20. 定积分的概念ppt课件.ppt

《20. 定积分的概念ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《20. 定积分的概念ppt课件.ppt（37页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、20.定积分的概念电子课件3.7 3.7 定积分的概念定积分的概念山西职业技术学院山西职业技术学院-1-1-定积分的起源简介定积分的起源简介-2-2-定积分起源于求解图形的面积和几何体体积等实际问题，古希腊阿基米德（公元前287-前212）用“穷竭法”，我国古代数学家刘徽用“割圆术”，都曾计算过一些图形的面积和几何体的体积，这些均为定积分的雏形。给我一个支点，我就能撬起整个地球。古希腊的安提芬(Antiphon 480-403BC)最早表述了穷竭法，他在研究化圆为方问题时，提出了使用圆内接正多边形面积“穷竭圆面积的思想。古希腊数学家阿基米德进一步完善了穷竭法，并将其广泛应用于求解曲面面积和旋转

2、体体积。阿基米德最早使用穷竭法进行了积分运算，是微积分学的先驱。穷竭法被后人称为阿基米德原理。三国时的刘徽提出的 的方法。他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、这样继续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长。割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.割圆求周割圆求周 教学目标教学目标知识目标知识目标理解两个实例的数学理解两个实例的数学思想：思想：1 1.求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积；2 2.变速直线运动的物体的变速直线运动的物体的瞬时速度瞬时速度熟悉和掌握引进的数学语言和符号熟悉和掌握引进的数学语言和符号-2-2-技能目标技能目标掌握运用数学语言

3、描述数学概念的能力掌握运用数学语言描述数学概念的能力素质目标素质目标训练学生严密的逻辑思维能力，培养学训练学生严密的逻辑思维能力，培养学生严谨的学习态度生严谨的学习态度培养学生观察能力和数学分析能力培养学生观察能力和数学分析能力培养学生的不怕困难，勇于面对难题的培养学生的不怕困难，勇于面对难题的自信和勇气自信和勇气-3-3-教学重点教学重点教学难点教学难点两个实例两个实例定积分的概念定积分的概念定积分的概念定积分的概念-4-4-思思考考1 1：矩矩形形、梯梯形形、三三角角形形、圆圆等等规规则则图图形形有有面面积积计计算算公公式式，如如果果是是不不规规则则图图形形，该该如如何何求求其面积？不规则

4、图形是否有共同的构成部件？其面积？不规则图形是否有共同的构成部件？3.7.1 3.7.1 两个实例两个实例实例实例1 1 曲边梯形面积曲边梯形面积-5-5-曲曲边边梯梯形形：任任何何不不规规则则图图形形都都可可以以分分成成若若干干曲曲边边梯梯形形，即即不不规规则则图图形形的的构构成成部部件件为为曲曲边边梯梯形形，所所以以，不不规规则则图图形形的的面面积积的的计计算算归归结结于于求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积。将将直直角角梯梯形形的的斜斜边边改改为为曲曲边边，就就得得到到曲曲边边梯梯形形，如如图图所所示示，并并且且当当两两平平行行边边中中的一个获两个缩为点时，仍然叫曲边梯形。的一个获两个缩为点

5、时，仍然叫曲边梯形。-6-6-思思考考：如如何何求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积？将将曲曲边边梯梯形形放放到到直直角角坐坐标标系系内内，如如图图所所示示，底底边边在在 轴轴上上，两两平平行边与行边与 轴平行，曲边的方程为轴平行，曲边的方程为 .-7-7-xyOaby=f(x)分析abxyoabxyo（四个小矩形）（九个小矩形）显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积小矩形的划分对曲边梯形的面积有何影响？观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放（1 1）分分割割：将将大大曲曲边边梯梯形形分分割割为为 个个小小曲曲边边梯梯形形，分分点点坐坐标标为为 ，个个小小曲

6、曲边边梯梯形形的的底底对对应应着着 个个区区间间 ,每每个个小小区区间的长度为间的长度为 .-9-9-（2 2）求近似：）求近似：在每个小区间在每个小区间 上上,任取一点任取一点 ,以小区间为底以小区间为底,为高的小矩形的为高的小矩形的面积近似小曲边梯形的面积面积近似小曲边梯形的面积.即即（3 3）求和：）求和：把各个小矩形面积相加把各个小矩形面积相加,就得到曲边就得到曲边梯形的面积梯形的面积 的近似值的近似值：（4 4）取极限：）取极限：令令 ,即即 表示最表示最大的小区间长度大的小区间长度,当当 时时,所有小区间长度都会所有小区间长度都会趋向于趋向于.近似值精度无限提高近似值精度无限提高,

7、最终达到曲边梯形最终达到曲边梯形的精确值的精确值.-10-10-思思考考：匀匀速速直直线线运运动动的的路路程程等等于于速速度度乘乘以以时时间间，如如果果是是变变速速直直线线运运动动，又又该该如如何何计计算算路路程程？设设做做变变速速直直线线运运动动的的物物体体的的速速度度为为 ,物物体从时刻体从时刻 到到 这段时间内走过的路程为这段时间内走过的路程为 .实例实例2 2 变速直线运动的路程变速直线运动的路程-11-11-和和求求曲曲边边梯梯形形的的方方法法一一样样,分分为为四四个个步步骤骤:分分割割,求近似求近似,求和求和,取极限取极限.叙述如下：叙述如下：（1 1）分割：）分割：在时间区间在时

8、间区间 内任意插入分点内任意插入分点 把把 分成分成 个小的时间区间个小的时间区间 ,每个小区间的长度为每个小区间的长度为 ,物体物体在每个小的时间区间内走过的路程为在每个小的时间区间内走过的路程为 .（2 2）求近似：）求近似：任意取一个时刻任意取一个时刻 ,将每个将每个 小时间区间小时间区间 上物体的运动近似看作以上物体的运动近似看作以 为为速度的匀速运动速度的匀速运动,从而得到从而得到 的近似值的近似值 -12-12-（3 3）求和：）求和：把每个小时间区间的路程的近似值相把每个小时间区间的路程的近似值相加得到总路程的近似值加得到总路程的近似值 （4 4）取极限：）取极限：令令 ,即即

9、表示最表示最大的时间间隔大的时间间隔,当当 时时,所有的小时间区间的长所有的小时间区间的长度都趋向于度都趋向于,近似精度无限提高近似精度无限提高,最终达到精确值最终达到精确值 .即即 这这种种通通过过：整整体体分分割割、局局部部近近似似积积累累、极极限限确确定定来求一些量精确值的思维方法，就是定积分思想。来求一些量精确值的思维方法，就是定积分思想。-13-13-3.7.2 3.7.2 定积分的定义定积分的定义定义定义 设函数设函数 在区间在区间 上有定义上有定义,任取分点任取分点 相应地将相应地将 分为分为 个小区间个小区间 ，其长度为，其长度为 ,在在 上任取一点上任取一点 ,作和式作和式如

10、果当如果当 时时,不论区间如何划分不论区间如何划分,也不论也不论 如何选如何选取取,极限极限都存在都存在,则称此极限值为则称此极限值为 在区间在区间 上的定积分上的定积分,记作记作 即即 其中其中 为积分变量，为积分变量，分别为积分下限和上限，为积分号分别为积分下限和上限，为积分号.-14-14-称称为为被被积积函函数数，称称为为被被积积表表达达式式，称称为为积积分分区区间间.当当和和式式的的极极限限存存在在时时,我我们们就就说说函函数数 在在区区间间 上上定定积积分分存存在在,也称也称 在在 上可积上可积.根据定积分的定义根据定积分的定义,实例实例1 1中的曲边梯形的面积中的曲边梯形的面积

11、是是 在区间在区间 上的定积分上的定积分,即即 变速直线运动的路程为速度函数在相应时间区间上的定积分变速直线运动的路程为速度函数在相应时间区间上的定积分,即即注意：注意：（1）定积分 是一极限值,是一个确定的数,它只与被积函数与积分区间有关,而与变量的取名无关,例如（2）在定义中只考虑了 的情形,对于 我们规定 显然 时，-15-15-定积分存在定理定积分存在定理定理定理1 1 设设 在在 上连续上连续,则则 在在 上可积上可积.定理定理2 2 设设 在在 上有界上有界,且只有有限个第一类间断点且只有有限个第一类间断点,则则 在在 上可积上可积.定积分的几何意义定积分的几何意义由由实实例例1 1可可知知当当 时时,就就表表示示由由曲曲边边 和和横横轴轴以以及及直直线线 与与 围围成成的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积.当当 时时,曲曲边边梯梯形形位位于于横横轴轴下下方方,根根据据定定积积分分的的定定义义可可知知,是是曲曲边边梯梯形形的的面面积积的的相相反反数数,当当 有有正正有有负负时时,等等于于位位于于横横轴轴上上方方的的各各曲曲边边梯梯形形的的面面积积的的和减去位于横轴下方的各曲边梯形的面积和和减去位于横轴下方的各曲边梯形的面积和.-16-16-