnabSS+=，求数列 nb的前n项和nT 18(本小题满分本小题满分 12 分分)已知点()2,2P，圆22:160C xyx+=过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当OPOM=，求l的方程及POM的面积.19(本小题满分本小题满分 12 分分)如图，在三棱柱111ABCABC中，

8、平面ABC 平面11AAB B，ACBC=，四边形11AAB B是边长为2的菱形，160BAA=.(1)证明：1ABAC；(2)若11ACBC，求平面1BAC和平面11BAC夹角的余弦值.20(本小题满分本小题满分 12 分分)如图，四边形 ABCD 中，已知1BC=，221ACABAB=+(1)若ABC的面积为3，求ABC的周长；(2)若3AB=，60ADB=，120BCD=，求BDC的值 21(本小题满分本小题满分 12 分分)学科网（北京）股份 有限公司 数学试题 第4页(共5页)已知函数2()ln3f xxxaxx=+(1)若对任意的(0,)x+，()1f x 恒成立，求实数a的取值范

9、围；(2)证明：nN时，3452ln(1)1 22 33 4(1)nnn n+22(本小题满分本小题满分 12 分分)已知221()(ln)(0)f xa xxaxx=+（I）讨论的单调性；（II）当时，证明3()()2f xfx+对于任意的1,)x+成立()f x1a=数学参考答案第 1 页 共 10 页数学参考答案数学参考答案选择题：（共选择题：（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，其中分，其中 9 至至 12 题为多选题，全部选对得题为多选题，全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分)题号题号1234567891

10、01112答案答案DAABCDBABCABDBDBD填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分1321yx1463()55，153331659，4225n(说明：第 16 题第一空 2 分，第 2 空 3 分)1.【答案】【答案】C【详解】【详解】2|6|23AxZ xxxZ xx 或，|44Bxx，则 4,3,4AB 2.【答案】【答案】A【详解】【详解】(2)i zm，(2)25mmizi，255mmzi，又 m 为正实数复数z在复平面内对应的点位于第一象限3.【答案】【答案】A【详解】【详解】直线1:10laxy 与2:10lxay 平行

11、的充要条件是：12kk且不重合，由1aa 得1a ，又1a 时两直线重合，直线1:10laxy 与2:10lxay 平行的充要条件是1a 4.【答案】【答案】B【详解】【详解】将任意一张纸片沿直线(不过顶点)剪开，得到 2 张纸片，则总边数增加 4，所以an公差为 4，首项为 8 的等差数列，1231010 910 842602aaaa 5.【答案】【答案】C【详解】【详解】如图，过 D 作直线 DF/BE，交 AC 于 F，则111,333 26EFBDAEAEEFECECBC67AEAF,67APAEADAF66()77APADxAByAC 又 B,D,C 三点共线，1xy 故故66()7

12、7mnxyF数学参考答案第 2 页 共 10 页6.【答案】【答案】D【详解】【详解】函数()g x为奇函数，且(4)()g xg x取2x 得，(24)(2)(2)ggg ，即(2)(2)gg，(2)0g又(6)(24)(2)0ggg，2(6)(6)636fg 7.【答案】【答案】B【详解】【详解】法一：如图，设直线 EF 交 x 轴于点 P，过 O作 EF 的 垂 线，垂 足 为 H，则2AOH，2POHHPO又直线 EF 的斜率为14，1tan4POHtantantantan()422AOHPOHHPO 22222sincos2tan2(4)8222sin()(4)117sincosta

13、n1222 法二：设(cossin)(cossin)EF，则sinsin1coscos4EFk又sinsincoscos2cossin1222sinsintan222，tan42 同法一可得8sin()17 8.A【答案】【答案】【详解】【详解】ln()0lnlnxaaxf xexxaxeax令()xg xex，则()(ln)g xg ax在区间2(1,)e上恰有 2 个实根()g xQ在 R 上单调递增，lnxax即lnxax在区间2(1,)e上恰有 2 个实根，()lnxh xx与ya在区间2(1,)e上恰有 2 个交点2ln1()(ln)xh xx，()lnxh xx在区间(1,)e上单

14、调递减，在区间2(,)e e上单调递增HP数学参考答案第 3 页 共 10 页当1x 时，()h x ，且()h ee，22()2eh e；故22eea，选 A9.【答案】【答案】BC【详解】【详解】由函数()0.3xf x=在R上单调递减，得0.70.90.30.3，故 A 选项不正确；由函数1.3()logf xx=在(0,)+上单调递增，得1.31.3log3log2，故 B 选项正确；0.30.3log0.2log0.31=，0.200.30.31，故 C 选项正确；331log 2log22=，1.111222-，故 D 选项不正确；10.【答案】【答案】ABD【详解】【详解】()c

15、os()6f xx过点4(,0)9，4cos()0964()962kkZ解得39()44kkZ，由图知421399T，所以189132，故32所最小正周期为43，A 选项正确；当02x，时，311,26612x，3()cos()26f xx单调递减，B 选项正确；3()cos()26f xx的对称轴为2()93kxkZ，59x 不是()f x的对称轴，故 C 选项不正确；将函数sinyx的图象向左平移23个单位得到2sin()3yx的图象，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的23倍，得到32sin()23yx的图象，又3233sin()sin()cos()2326226yxxx，故 D 选项正确

16、11.【答案】【答案】BD【详解】记【详解】记圆 M 的半径为 R，R=2，|OM|=6，圆 O 的半径为 r点(4,2)在圆:M22(6)4xy外，故作圆M的切线恰有 2 条，故 A 不正确；圆 O 和圆 M 恰有 3 条公切线，则圆 O 和圆 M 相外切，|OMrR，4r，故 B 正确；当圆 O 和圆 M 外离时，|PQ的最小值为|1OMrR，此时3r，当圆 O 和圆 M 内含时，|PQ的最小值为|1rOMR，此时9r，故 C 不正确；当2r 时，则直线 PQ 的斜率的最大值是斜率为正的内公切线斜率，数学参考答案第 4 页 共 10 页此时2242 5536 16|()rRkOMrR，故

17、D 正确12.【答案】【答案】BD【详解】【详解】1b，222ac，2223cos122abcCaba，故32a，选项 A 不正确；由333sincos222sinbBCaaA，2sincos3sinACB，又sinsin()BAC2sincos3sincos3cossinACACAC，即tan3tan0AC，选项 B 正确；又3cos02Ca，(0)tan02CC，2tantan2tan223tantan()11tantan1 3tan313tan23tantantanACCBACACCCCCC (当且仅当3tan3C，即2,663CBA，取等号)，6B，选项 C 不正确；6B，1sin2B

18、，ABC的外接圆直径22sinbRB，ABC的外接圆面积2SR，(当且仅当3tan3C，即2,663CBA，取等号)，选项 D 正确；13.【答案】【答案】21yx【详解】【详解】1ln()xxf xex，(1)1f又121 ln()xxfxex，(1)2f 故切线斜率(1)2kf，切点为(1,1)切线方程为12(1)yx，即21yx14.【答案】【答案】63()55，【详解】【详解】设向量b在向量a上的投影向量为a，则25a baaa(2)()Q abab ，(2)()0abab ，即2220aba b ，又(21)|1，ab ，3a b 53 ，35 ，故向量b在向量a上的投影向量为a=6

19、3()55，数学参考答案第 5 页 共 10 页15.【答案】【答案】333【详解】【详解】如图，设球心为 O，半径为 r，由题可知，球 O 半径最大时，与平面 ABCD，平面 BCC1B1，平面 DCC1D1，平面 AB1D1均相切，设球 O 与平面 ABCD 相切于点 H，与平面AB1D1相切于点 O1，则 O1为AB1D1的中心，11122 333OOOHrOCAC，112 33OCOCOOr，由11sin3OHACAOC，得11sin2 333rACAr，解得333r16.【答案】【答案】59，4225n【详解】【详解】由题可知213221325aaaa，43542111213aaaa

20、，65768721272292159aaaaaa ，222122212(2)125nnnnaaaa ，22252(5)nnaa数列25na是首项为258a，公比为 2 的等比数列，122258 225nnnnaa，故当 n 为偶数时4225nna解答题：本大题共解答题：本大题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分（本小题满分 10 分）分）解：(1)设等差数列 na的公差为 d，则1175 45552adad，解得134ad，所以34141nann，214322nn nSnnn.5 分(2)1111111nnnnnnnnn

21、naSSbSSSSSS.7 分所以123nnTbbbb122334111)111111()()(nnSSSSSSSS221111111132(1)(1)3253nSSnnnn.10 分18（本小题满分（本小题满分 12 分）分）解：(1)设点M x y,，当点M不与点P重合时，即当2x 且2y 时，由垂径定理可知CMAB，即CMPM.2 分设点M x y,，又圆C的圆心为(8,0)，2,2P数学参考答案第 6 页 共 10 页则8,CMxy，2,2PMxy(8)(2)(2)0CM PMxxy y ，即22(5)(1)10 xy.4 分当点M与点P重合时，点P的坐标也满足方程22(5)(1)10

22、 xy故点M的轨迹方程为圆22:(5)(1)10Nxy.5 分(2)当2 2OMOP时，点M与点P满足圆 O 的方程228xy又点M与点P在圆22:(5)(1)10Nxy上直线MP为圆 O 和圆 N 的交线，圆 O 与圆 N 的方程相减得，直线MP的方程为2222(5)(1)8 10()yyxx，即5012xyl的方程为：5012xy.8 分点 O 到直线MP的距离2|12|122651d.9 分又圆 O 的半径2 2r 弦长2214416|22 82626MPrd.11 分POM的面积11161248|22132626SMP d.12 分法二：设M m n,由题意可得2222+=85+1=1

23、02mnmnm，解得34=1314=13mn，即点3414(,)1313M.7 分又14213534213PMk，直线l的方程为252yx，即5120 xy.9 分1OPk，则直线OP的方程为0 xy，且2 2OP.10 分点M到直线OP的距离为484813213 2d.11 分故POM的面积1148482 2221313 2SOP d.12 分19.（本小题满分（本小题满分 12 分）分）解：(1)取AB中点O，连接11,OC OA AB，ACBCOAOBABOC，.1 分1AAB为正三角形，OAOB1ABOA.2 分又11,OCOAO OCOA、平面1AOC，AB平面1AOC.4 分数学参

24、考答案第 7 页 共 10 页又1AC 平面1AOC，1ABAC.5 分(2)11ACBC，又1ABAC，1BCABB，1,BC AB平面1ABC1AC平面1ABC，又1AC 平面1ABC，11ACAC四边形11AAC C为菱形，12ACAA，ABC为等边三角形，3OC，以O为原点，如图建立空间直角坐标系，.7 分11(1,0,0),(1,0,0),(0,3,0),(2,3,0),(0,0,3)ABABC设平面1BAC的法向量1(,)nx y z，1(1,3,0),(1,0,3)BABC 则3030 xyxz，令1z ，可得1(3,1,1)n.9 分设平面11BAC的法向量2(,)nx y z

25、，111(1,3,0),(1,0,3)BAACAC 则3030 xyxz，令1z，可得2(3,1,1)n .11 分则123 1 13cos,53 1 13 1 1n n .所以平面1BA A与平面1CA A夹角的余弦值为35.12 分20.（本小题满分（本小题满分 12 分）分）解：(1)在ABC 中，222221(1)1cos222ABBCACABABABBAB BCAB ，因为0180B，所以120B.2 分由13sin120324ABCSAB BCAB，得4AB.3 分221 164 121ACABAB ，即21AC.4 分521ABBCAC，即ABC 的周长为521.5 分(2)设B

26、DC，则60DBC，60ABD，60BAD在ABD 中，由sin(60)sin60BDAB，得3sin(60)sin60BD.7 分在BCD 中，由sin120sinBDBC，得sin120sinBD.9 分3sin(60)sin120sin60sin，即4sinsin(60)1sin(230)1.11 分060，3350021 0，00239，解得30，即BDC 的值为30.12 分21（本小题满分（本小题满分 12 分）分）数学参考答案第 8 页 共 10 页解：(1)对任意的(0,)x，()1f x 恒成立(1)1f，即(1)31fa ，2a.2 分下面证明：当2a时，()1f x 恒成

27、立当2a时，22()=ln+3ln2+3f xx xaxxx xxx欲证()1f x，只需证2ln2+31x xxx，0 x，故只需证1ln2+3xxx，即证：1ln2+30 xxx.4 分令1()=ln2+3g xxxx，则2222112+1(2+1)(1)()=2+=xxxxg xxxxx故知函数()g x在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减故max()(1)0g xg，故()0g x，即1ln2+3xxx成立实数a的取值范围为2)，.6 分(2)由(1)可知当2a 时，()1f x，即2ln231xxxx，即1ln23xxx.8 分取取1nxn得，12(1)212ln3=11(

28、1)nnnnnnnnnn n.10 分34522341lnlnlnlnln(1)1 22 33 4(1)123nnnn nn.12 分22.（本小题满分（本小题满分 12 分）分）解：()23122()(1)fxaxxx23(1)(2(0)xaxxx).1 分由12322(1)(2()01,a xxxaafxxxxa).2 分当02a时，12a(0,1)x或2()xa,时，0)(xf；2(1,)xa时，0)(xf()f x在(0,1)上单调递增，在2(1,)a上单调递减，在2()a,上单调递增.3 分当2a 时，1=2a数学参考答案第 9 页 共 10 页(0,)x时，()0fx，()f x在

29、(0,)单调递增.4 分当2a 时，12)(xf；2(,1)xa时，0)(xf()f x在2(0,)a上单调递增，在2(,1)a上单调递减，在(1),上单调递增.5 分()由()知，1a时，221()lnxf xxxx，2312()1fxxxx 2记3()()()2F xf xfx23532ln2xxxxx1，1,)x当2x 时，22225252()0ln30ln322F xxxxxxxxxxxxx 11记25()ln3(2)2G xxxxxx，7()2ln2G xxx1()20G xx，()G x在(2,)上单调递增又1(2)ln20,(2.3)1.1 ln2.302GG存在0(2,2.3)

30、x 使得0()0G x，即0072ln02xx当0(2,)xx时，()0G x，()G x单调递减当0(,2.3)xx时，()0G x，()G x单调递增222min00000000000575()()ln3(2)33222G xG xxxxxxxxxxx 2()+3H xxx 在(2,2.3)上单调递减，2()(2.3)2.32.3+30.01H xH 2min000()()30G xG xxx()0G x，又22220 xxxx1，2252ln32xxxxxx1，即()0F x.9 分当1,2x时，令g()lnxxx，23532()2h xxxx 1，2,1 x于是()g()F xxh x），数学参考答案第 10 页 共 10 页1g()10 xxxx 1，ming()x1=g(1)又22344326326()xxh xxxxx 设2()326xxx，则()x在2,1 x上单调递减，又(1)1，(2)10，存在2,1 0 x，使得0()0 x，且01xx时，()0 x；20 xx时，()0 x()h x在0(1,)x上单调递增，在0(,2)x上单调递减又1(1)2h，(2)1h，min()h x(2)1h()g()g(1(2)1(1)0F xxh xh ）综上，故()0F x，即23)()(xfxf对于任意的1,)x成立.12 分