2016年江苏普通高中会考数学真题(含答案).docx

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1、年寒窗苦读日，只盼金榜题名时，祝你考试拿高分，鲤鱼跳龙门！加油！2016年江苏普通高中会考数学真题及答案一、填空题（共14小题.每小题5分.满分70分）1（5分）已知集合A=1.2.3.6.B=x|2x3.则AB=1.2【分析】根据已知中集合A=1.2.3.6.B=x|2x3.结合集合交集的定义可得答案【解答】解：集合A=1.2.3.6.B=x|2x3.AB=1.2.故答案为：1.2【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算.难度不大.属于基础题2（5分）复数z=（1+2i）（3i）.其中i为虚数单位.则z的实部是5【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：z=（1+2i）（3i）=5+

2、5i.则z的实部是5.故答案为：5【点评】本题考查了复数的运算性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题3（5分）在平面直角坐标系xOy中.双曲线=1的焦距是2【分析】确定双曲线的几何量.即可求出双曲线=1的焦距【解答】解：双曲线=1中.a=.b=.c=.双曲线=1的焦距是2故答案为：2【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质.考查学生的计算能力.比较基础4（5分）已知一组数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5.则该组数据的方差是0.1【分析】先求出数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5的平均数.由此能求出该组数据的方差【解答】解：数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5的平均数为

3、：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1.该组数据的方差：S2=（4.75.1）2+（4.85.1）2+（5.15.1）2+（5.45.1）2+（5.55.1）2=0.1故答案为：0.1【点评】本题考查方差的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意方差计算公式的合理运用5（5分）函数y=的定义域是3.1【分析】根据被开方数不小于0.构造不等式.解得答案【解答】解：由32xx20得：x2+2x30.解得：x3.1.故答案为：3.1【点评】本题考查的知识点是函数的定义域.二次不等式的解法.难度不大.属于基础题6（5分）如图是一个算法的流程图.则输出的a的值是9【分析】根据已知的程序框图

4、可得.该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值.模拟程序的运行过程.可得答案【解答】解：当a=1.b=9时.不满足ab.故a=5.b=7.当a=5.b=7时.不满足ab.故a=9.b=5当a=9.b=5时.满足ab.故输出的a值为9.故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图.当循环次数不多.或有规律可循时.可采用模拟程序法进行解答7（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1.2.3.4.5.6个点的正方体玩具）先后抛掷2次.则出现向上的点数之和小于10的概率是【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10.由此利用对立事件概率计算公式能求出出现

5、向上的点数之和小于10的概率【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1.2.3.4.5.6个点的正方体玩具）先后抛掷2次.基本事件总数为n=66=36.出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10.出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4.6）.（6.4）.（5.5）.（5.6）.（6.5）.（6.6）.共6个.出现向上的点数之和小于10的概率：p=1=故答案为：【点评】本题考查概率的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意对立事件概率计算公式的合理运用8（5分）已知an是等差数列.Sn是其前n项和.若a1+a22=3.S5=10.则a9的值是20【

6、分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组.求出首项和公差.由此能求出a9的值【解答】解：an是等差数列.Sn是其前n项和.a1+a22=3.S5=10.解得a1=4.d=3.a9=4+83=20故答案为：20【点评】本题考查等差数列的第9项的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意等差数列的性质的合理运用9（5分）定义在区间0.3上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7【分析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间0.3上的图象即可得到答案【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间0.3上的图象如下：由图可知.共7个交点故答案为：7【点评】本题考

7、查正弦函数与余弦函数的图象.作出函数y=sin2x与y=cosx在区间0.3上的图象是关键.属于中档题10（5分）如图.在平面直角坐标系xOy中.F是椭圆+=1（ab0）的右焦点.直线y=与椭圆交于B.C两点.且BFC=90.则该椭圆的离心率是【分析】设右焦点F（c.0）.将y=代入椭圆方程求得B.C的坐标.运用两直线垂直的条件：斜率之积为1.结合离心率公式.计算即可得到所求值【解答】解：设右焦点F（c.0）.将y=代入椭圆方程可得x=a=a.可得B（a.）.C（a.）.由BFC=90.可得kBFkCF=1.即有=1.化简为b2=3a24c2.由b2=a2c2.即有3c2=2a2.由e=.可得

8、e2=.可得e=.故答案为：【点评】本题考查椭圆的离心率的求法.注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为1.考查化简整理的运算能力.属于中档题11（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间1.1）上.f（x）=.其中aR.若f（）=f（）.则f（5a）的值是【分析】根据已知中函数的周期性.结合f（）=f（）.可得a值.进而得到f（5a）的值【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间1.1）上.f（x）=.f（）=f（）=+a.f（）=f（）=|=.a=.f（5a）=f（3）=f（1）=1+=.故答案为：【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用.函数的周期性.根据已知求出a

9、值.是解答的关键12（5分）已知实数x.y满足.则x2+y2的取值范围是.13【分析】作出不等式组对应的平面区域.利用目标函数的几何意义.结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域.设z=x2+y2.则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方.由图象知A到原点的距离最大.点O到直线BC：2x+y2=0的距离最小.由得.即A（2.3）.此时z=22+32=4+9=13.点O到直线BC：2x+y2=0的距离d=.则z=d2=（）2=.故z的取值范围是.13.故答案为：.13【点评】本题主要考查线性规划的应用.涉及距离的计算.利用数形结合是解决本题的

10、关键13（5分）如图.在ABC中.D是BC的中点.E.F是AD上的两个三等分点.=4.=1.则的值是【分析】由已知可得=+.=+.=+3.=+3.=+2.=+2.结合已知求出2=.2=.可得答案【解答】解：D是BC的中点.E.F是AD上的两个三等分点.=+.=+.=+3.=+3.=22=1.=922=4.2=.2=.又=+2.=+2.=422=.故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算.平面向量的线性运算.难度中档14（5分）在锐角三角形ABC中.若sinA=2sinBsinC.则tanAtanBtanC的最小值是8【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出s

11、inBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.进而得到tanB+tanC=2tanBtanC.结合函数特性可求得最小值【解答】解：由sinA=sin（A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC.sinA=2sinBsinC.可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.由三角形ABC为锐角三角形.则cosB0.cosC0.在式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC.又tanA=tan（A）=tan（B+C）= .则tanAtanBtanC=tanBtanC.由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC

12、=.令tanBtanC=t.由A.B.C为锐角可得tanA0.tanB0.tanC0.由式得1tanBtanC0.解得t1.tanAtanBtanC=.=（）2.由t1得.0.因此tanAtanBtanC的最小值为8.当且仅当t=2时取到等号.此时tanB+tanC=4.tanBtanC=2.解得tanB=2+.tanC=2.tanA=4.（或tanB.tanC互换）.此时A.B.C均为锐角【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识.有一定灵活性二、解答题（共6小题.满分90分）15（14分）在ABC中.AC=6.cosB=.C=（1）求AB的长；（2）求cos（A）的值【分析】（

13、1）利用正弦定理.即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA.利用两角差的余弦公式求cos（A）的值【解答】解：（1）ABC中.cosB=.sinB=.AB=5；（2）cosA=cos（C+B）=sinBsinCcosBcosC=A为三角形的内角.sinA=.cos（A）=cosA+sinA=【点评】本题考查正弦定理.考查两角和差的余弦公式.考查学生的计算能力.属于基础题16（14分）如图.在直三棱柱ABCA1B1C1中.D.E分别为AB.BC的中点.点F在侧棱B1B上.且B1DA1F.A1C1A1B1求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1F【分析】（1）通过证明

14、DEAC.进而DEA1C1.据此可得直线DE平面A1C1F1；（2）通过证明A1FDE结合题目已知条件A1FB1D.进而可得平面B1DE平面A1C1F【解答】解：（1）D.E分别为AB.BC的中点.DE为ABC的中位线.DEAC.ABCA1B1C1为棱柱.ACA1C1.DEA1C1.A1C1平面A1C1F.且DE平面A1C1F.DEA1C1F；（2）ABCA1B1C1为直棱柱.AA1平面A1B1C1.AA1A1C1.又A1C1A1B1.且AA1A1B1=A1.AA1、A1B1平面AA1B1B.A1C1平面AA1B1B.DEA1C1.DE平面AA1B1B.又A1F平面AA1B1B.DEA1F.又

15、A1FB1D.DEB1D=D.且DE、B1D平面B1DE.A1F平面B1DE.又A1F平面A1C1F.平面B1DE平面A1C1F【点评】本题考查直线与平面平行的证明.以及平面与平面相互垂直的证明.把握常用方法最关键.难度不大17（14分）现需要设计一个仓库.它由上下两部分组成.上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1.下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1（如图所示）.并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍（1）若AB=6m.PO1=2m.则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m.则当PO1为多少时.仓库的容积最大？【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO

16、1的4倍.可得PO1=2m时.O1O=8m.进而可得仓库的容积；（2）设PO1=xm.则O1O=4xm.A1O1=m.A1B1=m.代入体积公式.求出容积的表达式.利用导数法.可得最大值【解答】解：（1）PO1=2m.正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍O1O=8m.仓库的容积V=622+628=312m3.（2）若正四棱锥的侧棱长为6m.设PO1=xm.则O1O=4xm.A1O1=m.A1B1=m.则仓库的容积V=（）2x+（）24x=x3+312x.（0x6）.V=26x2+312.（0x6）.当0x2时.V0.V（x）单调递增；当2x6时.V0.V（x）单调递减；故当x=2时.V

17、（x）取最大值；即当PO1=2m时.仓库的容积最大【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积.导数法求函数的最大值.难度中档18（16分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知以M为圆心的圆M：x2+y212x14y+60=0及其上一点A（2.4）（1）设圆N与x轴相切.与圆M外切.且圆心N在直线x=6上.求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点.且BC=OA.求直线l的方程；（3）设点T（t.0）满足：存在圆M上的两点P和Q.使得+=.求实数t的取值范围【分析】（1）设N（6.n）.则圆N为：（x6）2+（yn）2=n2.n0.从而得到|7n|=|n|+5.由此能求出

18、圆N的标准方程（2）由题意得OA=2.kOA=2.设l：y=2x+b.则圆心M到直线l的距离：d=.由此能求出直线l的方程（3）=.即|=.又|10.得t22.2+2.对于任意t22.2+2.欲使.只需要作直线TA的平行线.使圆心到直线的距离为.由此能求出实数t的取值范围【解答】解：（1）N在直线x=6上.设N（6.n）.圆N与x轴相切.圆N为：（x6）2+（yn）2=n2.n0.又圆N与圆M外切.圆M：x2+y212x14y+60=0.即圆M：（x6）2+（x7）2=25.|7n|=|n|+5.解得n=1.圆N的标准方程为（x6）2+（y1）2=1（2）由题意得OA=2.kOA=2.设l：y

19、=2x+b.则圆心M到直线l的距离：d=.则|BC|=2=2.BC=2.即2=2.解得b=5或b=15.直线l的方程为：y=2x+5或y=2x15（3）=.即.即|=|.|=.又|10.即10.解得t22.2+2.对于任意t22.2+2.欲使.此时.|10.只需要作直线TA的平行线.使圆心到直线的距离为.必然与圆交于P、Q两点.此时|=|.即.因此实数t的取值范围为t22.2+2.【点评】本题考查圆的标准方程的求法.考查直线方程的求法.考查实数的取值范围的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意圆的性质的合理运用19（16分）已知函数f（x）=ax+bx（a0.b0.a1.b1）（1）设a=2.

20、b=求方程f（x）=2的根；若对于任意xR.不等式f（2x）mf（x）6恒成立.求实数m的最大值；（2）若0a1.b1.函数g（x）=f（x）2有且只有1个零点.求ab的值【分析】（1）利用方程.直接求解即可列出不等式.利用二次函数的性质以及函数的最值.转化求解即可（2）求出g（x）=f（x）2=ax+bx2.求出函数的导数.构造函数h（x）=+.求出g（x）的最小值为：g（x0）同理若g（x0）0.g（x）至少有两个零点.与条件矛盾若g（x0）0.利用函数g（x）=f（x）2有且只有1个零点.推出g（x0）=0.然后求解ab=1【解答】解：函数f（x）=ax+bx（a0.b0.a1.b1）（

21、1）设a=2.b=方程f（x）=2；即：=2.可得x=0不等式f（2x）mf（x）6恒成立.即m（）6恒成立令t=.t2不等式化为：t2mt+40在t2时.恒成立可得：0或即：m2160或m4.m（.4实数m的最大值为：4（2）g（x）=f（x）2=ax+bx2.g（x）=axlna+bxlnb=ax+lnb.0a1.b1可得.令h（x）=+.则h（x）是递增函数.而.lna0.lnb0.因此.x0=时.h（x0）=0.因此x（.x0）时.h（x）0.axlnb0.则g（x）0x（x0.+）时.h（x）0.axlnb0.则g（x）0.则g（x）在（.x0）递减.（x0.+）递增.因此g（x）的

22、最小值为：g（x0）若g（x0）0.xloga2时.ax=2.bx0.则g（x）0.因此x1loga2.且x1x0时.g（x1）0.因此g（x）在（x1.x0）有零点.则g（x）至少有两个零点.与条件矛盾若g（x0）0.函数g（x）=f（x）2有且只有1个零点.g（x）的最小值为g（x0）.可得g（x0）=0.由g（0）=a0+b02=0.因此x0=0.因此=0.=1.即lna+lnb=0.ln（ab）=0.则ab=1可得ab=1【点评】本题考查函数与方程的综合应用.函数的导数的应用.基本不等式的应用.函数恒成立的应用.考查分析问题解决问题的能力20（16分）记U=1.2.100.对数列an（

23、nN*）和U的子集T.若T=.定义ST=0；若T=t1.t2.tk.定义ST=+例如：T=1.3.66时.ST=a1+a3+a66现设an（nN*）是公比为3的等比数列.且当T=2.4时.ST=30（1）求数列an的通项公式；（2）对任意正整数k（1k100）.若T1.2.k.求证：STak+1；（3）设CU.DU.SCSD.求证：SC+SCD2SD【分析】（1）根据题意.由ST的定义.分析可得ST=a2+a4=a2+9a2=30.计算可得a2=3.进而可得a1的值.由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意.由ST的定义.分析可得STa1+a2+ak=1+3+32+3k1.由等比数列的前n

24、项和公式计算可得证明；（3）设A=C（CD）.B=D（CD）.则AB=.进而分析可以将原命题转化为证明SC2SB.分2种情况进行讨论：、若B=.、若B.可以证明得到SA2SB.即可得证明【解答】解：（1）当T=2.4时.ST=a2+a4=a2+9a2=30.因此a2=3.从而a1=1.故an=3n1.（2）STa1+a2+ak=1+3+32+3k1=3k=ak+1.（3）设A=C（CD）.B=D（CD）.则AB=.分析可得SC=SA+SCD.SD=SB+SCD.则SC+SCD2SD=SA2SB.因此原命题的等价于证明SC2SB.由条件SCSD.可得SASB.、若B=.则SB=0.故SA2SB.

25、、若B.由SASB可得A.设A中最大元素为l.B中最大元素为m.若ml+1.则其与SAai+1amSB相矛盾.因为AB=.所以lm.则lm+1.SBa1+a2+am=1+3+32+3m1=.即SA2SB.综上所述.SA2SB.故SC+SCD2SD【点评】本题考查数列的应用.涉及新定义的内容.解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题.请选定其中两小题.并在相应的答题区域内作答.若多做.则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A【选修41几何证明选讲】21（10分）如图.在ABC中.ABC=90.BDAC.D为垂足.E为BC的

26、中点.求证：EDC=ABD【分析】依题意.知BDC=90.EDC=C.利用C+DBC=ABD+DBC=90.可得ABD=C.从而可证得结论【解答】解：由BDAC可得BDC=90.因为E为BC的中点.所以DE=CE=BC.则：EDC=C.由BDC=90.可得C+DBC=90.由ABC=90.可得ABD+DBC=90.因此ABD=C.而EDC=C.所以.EDC=ABD【点评】本题考查三角形的性质应用.利用C+DBC=ABD+DBC=90.证得ABD=C是关键.属于中档题B.【选修42：矩阵与变换】22（10分）已知矩阵A=.矩阵B的逆矩阵B1=.求矩阵AB【分析】依题意.利用矩阵变换求得B=（B1

27、）1=.再利用矩阵乘法的性质可求得答案【解答】解：B1=.B=（B1）1=.又A=.AB=【点评】本题考查逆变换与逆矩阵.考查矩阵乘法的性质.属于中档题C.【选修44：坐标系与参数方程】23在平面直角坐标系xOy中.已知直线l的参数方程为（t为参数）.椭圆C的参数方程为（为参数）.设直线l与椭圆C相交于A.B两点.求线段AB的长【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程.然后联立方程组.求出直线与椭圆的交点坐标.代入两点间的距离公式求得答案【解答】解：由.由得.代入并整理得.由.得.两式平方相加得联立.解得或|AB|=【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程.考查了参数方程化普通方程.考查直线与

28、椭圆位置关系的应用.是基础题24设a0.|x1|.|y2|.求证：|2x+y4|a【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|a|+|b|.结合不等式的基本性质.即可得证【解答】证明：由a0.|x1|.|y2|.可得|2x+y4|=|2（x1）+（y2）|2|x1|+|y2|+=a.则|2x+y4|a成立【点评】本题考查绝对值不等式的证明.注意运用绝对值不等式的性质.以及不等式的简单性质.考查运算能力.属于基础题附加题【必做题】25（10分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知直线l：xy2=0.抛物线C：y2=2px（p0）（1）若直线l过抛物线C的焦点.求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上

29、存在关于直线l对称的相异两点P和Q求证：线段PQ的中点坐标为（2p.p）；求p的取值范围【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标.然后求解抛物线方程（2）：设点P（x1.y1）.Q（x2.y2）.通过抛物线方程.求解kPQ.通过P.Q关于直线l对称.点的kPQ=1.推出.PQ的中点在直线l上.推出=2p.即可证明线段PQ的中点坐标为（2p.p）；利用线段PQ中点坐标（2p.p）推出.得到关于y2+2py+4p24p=0.有两个不相等的实数根.列出不等式即可求出p的范围【解答】解：（1）l：xy2=0.l与x轴的交点坐标（2.0）.即抛物线的焦点坐标（2.0）.抛物线C：y2=8x（2）证明：设点P（

30、x1.y1）.Q（x2.y2）.则：.即：.kPQ=.又P.Q关于直线l对称.kPQ=1.即y1+y2=2p.又PQ的中点在直线l上.=2p.线段PQ的中点坐标为（2p.p）；因为Q中点坐标（2p.p）.即.即关于y2+2py+4p24p=0.有两个不相等的实数根.0.（2p）24（4p24p）0.p【点评】本题考查抛物线方程的求法.直线与抛物线的位置关系的应用.考查转化思想以及计算能力26（10分）（1）求7C4C的值；（2）设m.nN*.nm.求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+nC+（n+1）C=（m+1）C【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7的值（2）对任意mN*.

31、当n=m时.验证等式成立；再假设n=k（km）时命题成立.推导出当n=k+1时.命题也成立.由此利用数学归纳法能证明（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+nC+（n+1）C=（m+1）C【解答】解：（1）7=4=720435=0证明：（2）对任意mN*.当n=m时.左边=（m+1）=m+1.右边=（m+1）=m+1.等式成立假设n=k（km）时命题成立.即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+k+（k+1）=（m+1）.当n=k+1时.左边=（m+1）+（m+2）+（m+3）+（k+1）+（k+2）=.右边=（m+1）=（m+1）k+3（km+1）=（k+2）=（k+2）.=（m+1）.左边=右边.n=k+1时.命题也成立.m.nN*.nm.（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+nC+（n+1）C=（m+1）C【点评】本题考查组合数的计算与证明.是中档题.解题时要认真审题.注意组合数公式和数学归纳法的合理运用